物質情報学 1（解析力学），担当 谷村省吾，講義ノート 7
ハミルトニアンとポアソン括弧
理論の定式化
を定め，改めてこれを f (x) のルジャンドル変
換と呼ぶことにする．こうしておくと，
言葉や記号の使い方を明瞭に決めて，まぎれ
f (x) + g(p) = px
なく考えを進めることができるような言葉のし
(4)
くみや規則を作ることを，理論を定式化 (forが成り立ち，f のルジャンドル変換は g であり，
mulate) するという．物理学の理論は，特別な
g のルジャンドル変換は f である，という双対
能力や特殊な思想を持っている人だけが使える
な関係が成り立つ．
ものではなく，その規則に従えば誰でも同様に
使えるように定式化されなくてはならない．ま
た，理論の定式化は唯一絶対のものではなく，
結果的には同じことを説明するが，見かけの異
なる複数の理論定式化が存在することもある．
ハミルトニアン
自由度が 1 の力学系を考える．この系の状態
力学は物体の運動を記述し予測するための理 は一般化座標 q(t) とその時間微分 q̇(t) で記述
論であり，その中でも数学的に洗練された部分 されるが，q̇ = v と書くことにする．この系の
を解析力学という．解析力学の定式化には何通 ラグランジアンは L(q, v, t) という関数である．
りか流儀があり，とくにラグランジュの流儀と たいていの系のラグランジアンは「運動エネル
ギー引く位置エネルギー」，つまり
ハミルトンの流儀が代表的である．
ここでは，前回導入したルジャンドル変換を
1
L = mv 2 − U (q)
2
用いて，ラグランジュ流の力学定式化からハミ
ルトンへ流の力学定式化へ移行する．
(5)
という形であり，L を v の関数として見ると下
に凸な関数になっている．従って変数 v に関し
て L をルジャンドル変換してよい．そこで，
ルジャンドル変換
p :=
前回導入したルジャンドル変換は，微分可能
な凸関数 f (x) に対して，
p=
∂f
∂x
を独立変数とする新たな関数
f ∗ (p) := f (x) − px
(6)
を新たな独立変数と定め，p を正準運動量
(1) (canonical momentum) と名づける．この式を
v について解いて
v = ψ(q, p, t)
(2)
(7)
という形に直す．符号を変えたルジャンドル変
を定めることであった．
換 (3) により
今回は，ルジャンドル変換の符号を変えて
g(p) := px − f (x)
∂L(q, v, t)
∂v
H(q, p, t) := pv − L
(3)
1
(8)
で定まる関数をハミルトニアン (Hamiltonian) と
と名づける．ラグランジアン L(q, v, t) におい
ては q と v を独立変数として扱うが，ハミルト
ニアン H(q, p, t) においては q と p を独立変数
が与えられれば，q(t) および p(t) の時間変化が
dq
∂H
=
,
dt
∂p
dp
∂H
=−
dt
∂q
(9)
である．ハミルトニアンの微分がどうなるか調
べてみよう．(7) を通して v は p に依存してい
ることに注意すると，H = pv − L と (6) から
∂H
∂p
=
=
=
=
)
∂ (
pv − L(q, v, t)
∂p
∂v ∂L ∂v
v+p
−
∂p
∂v ∂p
∂v
∂v
v+p
−p
∂p
∂p
v
=
=
=
=
運動方程式 (canonical equation of motion) と
いう．
問 1. 運動エネルギー引く位置エネルギーの
形のラグランジアン
(10)
1
L = mv 2 − U (q)
2
アンに対して (6) に従って正準運動量を求めよ．
また，v を p の式で表せ．(8) に従ってハミル
トニアンを求めよ．また，ハミルトンの運動方
程式 (16), (17) を具体的に書け．
問 2. 自由度が n の系のラグランジアン
L(q1 , · · · , qn , v1 , · · · , vn , t)
に対しては n 個の正準運動量
方程式は
∂L(q, v, t)
∂vi
(i = 1, · · · , n)
(20)
(12) が定められる．これらの式を各 vi について解
いて
vi = ψi (q, p, t)
(13)
(21)
のように v を q, p, t の関数で表す．そして，ハ
に他ならないので，これらと正準運動量の定義
ミルトニアン
式 (6) をあわせると，(10) と (11) は
∂H
dq
=v=
∂p
dt
(19)
(11)
pi :=
( )
d ∂L
∂L
=0
−
dt ∂v
∂q
(18)
