第4章複素数

第 4 章複素数
複素数は，実数の概念を拡張した新たな「数」である．物理で扱う時間，速度などの観測・測
定可能な量は，実数（及び，付随する s, m/s などの単位）で表されるため，最終的には複素数は
必要ではない．しかし，複素数を用いると，理論や法則が適切かつ簡単に表現できる，問題の解
析が容易になる，などの多くの利点があるため，複素数は，物理のさまざまな場面での欠かせな
い道具となっている．この章では，複素数の基本的な演算や性質，複素数平面の概念を学ぶ．
4.1
複素数
• 複素数
i2 = −1 となる実数には含まれない新しい数を考え，i を虚数単位とよぶ．2 つの
実数 a, b に対して，α = a + b i の形の数を複素数といい，a, b を，それぞれ，複素数 α の
実部，虚部という．b i は，i b と表してもよい．特に，b = 0 のとき，α = a は実数となる．
a = 0 のときの α (= b i) を純虚数という．複素数 α の実部，虚部は，それぞれ，Re α, Im α
とも表す．
• 共役複素数複素数 α = a + b i に対して，複素数 a − b i を α の共役（きょうやく）複素数とい
い，α で表す．共役複素数の定義により，α = α が成り立つ．α を用いると，α の実部，虚
部は
Re α =
α+α
,
2
Im α =
α−α
2i
(4.1)
と表される．したがって，
「α は実数 ⇔ α = α」，
「α は純虚数 ⇔ α = −α」が成り立つ．ま
た，以下の関係式が成り立つ．
α ± β = α ± β,
αβ = αβ,
! "
α
β
=
α
β
(4.2)
• 複素数の相等・演算 2 つの複素数 α = a + b i, β = c + d i が等しい（α = β ）のは，a = c
かつ b = d のときに限る．特に，α = 0 であるのは，a = b = 0 のときに限る．
複素数の四則演算は，i を未知の実数として扱った場合と同じであるが，i2 = −1 に注意す
る．特に，割り算では，分母に虚数単位 i が表れないように，分母の共役複素数を分母と分
子にかけることにより，以下のように「分母の実数化」を行う．
α
a + bi
(a + b i)(c − d i)
ac + bd bc − ad
+ 2
i
=
=
= 2
β
c + di
(c + d i)(c − d i)
c + d2
c + d2
29
(4.3)
例題 4.1 複素数 α = a + b i, β = c + d i に対し，(4.2) の各等式を示せ．
解（第 1 式）
：α±β = (a±c)+(b±d) i より，α ± β = (a±c)−(b±d) i = (a−b i)±(c−d i) = α±β.
（第 2 式）
：αβ = (a + b i)(c + d i) = (ac − bd) + (bc + ad) i より，αβ = (ac − bd) − (bc + ad) i.
一方，αβ = (a − b i)(c − d i) = (ac − bd) − (bc + ad) i. したがって，αβ = αβ.
! " !
"
! "
α
1
1
1
1
c − di
（第 3 式）
：第 2 式より，
= α
=α
が成り立つ．さらに， =
= 2
より，
β
β
β
β
c + di
c + d2
! "
! "
! " ! "
! "
1
c + di
1
1
c + di
1
1
α
α
= 2
となる．
=
= 2
より，
=
となるから，
= .
β
c + d2
c − di
c + d2
β
β
β
β
β
問 4.1 任意の複素数 α = a + b i に対し，αα は実数 a2 + b2 ( >
= 0) となることを示せ．
問 4.2 次の複素数を a + b i の形に表せ．
√
5 − 3 3i
√ , (3) (1 + i)(3 + i) − i(4 + i)(1 + 2i)
(1) (1 + 2i)(2 − 3i), (2)
1 + 3i
4.2
複素数平面
• 複素数平面
平面上に座標系 O-xy を設定し，複素数 z = x + y i に対して点 P(x, y) を対
応させるとき，この座標平面を複素数平面（あるいは複素平面）とよび，x 軸を実軸，y 軸
を虚軸とよぶ．この対応は，異なる複素数は複素数平面の異なる点を表し，逆に，複素数平
面の異なる点は異なる複素数を表すような 1 対 1 の対応となっている．したがって，複素数
−→
z = x + y i は，複素数平面上の対応する点 P の座標 (x, y), あるいは，その位置ベクトル OP
により一意に指定することができる．
図 4.1: 複素数平面
30
• 極形式複素数 z = x + y i を複素数平面内の点 P(x, y) として表したとき，P の位置は，極
座標 (r, θ) を用いて指定することもできる．つまり，x = r cos θ, y = r sin θ であるから，z
は，
z = r(cos θ + i sin θ)
(4.4)
と表される．このような表示を極形式という．ここで，r, θ を，それぞれ z の絶対値，偏角
といい，|z|, arg z で表す．つまり，
|z| =
#
x2 + y 2 (=
√
zz),
x
,
|z|
cos θ =
sin θ =
y
|z|
である．z = 0 の場合は偏角は定まらないため，arg 0 は定義しない．
2 つの複素数 z1 , z2 の絶対値と偏角に関して，
|z1 z2 | = |z1 ||z2 |,
$ $
$ z1 $
$ $ = |z1 | ,
$z $
|z2 |
2
arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ),
(4.5)
arg
!
