レポート問題1

数学 4 A ノート 1
2015 年 4 月 8 日
Masato Kurihara
1. (n 次元ベクトルと行列の積) n 次元実ベクトル全体を Rn と書く


x1


 x2 



Rn = {
 ...  | x1 ,...,xn は実数 }.


 ... 
xn


a11 a12 ..... a1n


 a21 a22 ..... a2n 

 に対して、
n 次行列 A = 
... ..... ... 
 ...

an1 an2 ..... ann

 

x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn

 

 x2   a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn 




A
=

...
 ...  

xn
an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn
と行列とベクトルの積を定義する.
2. (線型写像と一次変換) 写像 (関数) f : Rn −→ Rn が
すべての x, y ∈ Rn について
f (x + y) = f (x) + f (y)
すべての x ∈ Rn , 実数 c について
f (cx) = cf (x)
をみたすとき、f は線型写像である、または Rn の一次変換である、と
言う.
定理. f を Rn の一次変換とするとき、n 次行列 A が存在して、
f (x) = Ax
と書くことができる.
このとき、A を f に対応する行列とよぶ.
1
3. (行列の積と写像の合成) A, B を n 次の行列とし、fA (x) = Ax, fB (x) =
Bx と一次変換 fA , fB を定義する.
定理. 写像の合成 fA ◦ fB は一次変換である. この一次変換に対応する
行列は、行列の積 AB である.




0
0
1
 1 
 ...


 0 





, e =  0 ,..., en = 
というのは、e1 = 
0
...  2
 ... 
1
0
0
fB (e1 ) = b1 ,...,fB (en ) = bn とおくと、B = (b1 ...bn ) であり、



 とおき、

(fA ◦ fB )(ei ) = fA (fB (ei )) = fA (bi )
となっている. 一方、AB = (Ab1 ...Abn ) であり、fAB (ei ) = Abi = fA (bi ) =
(fA ◦ fB )(ei ) となる. fAB を AB に対応する一次変換とすると、以上により、
fAB = fA ◦ fB がわかる.
このように、もともと行列の積というものは、写像の合成と対応するよ
うに定義されているのである.
4. (結合法則) 上の 3 を使うと、n 次行列 A, B, C に対して、結合法則
(AB)C = A(BC) がすぐに確かめられる. というのは、写像の合成
には結合法則が成立するので、(fA ◦ fB ) ◦ fC = fA ◦ (fB ◦ fC ) は直
ちにわかるからである. 上の写像の合成に対応する行列を考えれば、
(AB)C = A(BC) がわかる.
—————————————-
(
問題 1. A, B を 2 次行列とする. A+B =
3 3
−1 0
)
(
, A−B =
−1 −3
1 −2
)
のとき、A2 − B 2 を計算せよ.
問題 2. 28 ページ問 2.1.5 を解け.
(
)
2 1
とするとき、正の整数 n に対して、An を計算せよ.
問題 3. A =
0 2
(
)
a b
問題 4. A =
(ad − bc ̸= 0) とするとき、A に対応する一次変換
c d
により、直線は必ず直線に移されることを証明せよ.
問題 5. e1 ,...,en を上の通りとする. Rn から Rn への一次変換 f を f (e1 ) =
e2 , f (e2 ) = e3 ,..., f (en−1 ) = en , f (en ) = e1 となるように定める. f
に対応する行列 A を求めよ (f = fA となる行列 A を求めよ).
提出以上の問題を解いて、4 月 15 日のこの授業のときに提出すること
(A4 レポート用紙に名前、学籍番号、語学の組を書いて提出すること)
2

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