(1) y = f(x) (2)

1
関数 f(x) = 1 + sin x + sin2 x (0 5 x 5 2¼) を考える．以下の問いに答えよ．
(1) y = f(x) の増減表を作成し，極値を求めよ．
5
(2) x =
¼ のとき，和 sin x + cos x と積 sin x cos x の値をそれぞれ求めよ．
12
(3) 次の不等式 ‘; ’ がそれぞれ成り立つことを証明せよ．また，等号がいつ成立するか．それぞれ調
べよ．
p
‘ f(x) = sin x(1 + 2 + cos x) (0 5 x 5 ¼)
3
7
3 2
¼
;
’ (sin x + cos x) # ¡ sin x cos x; 5 # ; #0 5 x 5
4
2
2
（浜松医科大学 2012 ）
2
24 時間診療業務を休みなく行う病院において，40 日間で 1 万個使用される医療材料 A について考える．A
の使用頻度は常に一定であり，1 日の時間帯や曜日による変動は全くないものとする．さて，病院におけ
る在庫管理では，
「品切れ」が起きないこと，
「コスト」をできるだけ低くすること，この 2 つが肝要である．
医療材料 A の保管費は，その保管期間に比例し，1 個につき 10 日間で 1 円である．また，納入業者に A を
注文すれば，注文量の多少に関わらず，品物が届いた時点で 200 円の事務費がかかる．なお，担当者は A
の在庫量 y の時間的推移を把握しており，品切れになる直前という最適のタイミングで，注文した量が届
くものとする．われわれは，保管費と事務費の和 S を最小にするような注文の仕方を求める．以下の問い
に答えよ．
(1) A の在庫は最初 1 万個あったとする．そして注文する量は毎回一定として，x で表す．このとき，時間 t
による在庫量 y の変化を表すグラフを，横軸を時間の t 軸とする座標平面上に図示せよ．
（図示する際には，
適当な x の値を自ら設定すること．
）
以下，1 回目の注文によって品物の届く時点以降の y の変化について考察する．
(2) 周期的な y の変動に留意して，平均在庫量を求めよ．
(3) 長期にわたる保管費，事務費の総額をそれぞれ見積もり，保管費と事務費の和 S の「 1 日当たりの平均コ
スト」を求めよ．さらに，この 1 日当たりの平均コストを最小にするような x の値を求めよ．
（浜松医科大学 2012 ）
3
n は自然数を表すとして，以下の問いに答えよ．
(1) 平面を次の条件を満たす n 個の直線によって分割する．
【どの直線も他のすべての直線と交わり，どの 3 つの直線も 1 点で交わらない．
】
このような n 個の直線によって作られる領域の個数を L(n) とすると，L(1) = 2; L(2) = 4 は容易にわ
かる．次の問いに答えよ．
‘ L(3); L(4); L(5) をそれぞれ求めよ．
’ L(n) の漸化式を求めよ．
“ L(n) を求めよ．
(2) 平面を次の条件を満たす n 個の円によって分割する．
【どの円も他のすべての円と 2 点で交わり，どの 3 つの円も 1 点で交わらない．
】
このような n 個の円によって作られる領域の個数を D(n) とすると，D(1) = 2 は容易にわかる．次の問
いに答えよ．
‘ D(2); D(3); D(4) をそれぞれ求めよ．
’ D(n) の漸化式を求めよ．
“ D(n) を求めよ．
（浜松医科大学 2012 ）
4
1 個のさいころを 3 回投げる．1 回目，2 回目，3 回目に出る目の数をそれぞれ X1 ; X2 ; X3 として，3 つ
の確率変数
Y = 4X1 + X2 ;
Z1 = 2X1 + 3X2 ;
Z2 = 2X1 + 3X3
を定める．1 から 6 までの目は等確率で出るものとするとき，以下の問いに答えよ．
(1) 数の集合 U = fx j x は整数かつ 5 5 x 5 30g を全体集合として，
¯
¯
1
k
S = Sx ¯ x 2 U かつ P(Y = x) >
36
¯
¯
1
k
T = Sx ¯ x 2 U かつ P(Z1 = x) >
36
を定める．部分集合 S と T の要素をそれぞれ列挙せよ．
(2) Y の値が S に属するという事象を A とし，i = 1; 2 に対して Zi の値が T に属するという事象を Bi と
する．次の問いに答えよ．
‘ i = 1; 2 に対し，等式 P(A \ Bi ) = P(A)P(Bi ) が成り立つかどうか，それぞれ調べよ．
’ 条件つき確率 PA (B1 \ B2 ) の定義式をかき，その値を求めよ．
（浜松医科大学 2012 ）
5
2 次曲線 C が媒介変数 µ を用いて，
x = 3 + 5 cos µ;
y = 2 + 3 sin µ
(0 5 µ 5 2¼)
と表されている．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 曲線 C の方程式を x; y を用いて表せ．また，C を座標平面上に図示せよ．
(2) 曲線 C 上の点 P(3 + 5 cos µ; 2 + 3 sin µ) における C の接線 ` の方程式は，
cos µ
sin µ
(x ¡ 3) +
(y ¡ 2) = 1
5
3
となることを示せ．