を持つ系を自然力学系という．このラグランジ
が成り立つ．一方で，オイラー・ラグランジュ
v = q̇,
(17)
(Hamilton’s equation of motion) あるいは正準
していることに注意して，
∂H
∂q
(16)
で定まる．(16), (17) をハミルトンの運動方程式
が成り立つ．また，(7) を通して v は q に依存
)
∂ (
pv − L(q, v, t)
∂q
∂v ∂L ∂L ∂v
−
−
p
∂q
∂q
∂v ∂q
∂v ∂L
∂v
p
−
−p
∂q
∂q
∂q
∂L
−
∂q
(15)
を意味する．つまり，ハミルトニアン H(q, p, t)
として扱う．だから，
∂p
=0
∂q
( )
∂H
∂L
d ∂L
dp
=−
=−
=−
∂q
∂q
dt ∂v
dt
H(q, p, t) :=
(14)
n
∑
j=1
2
p j vj − L
(22)
問 4. (i) 2 次元平面上の質点のラグランジ
を q, p, t の関数として定める．このとき，q(t)
がオイラー・ラグランジュ方程式
vi = q̇i ,
アン
1
L = m(ẋ2 + ẏ 2 ) − U (x, y)
2
(23)
から正準運動量
( )
∂L
d ∂L
∂L
−
= 0 (i = 1, · · · , n) (24)
px =
,
dt ∂ q̇i
∂qi
∂ ẋ
を満たすならば，qi (t) および pi (t) は
dqi
∂H
,
=
dt
∂pi
(31)
∂L
∂ ẏ
(32)
H = px ẋ + py ẏ − L
(33)
py =
を求めよ．(22) に従って
dpi
∂H
(i = 1, · · · , n) (25)
=−
dt
∂qi
よりハミルトニアン H を求めよ．ただしハミ
を満たすことを証明せよ．(25) もまたハミル
ルトアニンの最終的な形は x, y, px , py の関数と
トン運動方程式あるいは正準運動方程式と呼
すべきことに注意せよ．また，x, y, px , py につ
ばれる．オイラー・ラグランジュ方程式 (24) は
いてのハミルトン運動方程式 (25) を書き下せ．
n 個の変数 qi (t) に対する 2 階の微分方程式で
(ii) 直交座標 (x, y) から極座標 (r, ϕ) への変換を
{
x = r cos ϕ,
個の変数 pi (t), qi (t) に対する 1 階の微分方程式
(34)
y = r sin ϕ
である．
あったが，ハミルトンの運動方程式 (25) は 2n
問 3. 3 次元空間中の質点の直交座標を q = で定める．この式の両辺を t で微分して ẋ, ẏ を
(x, y, z) として自然力学系のラグランジアン
r, ϕ, ṙ, ϕ̇ の関数で表せ．逆に，ṙ, ϕ̇ を x, y, ẋ, ẏ
1
L = m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) − U (q)
2
の関数で表せ．ラグランジアン (31) を変数
(26)
r, ϕ, ṙ, ϕ̇ の関数として書き表せ．また，(20) と
同様に
に対して (20) と同様に
∂L
px =
,
∂ ẋ
∂L
py =
,
∂ ẏ
∂L
pz =
∂ ż
pr =
(27)
pϕ =
∂L
∂ ϕ̇
(35)
に従って正準運動量を求めよ．この式を解
に 従って 正 準 運 動 量 を 求 め よ ．ẋ, ẏ, ż を
い て ṙ, ϕ̇ を r, ϕ, pr , pϕ の 式 で 表 せ ．px , py
px , py , pz の式で表せ．(22) に従ってハミルト
を r, ϕ, pr , pϕ の関数で表せ．逆に，pr , pϕ を
ニアン H を求めよ．このとき，ハミルトアニ
x, y, px , py の関数で表せ．(22) に従って
ンは x, y, z, px , py , pz の関数とすべきことに注
H = pr ṙ + pϕ ϕ̇ − L
意せよ．また，この場合，ハミルトン運動方
程式 (25) は
∂H
dx
=
,
dt
∂px
∂H
dy
=
,
dt
∂py
∂H
dz
=
,
dt
∂pz
∂L
,
∂ ṙ
(36)
よりハミルトニアン H を求めよ．ただしこの
dpx
∂H
=−
,
dt
∂x
dpy
∂H
=−
,
dt
∂y
dpz
∂H
=−
dt
∂z
ハミルトアニンの最終的な形は r, ϕ, pr , pϕ の関
(28)
数とすべきことに注意せよ．また，正準座標
(29) r, ϕ, pr , pϕ についてのハミルトン運動方程式
dr
∂H
=
,
dt
∂pr
dϕ
∂H
=
,
dt
∂pϕ
(30)
であるが，H の微分を具体的に書き下せ．
