講義ノート13

第１１章振動
11-1 単振動
振動
１．平衡状態となる位置の周りで起こる．
２．周期的現象である．
振動数（frequency）f：1秒間のくり返し数（単位ヘルツ Hz）
周期（period）T：1回繰り返すのにかかる時間
T
1
f
(11.1)
1 Hz  1 s 1
(11.2)
1
最も単純な振動運動は三角関数で記述できる．
⇒ 単振動，調和振動
このような振動する物体を調和振動子
平衡位置からの変位
xt   A cost   A cos t
位相
振幅

2
T
 xt   A cos
xt   A cos2ft 
  2f
(11.3)
2t
T
(11.4)
(11.5)
(11.6)
角振動数（1秒間に何rad回転するか）
2
(11.5)より
vt  
dxt 
 2fA sin 2ft 
dt
(11.7)


2
2
速さの絶対値が最大となるのは， 2ft  , 3 ,
t
T 3T
,
,
4 4
vmax  2fA
(11.8)
11-2 単振動と円運動
半径R，角速度ωの円運動は（2.51）より，

r   A cost  0 , A sint  0 
単振動はこの円運動のx成分，あるいはy成分の運動となっている．
3

r   A cost  0 , A sint  0 
初期位相
t 0
での位置，速度
x0  A cos 0
vx 0   A sin 0
y0  A sin 0
v y 0  A cos 0
11-3 単振動のための力
単振動を引き起こす力
d 2x
F m 2
dt
4
x  A cost  0 
F  m 2 A cost  0   m 2 xt 
k  m 2
(11.9)
(11.10)
(11.10)というバネ定数をもつフック法則に従う力に
よって，単振動が引き起こされる．

k
1
, f 
m
2
d 2x
k


x
2
dt
m
d 2x
  Ax
2
dt
k
m
, T  2
m
k
(11.11)
(11.12)
 A  0 単振動を表す運動方程式
5
11-４単振動のエネルギー
バネの弾性的ポテンシャルエネルギーは，
US 
1 2
kx
2
(11.13)
単振動では力学的エネルギーが保存する．
1 2 1 2
E  mv  kx
2
2
(11.14)
xt   A cost  0 , vt    A sint  0 
1
1
2
2
m A sin t  0   k  A cost  0 
2
2
1
1
2
 m A  sin 2 t  0   kA2 cos 2 t  0 
2
2
1
2
 m A  sin 2 t  0   cos 2 t  0 
 k  m 2
2
E


6
E
1
1
mA2 2  kA2
2
2
(11.15)
また，(11.14)は
1 2 1
E  mv  m 2 x 2
2
2
(11.16)
11-５振り子
質量mの質点を長さLの質量の無視できる
糸に取り付けた振り子
糸に垂直な重力の成分は，
F  mg sin 
7
円弧の長さsとすると， s  L
d 2s
s
m 2  mg sin 
dt
L
θが小さく， sin   
d 2
g


sin 
2
dt
L
(11.17)
が成り立つとき，
θ (度)
20
10
5
1
θ (rad)
0.3491
0.1745
0.08727
0.01745
sinθ
0.3420
0.1736
0.08716
0.01745
d 2s
g
 s
2
dt
L

g
L
(11.18)
(11.19)
(11.20)
T  2
例えば，長さL=1mの振り子は，
L
g
T 2 s
(11.21)
8
11-6 減衰振動
単振動している物体に空気抵抗が
作用する場合


D  bv
(11.22)
b ：減衰定数
F  kx  bv
d 2 x b dx k

 x0
2
dt
m dt m
この解を x  Ae t
(11.23)
としてみると，
9
 2x 
b
k
x  x  0
m
m
 2  2   2  0
2
b
k
  0
m
m
b
k

,  
2m
m
     2   2
■減衰が小さいとき
  
     2   2    i  2   2    i '
x1  A1e  t i 't
x2  A2e  t i 't

'   2   2
一般解は，
x  e t A1ei 't  A2ei 't

x  e t  A1  A2 cos ' t  i A1  A2 sin  ' t 
xt  が実数であるという条件を加えると，
10
R，Sを実数として
A1  A2  R, A1  A2  iS
x  e t  A1  A2 cos ' t  i A1  A2 sin  ' t 
 e t R cos  ' t  S sin  ' t 
 Pe  t cos ' t  0 
R  iS
2
R  iS
A2 
2
A1 
 x  e t Pcos  ' t cos 0  sin  ' t sin 0 
P cos 0  R, P sin 0  S
xt   Pe

b
t
2m
cos ' t  0 
2
k  b 
 b 
'    