(3) 曲線 C の焦点を F1 ，F2 とする．i = 1; 2 に対し，Fi を通り，接線 ` に垂直な直線 mi の方程式を求めよ．
(4) i = 1; 2 に対し，直線 mi と ` との交点を Qi とする．点 O0 (3; 2) とするとき，線分 O0 Qi の長さを求
めよ．
(5) P が曲線 C を一周するとき，線分 Q1 Q2 の長さの最大値，最小値，およびそのときの点 P をそれぞれ求
めよ．
（浜松医科大学 2011 ）
6
医学部における研究では，いろいろな動物が用いられる．これらの動物を生育して，研究者たちに販売す
る者の立場から，動物 A，B，C を題材にして，以下の問題を考察する．
(1) 動物 A，B を生育するには，3 種類の栄養素 p; q; r が必要である．生育量（単位 kg ）と栄養素の量は，
ともに実数で示される．
（条件 a ） A を x kg 生育するには，p が 5x，q が 5x，r が x の量，同時に必要である．A の販売価格
は 10 万円 =kg である．
（条件 b ） B を y kg 生育するには，p が 4y，q が y，r が 2y の量，同時に必要である．B の販売価格
は 5 万円 =kg である．
手持ちの栄養素は今，p が 5，q が 4，r が 2 の量であると仮定する．このとき，A，B をそれぞれ何 kg 生
育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときの A，B の生育量をそれぞれ求めよ．
(2) 動物 A，B に加えて，動物 C も p; q; r の栄養素によって生育できることがわかる．
（条件 c ） C を z kg 生育するには，p が 2z，q が 3z，r が z の量，同時に必要である．C の販売価格は
8 万円 =kg である．
手持ちの栄養素は今，p が 5，q が 4 の量であるが，(1) の場合と違って r はいくらでも手に入るものと仮
定する．次の問い ‘; ’; “ に答えよ．
11
; として値を固定し，A，B の生育量をそれぞれ x kg，y kg
10
として変化させる．このとき，点 (x; y) の動く領域 D(k) を図示せよ．さらに，(x; y) がこの領域
‘ C の生育量 z kg は，z = k #0 5 k 5
を動くとき，販売額の最大値を w(k) とかく．w(k) を k の式で表せ．
11
4
11
の範囲から
5 k 5
の範囲に変更する．このとき，点
’ C の生育量 z = k を，0 5 k 5
10
10
3
(x; y) の動く領域 D(k) および販売額の最大値 w(k) はどうなるか，調べよ．
“ A，B，C をそれぞれ何 kg 生育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときの
A，B，C の生育量をそれぞれ求めよ．
（浜松医科大学 2011 ）
7
実数 k は
¼
¼
5k5
の範囲にあるとする．
3
2
f(x) =
g(x) =
Z
k
Z ¡k
k
¡k
sin(x ¡ t) cos t dt
(¡k 5 x 5 k)
sin(x ¡ t) cos t dt (¡k 5 x 5 k)
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
¼
¼
; と g #¡ ;，2 つの定積分の値をそれぞれ求めよ．
6
6
(2) 差 f(x) ¡ g(x) は，区間 ¡k 5 x 5 k で増加することを示せ．
(1) f #
(3) 曲線 y = g(x) の変曲点は何個あるか，調べよ．
（浜松医科大学 2011 ）
8
次の問いに答えよ．
(1) 3 つの数 210 ¡ 1; 310 ¡ 1; 410 ¡ 1 の積を y = (210 ¡ 1)(310 ¡ 1)(410 ¡ 1) として，全体集合 U と部分
集合 A; B を次のように定める．
U = fx j x は y の正の約数 g
A = fx j x 2 U かつ x は 44 の倍数 g
B = fx j x 2 U かつ x は 45 の倍数 g
このとき，部分集合 A \ B に属する要素は，全部で何個あるか．
以下，数列 an = 4n ¡ 1 (n = 1; 2; 3; Ý) を考える．
(2) 次の命題 P を証明せよ．
命題 P
n が 3 で割り切れることは，an が 9 で割り切れるための十分条件である．
(3) 命題 P において，十分条件を必要十分条件に書きかえて，命題 Q をつくる．命題 Q の真偽を答えよ．
(4) 9 と 11 のうち，どちらか一方の数で割り切れるけれども，他方の数では割り切れないような an だけを取
り出し，残りはすべて取り去る．こうして得られる an の部分列を小さい順に並べると，23 番目の項は元
の数列では第 k 項になるという．番号 k を求めよ．
（浜松医科大学 2011 ）
9
平行六面体 ABCD-EFGH において AD を 2 : 1 に内分する点を M，FG を 3 : 2 に内分する点を N とする．
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
対角線 AG と平面 HMN との交点を P とする．AB = a ，AD = b ，AE = c とするとき，次の問いに
答えよ．
¡! ¡¡! ¡!