3
dpr
∂H
=−
,
dt
∂r
dpϕ
∂H
=−
dt
∂ϕ
(37)
(38)
を具体的に書き下せ．とくに，位置エネルギー
先ほどの節ではラグランジアンからハミルト
U が r だけの関数になっている（U が ϕ に依存 ニアンを作ったが，ハミルトン形式の力学を独
しない）場合，ハミルトンの運動方程式はどう 立した理論とみなす立場を採ることもできる．
なるか．
この立場では，ラグランジアンを知らなくて
(iii) 次の等式が成り立つことを確認せよ：
も，ハミルトニアン H(q, p, t) という関数を所
与のものとして認め，運動方程式
px ẋ + py ẏ = pr ṙ + pϕ ϕ̇
(39)
dqi
∂H dpi
∂H
=
,
=−
(i = 1, · · · , n) (43)
dt
∂pi
dt
∂qi
問 5. 3 次元空間中の質点の直交座標 q =
(x, y, z) から極座標 (r, θ, ϕ) への変換を
x = r sin θ cos ϕ,
y = r sin θ sin ϕ,
z = r cos θ
で力学系の状態変化は決まると考える．
ハミルトン方程式 (43) は相空間上のベクト
ル場を定めるが，これをハミルトンベクトル場
(40)
(Hamiltonian vector field) という．ハミルトン
方程式は 1 階の微分方程式なので，任意の時刻
で定める．このとき，ラグランジアン
1
L = m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) − U (q)
2
t = t0 における初期条件 (q(t0 ), p(t0 )) が与えら
れれば方程式 (43) の解 (q(t), p(t)) は一意的に
(41)
決まる．変数 t の値を動かすと，相空間上の点
を変数 (r, θ, ϕ, ṙ, θ̇, ϕ̇) の関数として書き表せ． (q(t), p(t)) は相空間中に曲線を描くが，この
曲線を解曲線とか軌跡 (trajectory) という．時
また，(20) と同様に
∂L
pr =
,
∂ ṙ
∂L
pθ =
,
∂ θ̇
∂L
pϕ =
∂ ϕ̇
刻 t0 , t1 を固定すれば，時刻 t0 における相空間
(42) 上の点 (q(t0 ), p(t0 )) に時刻 t = t1 における解
軌道上の点 (q(t1 ), p(t1 )) を対応させる写像
に従って正準運動量を求めて，(22) に従ってハ
Π(t1 , t0 ) : (q(t0 ), p(t0 )) 7→ (q(t1 ), p(t1 )) (44)
ミルトニアンを求めよ．また，ハミルトンの運
動方程式 (25) を書き下せ．とくに，位置エネ が 定 ま る ．Π(t , t ) を 時 間 発 展 写 像 (time1 0
ルギー U が r だけの関数になっている（U が evolution map) とか時間推進写像と呼ぶ．明
θ と ϕ に依存しない）場合，ハミルトンの運動 らかに
方程式はどうなるか．
Π(t2 , t1 ) ◦ Π(t1 , t0 ) = Π(t2 , t0 )
(45)
が成り立つ．
相流
とくに，ハミルトニアン H(q, p) 自体が陽に
ハミルトン形式の力学では (q, p) = (q1 , · · · , 時間 t に依存していない場合が重要である．そ
qn , p1 , · · · , pn ) という 2n 個の変数を用いて力 のような系を自律系 (autonomous system) と
学系の状態を指定する．これらの変数を正準座 いう．自律系に対しては任意の時刻 t0 , t1 と任
標 (canonical coordinates) といい，ペアになる 意の時間 τ に対して
qi と pi を正準共役 (canonical conjugate) とい
Π(t1 + τ, t0 + τ ) = Π(t1 , t0 )
う．正準座標で張られる 2n 次元の空間を相空間
(46)
(phase space) あるいは状態空間 (state space) が成り立つ．この性質を時間発展の時間並進不
変性 (time-translation invariance) という．こ
という．
4
物理量の時間変化と保存量
の性質のため，
Π(t1 , t0 ) = Π(t1 − t0 , 0)
(47)
系の状態が決まれば値が決まるような関数
のことを物理量 (observable) という．例えば，
が成り立つ．そうすると，時間 t の分だけ時間
物体の位置や運動量や運動エネルギーや角運
発展を進める写像
σ(t) := Π(t, 0)
動量は物理量である．相空間の点 (q, p) は力学