z1
z2
"
= arg z1 − arg z2
(4.6)
が成り立つ．これらは，z1 , z2 を極形式で表して z1 z2 , z1 /z2 を計算することにより，示すこ
とができる．
（問 4.7，図 4.2 (2) 参照．
）
絶対値が 1 の複素数 z (|z| = 1) は，極形式を用いて，z = cos θ + i sin θ と表されるが，こ
れを eiθ と書き表す．つまり，
eiθ = cos θ + i sin θ
(4.7)
と表す．任意の複素数は，この表式を用いて
z = reiθ
(r >
= 0)
と表すことができる．さらに，r > 0 のとき，reiθ = elog r eiθ を
z = elog r+iθ
(4.8)
と書き表すこともある．
−−→ −−→
例題 4.2 複素数 z1 , z2 の複素数平面上での位置ベクトルが OP1 , OP2 であるとき，任意の実
−−→
−−→
数 a, b に対し，az1 + bz2 を表す点は aOP1 + bOP2 により与えられることを示せ．
解 z1 = x1 + y1 i, z2 = x2 + y2 i とすると，az1 + bz2 = (ax1 + bx2 ) + (ay1 + by2 ) i となり，ベク
−−→
−−→
トル aOP1 + bOP2 の表す点 (ax1 + bx2 , ay1 + by2 ) と等しい．
（図 4.2 (1) 参照．
）
31
図 4.2: 複素数の演算：(1) 和・差；(2) 積・商
問 4.3 z1 − z2 は，複素数平面上の z1 と z2 を表す点の距離を与えることを示せ．また，z とその
共役複素数 z は，複素数平面上の実軸に対して常に対称の位置にあることを示せ．
例題 4.3 複素数 z = −1 +
√
3i を極形式を用いて表せ．
解図のように，複素数平面に図示すると理解しやすい．
#
√ 2
|z| = (−1)2 + 3 = 2 である．また，cos θ = −1/|z| =
√
−1/2, sin θ = 3/2 より，θ = (2/3)π, したがって，z =
2
2(cos 32 π + i sin 23 π). （あるいは，z = 2e 3 iπ .）
問 4.4 次の複素数 z をそれぞれ複素数平面に図示し，極形式を用いて表せ．
√
(1) −3i, (2) −2, (3) −1 + i, (4) −3 − 3i
問 4.5 次の複素数 z の実部 Re z と虚部 Im z を求めよ．
（それぞれ複素数平面に図示せよ．
）
5
5
(1) z = eiπ , (2) z = 3ei 2 π , (3) z = e1+i 6 π ,
32
例題 4.4 絶対値が 1 の複素数 eiθ1 = cos θ1 + i sin θ1 , eiθ2 = cos θ2 + i sin θ2 に対し
(cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 + i sin θ2 ) = cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )
%
eiθ1 eiθ2 = ei(θ1 +θ2 )
⇔
&
(4.9)
が成り立つことを示せ．
解左辺を計算し実部と虚部の和の形に直し，それぞれに三角関数の余弦，正弦の加法定理を用い
ることにより示せる．具体的には以下のようになる．
(cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 + i sin θ2 ) = (cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 ) + i(sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2 )
= cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )
問 4.6 任意の整数 n に対し，
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
%
⇔
(eiθ )n = einθ
&
(4.10)
が成り立つことを示せ．
問 4.7 極形式で表された 2 つの複素数 z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ), z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ) に対し
て，z1 z2 を計算することにより，(4.5), (4.6) を示せ．
33
4.3
複素数値関数
変数 t に対し，複素数 z を対応させる複素数値関数 z = z(t) を考える．z = x + y i のとき，
z = z(t) は，2 つの関数 x = x(t), y = y(t) により表される．z = z(t) は，複素数平面を考えるこ
とにより，平面上のベクトル値関数とみなすことができ，その微分，積分は前章 3.4 節で定義した
ものと同様である．つまり，
dz
dx
dy
=
+i ,
dt
dt
dt
'
zdt =
'
xdt + i
'
ydt
(4.11)
が成り立つ．z が極形式 z = r(cos θ + i sin θ) で与えられている場合には，x = x(t), y = y(t) の代
わりに，関数 r = r(t), θ = θ(t) により z = z(t) を表してもよい．この場合，z の導関数は，
dz
dt
d
d
(r cos θ) + i (r sin θ)
dt
dt
!
"
dr
dθ
=
+ ir
(cos θ + i sin θ)
dt
dt
=
(4.12)
と表される．
例題 4.5 2 つの（実数値）関数 a = a(t), θ = θ(t) によって ea(t)+iθ(t) と表される複素数値関数
の導関数は，
d z
dz z
e =
e
dt
dt
(z = a + iθ)
(4.13)
を満たすことを示せ．
解
d z
dt e
を実部と虚部に分けると，
d z
d a
d
d
e =
[e (cos θ + i sin θ)] = (ea cos θ) + i (ea sin θ)
dt
dt
dt
dt
d
となる．それぞれ，積の微分の公式を用いると，dt
(ea cos θ) = ea (a! cos θ − θ! sin θ),
ea (a! sin θ
+
θ! cos θ)
(4.14)
d
a
dt (e sin θ)
=
であるから，式 (4.14) の右辺に代入して整理すると，
d z
e = ea (a! + iθ! )(cos θ + i sin θ)
dt
となるが，ez = ea (cos θ + i sin θ), z ! = a! + iθ! であるから，これは (4.13) を表す．
d f (t)
d
※ 式 (4.13) は，z が実数である場合の指数関数の微分の公式（ dt
e
= { dt
f (t)}ef (t) ）とまった
く同じ形を持つことに注意せよ．
問 4.8 複素数値関数 z = z(t) が，z = eiωt （ω: 定数）で与えられているとする．このとき，
d2
z + ω2z = 0
dt2
が成り立つことを示せ．
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