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10回目
応用数学II 演習問題
学年
学籍番号
氏名
演習次の積分の値を求めよ。ただし、各積分路はすべて正方向とする。
(1)
iz
 e dz
y
i
C={z| |z|=1}
C
C
積分路Cは右図のとおり。
関数zは全ての領域において正則である。よってコーシーの積分
定理より積分値は0となる。
3 sin z
dz
(2) C
z  i 3
x
O
1
y 2i
C={z| |z|=2}
C
積分路Cは右図のとおり。
点z=iは円Cの内部にある。そこで、f(z)=3sin z とすると、これはCの内部
では正則な関数なので
f’(z) = 3cos z
-2
x
2
O
-2i
f’’(z) = -3 sin z
よってグルサーの公式より
f (i ) 
2!
f z 
dz

2i C  z  i 3
2i
f z 
e  e 1
e2  1


dz 

 f (i )  i  3 sin i  3i 
 3 
C  z  i 3
2!
2i
2e
1
 z  2 dz
(3)
n
C
C={z| |z|=1}
y
i
C
積分路Cは右図のとおり。
関数zはz=-2において正則ではない。しかし、積分路領域において正
則なのでコーシーの積分定理より積分値は0となる。
(4)
3z 2
C z  i 3 dz
1
中心をO点、半径2の円をCとする。
積分路Cは右図のとおり。
点z=iは円Cの内部にある。そこで、f(z)=3z2 とすると、これはCの内部では
正則な関数なので
f’(z) = 6z
f’’(z) = 6
よって、グルサーの公式より
f (i ) 
x
O
2!
f z 
f z 
2i
dz  
dz 
 f (i )  i  6  6i
3
3

C
C
2i  z  i 
2!
z  i 
y
2i
C
O
x
2
10回目
応用数学II 演習問題
学年
学籍番号
(5)
sin z
 z2 z  1 dz
氏名
y
C={z| |z|=1}
C
i
C
積分路Cは右図のとおり。
sin z
f z  
とすれば、
z 2 z  1
x
O
1
z=0は、ロピタルの定理が成り立ち、極限が存在するため、極ではない。したがって、
極はz=-1/2で1位の極を持つ。したがって、それぞれの留数は

1
sin z 
1  sin z 
 1 sin z  1  1
 1
1
Res f     lim  z  
  lim1  2 z  1
  lim1 

1
z 2 z  1  z   2 z  2  1
2  z 2 z  1  z   2
 2  z  2 
2
2
2
よって流数定理より
(6)

C
sin z
 z2 z  1 dz  2i
C
z
dz
2 z  5z  2
C={z| |z|=1}
2
積分路Cは右図のとおり。
y
z
z
z
dz
C 2 z 2  5 z  2dz  C 2 z  1z  2dz  C  1 
2 z   z  2
2

z
より、z=1/2はCの内部の点で、 f  z  
2 z  2
i
C
x
1
O
としてコーシーの積分公式を用いると

C
(7)
z
f z 
i
1
dz  
dz  2if    
C
1
3
2z  5z  2
2
z
2
2
z
 z  2z  5dz
C
C={z| |z|=4}
y
積分路Cは右図のとおり。
C
f z  
z
z  5 とすると、この関数はCおよびその内部で
正則である。=-2としてコーシーの積分公式を用いると
z
1
2
4
 z  5  z  2 dz  2i  2  5  7 i
C
4i
O
4
x
10回目
応用数学II 演習問題
学年
学籍番号
氏名
ez
dz C={z| |z-i|=1}
z  i 2
(8) C
y
O
積分路Cは右図のとおり。
C
=iとし、f(z)=ezとおくと、このf(z)は複素平面全体で正則であ
る。またf’(z)= ez なのでグルサーの公式より、
i
x
1!
f z 
f z 
f i  
dz  
dz  2i  ei  2 2i
2
2

C
C
2i  z  i 
z  i 
(9)
cos z
dz C={z| |z+i|=1}
C z i

y
O
積分路Cは右図のとおり。
f(z)=cos z とし、=-iとして、コーシーの積分公式を用い
ると、

C
(10)
x
C
-i
i 2
cos z
2i
e 1
dz  2i cos i  
e  e 1  i e  e 1 
2
e
z i


C





2z
dz C={z| |z-i|=1}
z 2 1
y
積分路Cは右図のとおり。
2z
2z

dz
C z 2  1 C z  i z  i dz
2 z 、α=iとしてコーシーの積分公
となることから、 f ( z ) 
z  i 
式を適用すると

C
2z
2i
dz  2i  f    2i  2i
z 1
2i
2
C
i
O
x
10回目
応用数学II 演習問題
学年
学籍番号
(11)

C
氏名
z
e
dz C={z| |z|=2}
z 1
y
2i
C
積分路Cは右図のとおり。
x

C
(12)
ez
dz  2i  e1  2ei
z 1
2z
 z  i z  3dz
C={z| |z-1|=2}
C
y
C
積分路Cは右図のとおり。
f z  
2
O
f(z)=ezとし、=として、コーシーの積分公式を用いると、
x
-i
2z
とし、=iとして、コーシーの積分公式を用いると、
z 3
O
3
f z 
 z  i z  3dz   z  i dz  2if i 
2z
C
C
 2i
(13)
2i
2 3  i  2 i  3


i3
5
5
cos z
dz C={z| |z|=2}
C 3z  

y
積分路Cは右図のとおり。
2i
C
cos z
C   dz
3 z  
3


C
より、z=/3はCの内部の点で、 f  z  
cos z
3
としてコーシーの積分公式を用いると
f z 
cos z
 
dz  
dz  2if    2i
C
3z  
 
3
z 
3

cos

3  i
3
3
x
O
2

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