(48) 系の状態を一意的に指定している．ということ
は，物理量は相空間上の関数 A(q, p) に他なら
を定めるのが自然であり，
ない．その意味ではハミルトニアン H(q, p) も
σ(t2 ) ◦ σ(t1 ) = σ(t2 + t1 )
(49) 物理量の一種である．
系の状態が時間変化すれば，それに伴って物
が成り立つ．さまざまな初期条件に対して解曲 理量の値 A(q(t), p(t)) も変化する．その変化の
線を描いた図を相流 (phase flow) という（厳密 仕方は，ハミルトン運動方程式 (43) により
には，写像の族 {σ(t) | t ∈ R} のことを相流と
)
n (
∑
dA
∂A dqi ∂A dpi
いうが，ここでは図形的・視覚的役割を強調し
=
+
dt
∂q
dt
∂pi dt
i
i=1
て，解曲線の束そのもののことを相流と呼ぶこ
)
n (
∑
∂A ∂H
∂A ∂H
とにした）．自律系の場合，相流は，時間変化
=
−
(51)
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
i=1
しないベクトル場に沿った流れになる．非自律
系の場合は，ベクトル場そのものが時間的に変 を満たす．この式の右辺はまとまりがよいので，
)
化していくので，一枚の絵にベクトル場と相流
n (
∑
∂A ∂H
∂A ∂H
{A, H}P :=
−
(52)
を描くことはあまり意味をなさない（アニメー
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
i=1
ションとして描くなら意味がある）．
ハミルトン形式の力学は運動方程式が相空 と書き，{A, H}P を A と H のポアソン括弧
間上の 1 階の微分方程式なので，相空間上の一 (Poisson bracket) という．
{A, H}P = 0 であれば，A の値は時間変化し
点を選ぶごとにそれを初期条件とする解曲線が
一意的に決まり，力学系の振る舞いがすべて相 ない，つまり A は保存量になる．
ただし，一般的には，時間 t にあからさまに
空間中の相流という幾何学的図として捉えられ
る．つまり，ハミルトン流の力学は，力学系の 依存した関数 A(q, p, t) も物理量とみなすこと
振る舞いの全体像を把握するのに便利である． ができる．このような関数の時間変化は
)
n (
∑
∂A dqi ∂A dpi
dA
∂A
=
+
+
dt
∂qi dt
∂pi dt
∂t
i=1
問 6. 質量 m とばね定数 k は正の数とし，
∂A
(x, p) を正準座標とする．ハミルトニアン
= {A, H}P +
(53)
∂t
1 2 1 2
H=
p + kx
(50) に従う．
2m
2
どのようなハミルトニアン H に対しても
に関して，ハミルトン運動方程式を書け．(x, p)
{H, H}P = 0 なので，自律系であれば H 自体
平面において，この方程式が定めるハミルトン
が保存量である．実数 E に対して
ベクトル場を描け．運動方程式の解を求めよ．
H −1 (E) := { (q, p) | H(q, p) = E }
相流も描け．
5
(54)
は，一般に，相空間内の (2n − 1) 次元曲面を定 を求めよ．
める．これをエネルギー E の等エネルギー面 (iii) (ϕ, pϕ ) を正準座標としてハミルトニアン
(constant-energy surface) という．従って，解 H(ϕ, pϕ ) を求めよ．
曲線は初期条件で決まる等エネルギー面上を (iv) ハミルトン運動方程式を求めよ．
動く．もちろん，相空間が 2 次元の場合は等エ (v) (ϕ, pϕ ) を座標とする相空間においてハミル
ネルギー面は 1 次元であり，その意味では等エ トンベクトル場・等エネルギー面・相流を描け．
ネルギー曲線と呼ぶのがふさわしい．また，等 (vi) 周期的運動と非周期的運動の境目の条件
エネルギー面は一つよりも，いろいろなエネ 式を求めよ．
ルギー値に対する面の族を考えた方が解曲線
問 10. 質量 m とばね定数 k は正の数とし，
の族の振る舞いがわかりやすい．
(x, p) を正準座標とする．ハミルトニアン
問 7. 問 6 で扱ったハミルトニアンについて
H=
エネルギーの値 E をいろいろ変えて (x, p) 平
面内に等エネルギー曲線を描け．
(60)
に関して，ハミルトン運動方程式を書け．相空
問 8. (x, p) を正準座標として，ハミルトニ
間内に等エネルギー面を描け．この方程式が定
アン
1 2
H=
p
2m
1 2 1 2
p − kx