¡
! ¡
! ¡
!
(1) AH，HM，HN それぞれを a ; b ; c を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(2) AP を a ; b ; c を用いて表せ．
（浜松医科大学 2010 ）
10 3 次関数 f(x) = x3 ¡ 3ax2 (a > 0) と，曲線 C : y = f(x) (¡1 < x < 1) を考える．以下の問いに答
えよ．
(1) y = f(x) の変曲点における接線の式を求めよ．
(2) 曲線 C はこの変曲点に関して対称であることを示せ．
(3) b; c は実数とする．3 次方程式 x3 ¡ 3ax2 = bx ¡ c が 3 つの解をもち，それらの解が等差数列をなすと
き，c を a; b の式で表せ．
p
(4) (3) において，等差数列の公差が 2 3 に等しいとする．このとき，3 次関数 f(x) ¡ bx + c の極値を求めよ．
（浜松医科大学 2010 ）
5x + 3
との交点を P1 (x1 ; y1 )
x+3
とする．次に，P1 を通り x 軸に平行な直線と直線 ` : y = x との交点を P2 (x2 ; y2 ) とする．さらに，P2
11 座標平面上に P0 (1; 0) を取る．P0 を通り y 軸と平行な直線と曲線 C : y =
を通り y 軸と平行な直線と C との交点を P3 (x3 ; y3 ) とし，P3 を通り x 軸に平行な直線と直線 ` との交点
を P4 (x4 ; y4 ) とする．以下この操作を続けて点列 P5 (x5 ; y5 )，P6 (x6 ; y6 )，Ý，Pn (xn ; yn )，Ý を定
める．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 曲線 C のグラフを描け．また，その漸近線を求めよ．
zn+1
x2n¡1 ¡ 3
(n = 1; 2; 3; Ý) とおくとき，
を求めよ．
(2) zn =
x2n¡1 + 1
zn
(3) 数列 fzn g はどのような数列か．また，その一般項 zn を求めよ．
(4) 数列 fxn g の一般項 xn を求めよ．さらに，極限 lim xn を求めよ．
n!1
（浜松医科大学 2010 ）
12 ある感染症の対策について考える．感染症の防御のためには感染拡大の試算が必要であり，感染拡大は自
然にはその感染症の感染力と，致死性によって予測される．感染経路は，飛沫，接触，飲食などいろいろ
あり，感染力の制御，つまり感染を広げないために，ワクチン開発はもちろんであるが，外出規制（イベ
ントの自粛や学級閉鎖など），手洗い呼びかけ，などが有効である．
ここでは簡単のために，1 つの感染症のみを考え，ある一定の集団（たとえば 1000 人程度の島）を対象と
し，外部との接触，出入りがないと仮定する．最初の時点での過去感染者，未感染者，現在感染者の割合
をそれぞれ x0 ; y0 ; z0 とする．現在感染者は 1 か月後にはすべて過去感染者となり，一度感染した人はも
う感染しない．また幸いなことにこの感染により死者は生じず，また簡単のために他要因による死者，あ
るいは出生，転入出もないとする．
1 か月ごとの変動を見ることとし，i か月後の時点の上記の割合をそれぞれ xi ; yi ; zi で示す．症状は丁度
1 か月続くので，一人の人が現在感染者として数えられるのは 1 回のみである．
過去感染者は，それまでの過去感染者に，1 か月前の現在感染者を足したものである．また，現在感染者
は，1 か月前の未感染者と 1 か月前の現在感染者の接触頻度と，この感染症の感染力によって決まる．接触
頻度の係数を a，感染力の係数を b とすると，現在感染者の割合は 1 か月前の現在感染者の割合，未感染
者の割合，a; b の 4 つをかけたもので求められる．
x0 = 0，y0 = 0:9，z0 = 0:1 として，以下の問いに答えよ．計算は小数点以下第 4 位を四捨五入して求
めよ．
(1) xi ; yi ; zi を，xi¡1 ; yi¡1 ; zi¡1 ; a; b で表せ．
(2) a = 1; b = 1 として，x1 ; y1 ; z1 ; x2 ; y2 ; z2 ; x3 ; y3 ; z3 をそれぞれ求めよ．
(3) a = 1，感染力の係数 b を 2 とした時の x1 ; x2 ; x3 を求めよ．
(4) 手洗いの徹底や外出規制が最初からなされたとして，a = 0:5，b = 1 とした時の，x1 ; x2 ; x3 を求め，
(2)，(3) の結果と共に，縦軸を過去感染者の割合，横軸を時間として，3 つの場合の変化を同一座標上にグ
ラフで示せ．
（浜松医科大学 2010 ）

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