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565_空間の４点が同一平面上にあるための条件問題
練習問題
解答
空間の４点が同一平面上にあるための条件問題
練習問題
解答
１．A (2 , 0 , 0) ，B (0 , 1 , 1) ，C (1 , 1 , 0) ，D (a − 4 , a − 1 , a − 2) とすると



AB = (−2 , 1 , 1) , AC = (−1 , 1 , 0) , AD = (a − 6 , a − 1 , a − 2)
点 D が平面 ABC 上にあるためには



AD = s AB + t AC
を満たす実数 s，t が存在すればよい．上式に成分を代入して
(a − 6 , a − 1 , a − 2) = s (−2 , 1 , 1) + t (−1 , 1 , 0)
= (−2 s − t , s + t , s )
 ①
 − 2s − t = a − 6

 ②
⇔  s + t = a −1
 s = a−2
 ③

a − 2 + t = a −1 ⇔ t = 1
②，③より
ゆえに，①から
−2(a − 2) − 1 = a − 6 ⇔ a = 3 , s = 1
よって，求める a の値は
a=3
t


AB = (−2 , 1 , 1) , AC = (−1 , 1 , 0) から
 
AB × AC = (−1 , − 1 , − 1) = −(1 , 1 , 1)
点 D が平面 ABC 上に存在するためには

−2
−1
1
1
−1
 
AD ⊥ AB × AC
が成り立てばよい．

したがって， AD = (a − 6 , a − 1 , a − 2) より
  
AD ⋅ AB × AC = 0
⇔ (a − 6) + (a − 1) + (a − 2) = 0
⇔ a=3
２．P (1 , 0 , 0) ，Q (0 , 1 , 0) ，R (0 , 0 , 1) ，S (7 , y , z ) から



PQ = (−1 , 1 , 0) , PR = (−1 , 0 , 1) , PS = (6 , y , z )
点 S が平面 PQR 上にあるためには



PS = s PQ + t PR
を満たす実数 s，t が存在すればよい．上式に成分を代入して
(6 , y , z ) = s (−1 , 1 , 0) + t (−1 , 0 , 1)
= (− s − t , s , t )
 − s −t = 6

⇔ s=y
t=z

 ①
 ②
 ③
②，③を①に代入して
−y − z = 6 ⇔
y + z = -6
このとき
−1−
−2
−1
1
0
−1
−1
http://www.geocities.jp/ikemath
OS = 7 + y + z = 49 + y + ( − y − 6)
2
2
2
2
2
2
= 2 y 2 + 12 y + 85 = 2( y + 3) 2 + 67
これから， OS は y = −3 のとき最小値 67 をとる．
2
よって，OS > 0 であるから，求める OS の長さの最小値は
67 である．
A (2 , 1 , 3) ，B ( −3 , 1 , − 5) ，C (4 , 2 , 1) ，D (8 , 5 , 2 x − 5) から



AB = (−5 , 0 , − 8) , AC = (2 , 1 , − 2) , AD = (6 , 4 , 2 x − 8)
３．(1)
点 D が平面 ABC 上にあるためには



AD = s AB + t AC
を満たす実数 s，t が存在すればよい．上式に成分を代入して
(6 , 4 , 2 x − 8) = s (−5 , 0 , − 8) + t (2 , 1 , − 2)
= (−5s + 2t , t , − 8s − 2t )
 − 5s + 2t = 6

⇔ t=4
 − 8s − 2t = 2 x − 8

 ①
 ②
−5s + 8 = 6 ⇔ s = 2
5
①，②より
A
 ③
C
③に代入して
E
− 16 − 8 = 2 x − 8 ⇔
5
(2)
x=−8
5
B
点 E は直線 AD 上の点であるから


AE = k AD （k は実数）
とおける．

(1)の結果から， AD =

AE = k
(
2 
D

AB + 4 AC であるから，これを上式に代入して
5

)


2 
2 
AB + 4 AC = k AB + 4k AC
5
5
ここで，点 E は直線 BC 上の点でもあることから
2 k + 4k = 1 ⇔ k = 5
5
22
 1  10 
AB +
AC より，CE：EB＝1：10  ④
よって， AE =
11
11
 2
 2
 
AB = 25 + 64 = 89 , AC = 4 + 1 + 4 = 9 , AB ⋅ AC = −10 + 16 = 6
から
△ABC＝
1
2

AB
2

AC
2
  2
− ( AB ⋅ AC ) = 1 89 × 9 − 62 = 1 765 = 3 85
2
2
2
よって，④より
△ACE＝
1 △ABC＝ 1 ⋅ 3 85 = 3 85
11
11 2
22
−2−

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