2m
2
めるハミルトンベクトル場を描け．運動方程式
(55) の解を求めよ．相流も描け．
問 11. (i) 円錐曲線 (conic section) と呼ばれ
に関して (x, p) 平面において等エネルギー曲線
の族を描け．ハミルトン運動方程式を書け．こ る曲線を定義する．平面上に定点 O を定め，点
の方程式が定めるハミルトンベクトル場を描 O を通らない直線 ℓ を定める．平面上の点 P か
ら ℓ に下ろした垂線の足を H とすると，OP と
け．運動方程式の解を求めよ．相流も描け．
問 9. 質量 m の物体が重力加速度 g の場の中 PH の長さの比
にあり，鉛直平面内を動くとする．(x, y) を一
OP
=ε
PH
般化座標として，この系のラグランジアンは
1
L = m(ẋ2 + ẏ 2 ) − mgy
2
(56) が一定値であるような点 P の軌跡が円錐曲線
である．ε = 21 , 45 , 1,
で与えられる．この系は拘束条件
2
2
x +y =a
2
(a > 0)
(61)
5
4
として，この定義どお
り円錐曲線を作図してみよ．この定数 ε は離心
(57) 率 (eccentricity) と呼ばれ，点 O は焦点 (focus)
と呼ばれる．点 P の軌跡は 0 < ε < 1 の場合は
に縛られているとする．そこで，ϕ を独立変数
円錐曲線は楕円 (ellipse), ε = 1 の場合は放物線
として
(parabola), ε > 1 の場合は双曲線 (hyperbola)
x = a sin ϕ,
y = −a cos ϕ
(58) になる．ε = 0 の場合をどう考えるべきか，よ
で座標変換する．
く考える必要があるが，結果的には円になる．
(i) L を ϕ, ϕ̇ の関数で表せ．
(ii) 点 O から ℓ に下ろした垂線の足を D とし
て，OP = r, OD = λ, ∠DOP = θ, ελ = ρ と
(ii) 座標 ϕ に対して共役な正準運動量
∂L
pϕ =
∂ ϕ̇
おくと，
(59)
PH = λ − r cos θ
6
(62)
場合に分けて，解軌道の振る舞いを分析せよ．
となることを示せ．また，
OP
r
=
=ε
PH
λ − r cos θ
(iv) 2 つの物理量
(p
)
ϕ
Jx :=
cos ϕ + pr sin ϕ pϕ − mk cos ϕ (69)
( pr
)
ϕ
Jy :=
sin ϕ − pr cos ϕ pϕ − mk sin ϕ (70)
r
(63)
から
r=
ελ
ρ
=
1 + ε cos θ
1 + ε cos θ
(64)
を定義する．(i) で導いたハミルトン運動方程
を導け．これは円錐曲線の方程式と呼ばれる． 式を用いて
θ = 0 のとき距離 r は最も短くなるが，惑星
dJx
= 0,
dt
が太陽に最も近づく点という意味でこの点は
dJy
=0
dt
(71)
近日点 (perihelion) と呼ばれる．離心率 ε が 1 となることを示せ．つまり Jx , Jy は保存量であ
より小さいか大きいかによって場合分けして， る．J = (Jx , Jy ) をラプラス・ルンゲ・レンツ
角度 θ のとり得る値の範囲を考えよ．直交座標 ベクトル (Laplace-Runge-Lenz vector) という．
(v) ベクトル J = (Jx , Jy ) と r = (x, y) =
x = r cos θ, y = r sin θ を代入すると，
√
x2
+
y2
2
2
これら 2 つのベクトルがなす角を θ とすると，
= ρ − εx
(1 − ε )x + y + 2ερx = ρ
2
(r cos ϕ, r sin ϕ) の大きさをそれぞれ J, r とし，
r = ε(λ − r cos θ)
2
内積の定義と性質から
(65)
J · r = Jx x + Jy y = Jr cos θ
となる．この式の方が，ε の値に応じて楕円・
放物線・双曲線になることがわかりやすい．
が成り立つが，さらに
Jx x + Jy y = p2ϕ − mkr
問 12. 問 4 (31) の U が万有引力の位置エネ
ルギー
(72)
(73)
が成り立つことを示せ．
k
GM m
=−
U =−√
r
x2 + y 2
(66) (vi) 上の式 (72), (73) から
p2ϕ
=
r=
mk + J cos θ
1+
で与えられる場合を考える．ここで GM m = k
とおいた．(r, ϕ, pr , pϕ ) を正準座標とする．
p2ϕ
mk
J
cos θ
mk
(74)
(i) 万有引力の下で動く質点のハミルトニアン を導け．この式を (64) と見比べると，質点の