2
m
m
2
m




2
 
tan 0 
(11.24)
2
(11.25)
k
m
11
S
R
振幅は振動しながら減衰していく．
xmax t   Ae

bt
2m
m

b
xmax t   Ae
(11.26)
(11.27)

t
2
(11.28)
1
 1 2  
2
E  kxmax   kP e
2
2

t
(11.29)
エネルギーも指数関数的に減衰
振幅が1/eになる時間を時定数τという．
11-11 二原子分子の振動
d 2 x1
m1 2  k x1  x2  a 
dt
(11.61)
d 2 x2
m2
 k x1  x2  a 
2
dt
 k
d2
d 2 x1 d 2 x2
k 
x1  x2  a   2  2    x1  x2  a 
2
dt
dt
dt
 m1 m2 
mm
 1 2
m1  m2
d2
 2 x1  x2  a   k x1  x2  a 
(11.62)
dt
k
(11.63)


13
第１２章波の物理
12-1 さまざまな波
１．力学的波
物質が媒介して伝わる波．音波，海上の波
2．電磁波
媒介する物質を必要としない波．可視光，
電波，X線など．
3．物質波
電子や原子はそれ自身波の性質をもって
おり，物質波とよばれる．
14
12-2 進行波
波は進行するが，媒質は進行しない．
横波：ロープの波，電磁波
縦波：バネの生じる波，音波
12-3 一次元的な波
弦を伝わる波
線密度：
長さL，質量mの弦（紐）
m

L
(12.1)
15
張力Tで弦の両端を引っ張ると，
波の伝わる速さは，
vstring 
T

(12.2)
12-４一般的な波
波の変位： yx, t   Dx, t 
波の最大変位の位置（ D0 ）が
x  vt で移動
Dx, t   Dx  vt
(12.3)
右向きに速さｖ
Dx, t   Dx  vt
(12.4)
左向き
16
12-５正弦波
正弦波：各点が単振動する波を
1
T
f
(12.5)
T ：周期
f ：周波数（振動数）
正弦波での基本的な関係式
v

T
v  f
(12.5)
(12.6)
17
x


Dx, t  0  A sin 2  0 
 

(12.8)
x  vt


Dx, t   A sin 2
 0  (12.9)



 x t 

Dx, t   A sin 2     0  (12.10)
  T 

2
  2f 
T
(12.11)
  x t T 

Dx, t  T   A sin 2  
  0 
T 
 

 x t 

 A sin 2     0  2 
  T 

 x t 

 A sin 2     0   Dx, t 
  T 

k
2

(12.12)
波数
18
Dx, t   A sinkx  t  0 
  vk
(12.13)
(12.14)
12-6 平面波と球面波
平面波
Dx, y, t   A sin k x x  k y y  t  0  (12.15)
位相：   k x x  k y y  t  0
19

波数ベクトル： k  k x , k y 

位置ベクトル： r  x, y 
 
  k  r  t  0 (12.16)
 
■ k // r
  kr  t  0 , k  k x 2  k y 2 , r  x 2  y 2
(12.17)

波は k の向きに進み，その速さをｖとすると，
  v kx2  k y 2
(12.18)
球面波：ある点から対称に広がる波
Dx, y, t   A sinkr  t  0 ,
r  x2  y 2
(12.19)
20
12-9 波の重ね合わせ
二つ以上の波が同時に存在するとき，媒質の変位は
それぞれの波の変位の和となる．重ね合わせの原理
それぞれの波の変位： D1 , D2 , D3 , 
Dnet  D1  D2  D3     Di
i
(12.37)
21
12-11 波の干渉
２つの波源からr1，r2の距離の位置での振動
Dt   A sinkr1  t  1   A sinkr2  t  2 
(12.39)
sin     sin  cos   cos  sin 
sin  cos  
1
sin     sin   
2
1
 1

sin A  sin B  2 cos   A  B  sin   A  B 
2
 2

(12.40)
(12.41)
  
 k r  r       k r  r 
Dt   2 A cos  1 2  1 2  sin  1 2  t  1 2 
2
2  
2
2 

(12.42)
振幅
22
振幅
r 
 k r  r     
2 A cos  1 2  1 2 
2
2 

r1  r2
 
,   1 2
2
2
r
2
   2m,

(12.43)
m  整数
(12.44)
振幅が最も大きい
2
r

    2m  1,
m  整数
(12.45)
振幅ゼロ
23
12-13 定常波
両端を固定した弦をはじくと，上下に
振動する波ができる．
Dx, t   At sin kx
At   A cos t
(12.40)で   kx,   t
A
D  sin kx  t   sin kx  t 
2
(12.60)
左右に進行する波の和
 A cos t sin kx
24
弦の定常波
Dx, t   At sin kx
(12.61)
Dx  L, t   0
sin kL  0
kL 
2L

m 
2L
,
m
fm 
v
f1 
m
v
2L
 m ,
(12.62)
m  1,2,3, (12.63)
m  1,2,3,
m
v
,
2L
(12.64)
m  1,2,3, (12.65)
(12.66)
基本振動数
25

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