軌道は離心率
1 2
k
1 2
H=
p +
p −
(67)
J
2m r 2mr2 ϕ
r
ε=
(75)
mk
に関して，ハミルトン運動方程式を書け．
（J ≥ 0 だから ε ≥ 0）の円錐曲線であることが
(ii) pϕ が保存量であることを示せ．このことか
わかる．(74) からラプラスベクトル J は焦点
ら，この質点は，(r, pr ) だけを正準変数とし，
から近日点の方向を向いていることがわかる．
pϕ は定数として位置エネルギー
(vii) (69), (70) と (67) から
2
pϕ
k
V (r) =
−
(68)
J 2 := Jx2 + Jy2 = 2m p2ϕ H + m2 k 2
(76)
2
2mr
r
となることを示せ．ラプラスベクトル J は保
の場の中を動く質点ともみなせる．
(iii) エネルギー値が E < 0, E = 0, E > 0 の 存量であり，その大きさ J はたしかに保存量
7
pϕ , H だけの関数になっている．また，(75), のポアソン括弧で得られる関数 {A, B}P もま
た保存量であることを証明せよ．
(76) から
√
ε =
2p2ϕ
1+
H
mk 2
問 15. (x, y, z, px , py , pz ) を正準座標とする
(77) 系において
となることを示せ．H の値はエネルギーであ
Lx := ypz − zpy
(85)
ることに注意．H < 0 ならば 0 ≤ ε < 1 であ
Ly := zpx − xpz
(86)
り，質点の軌跡は楕円になる．H = 0 ならば
Lz := xpy − ypx
(87)
ε = 1 であり軌跡は放物線になる．H > 0 なら
で定められる物理量 Lx , Ly , Lz に関して以下の
ば ε > 1 であり軌跡は双曲線になる．
ポアソン括弧を求めよ：
(viii) k > 0 の場合 (66) は力の大きさが距離の
2 乗に反比例する引力を表しているが，k < 0
{Lx , Ly }P , {Ly , Lz }P , {Lz , Lx }P . (88)
とするとこれは斥力の場になる．k < 0 の場合，
質点の軌道は必ず双曲線になることを示せ． 【コメント】ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル
問 13. A, B, C を正準座標 (q, p) の関数とす (69), (70) のような複雑な式をどうやって思い
る．c を任意の実数定数とする．ポアソン括弧 ついたか不思議に思われるだろうが，3 次元の
ベクトル p = (px , py , pz ), L = (Lx , Ly , Lz ) を
(52) について以下の関係式を証明せよ：
使うとラプラス・ルンゲ・レンツベクトルは
{cA, B}P = {A, cB}P = c{A, B}P
(78)
{A + B, C}P = {A, C}P + {B, C}P
(79)
{A, B + C}P = {A, B}P + {A, C}P
(80) というまとまりのよい形に書ける．
(81)
{B, A}P = −{A, B}P
J = p × L − mk
{A, BC}P = {A, B}P C + B{A, C}P (82)
r
r
(89)
力学の進歩
{AB, C}P = {A, C}P B + A{B, C}P (83)
解析力学は以上で終わりではなく，今もなお
{A, {B, C}P }P + {B, {C, A}P }P
進化している．正準変換，ポアソン括弧と対称
+{C, {A, B}P }P = 0 (84)
性の理論，ハミルトン・ヤコビの理論，可積分
(78), (79), (80) の性質を線形性という．(81) 系，カオス，場の解析力学，制御理論，拘束系
を反対称性という．(82), (83) をライプニッツ の理論などの諸概念・諸理論が，ラグランジュ
則 (Leibniz rule) という．(84) をヤコビ恒等式 とハミルトンの解析力学の後に展開している．
(Jabobi identity) という．
これらの理論は，エレベーター・ロボット・加
問 14. 時間に陽に依存しない物理量 A, B, C 速器・ロケット・人工衛星・天気予報などさまざ
が保存量ならば，それらをスカラー倍したり まな物体の運動の予測や制御に役立っている．
足し算したり掛け算したりして得られる関数 とくに近年はコンピュータの発達に伴って力学
も保存量であることを証明せよ．保存量同士 の応用範囲はますます広がっている．
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