Mathematik für ET/IT/MT - Prof. Dr. M. Ludwig Prof. Dr. habil. M. Ludwig TU Dresden Institut für Wissenschaftliches Rechnen Mathematik I(I/1) für Studierende Elektro- Systeminformationstechnik und Mechatronik WS 2010/2011 Inhalt der Vorlesung Schwerpunkte: 1 Logik und Mengenlehre 1.0 Der Mengenbegriff 1.1 Aussagenlogik 1.1.1 Aussagen, Aussagenformen 1.1.2 Aussageverbindungen, Wahrheitstafeln 1.1.3 Wahrheitsfunktionen. log. Äquivalenz 1.2 Prädikatenlogik (Einführung), Quantoren 1.3 Beweisprinzipien 1.4 Mengen, Relationen. Abbildungen 1.4.1 Grundbegriffe (Beziehungen zwischen Mengen, Potenzmenge) 1.4.2 Operationen mit Mengen 1.4.3 Relationen (geordnetes Paar, kartesisches Produkt, Relationsprodukt) 1.4.4 Äquivalenz- und Ordnungsrelation 1.4.5 Abbildungen (Funktionen, Umkehrfunktion, Verkettung) 1.4.6 Mächtigkeit von Mengen (Kardinalzahl, Abzählbarkeit, Überabzählbarkeit) 2. Axiomatischer Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen (Axiome von Peano) 2.2 Ganze Zahlen 2.3 Rationale Zahlen 2.4 Reelle Zahlen 2.4.1 Rechnen mit reellen Zahlen (Direkter Beweis, Indirekter Beweis, vollst. Induktion) 1 Mathematik für ET/IT/MT - Prof. Dr. M. Ludwig 2.4.2 Ungleichungen 2.4.3 Obere und untere Grenze 2.5 Komplexe Zahlen 2.5.1 Konstruktion komplexer Zahlen 2.5.2 Gaußsche Zahlenebene 2.5.3 Trigonometrische Darstellung 2.4.4 Exponentielle Darstellung 2.5.5 Rechnen mit komplexen Zahlen (Moivresche Formeln, Radizieren im Komplexen) 2.5.6 Algebraische Gleichungen (Fundamentalsatz der Algebra) 3. Elementare Funktionen einer (reellen) Variablen 3.1 Begriff der elementaren Funktion 3.2 Grundfunktionen 3.2.1 Potenzfunktionen (einschl. Wurzelfunktionen) 3.2.2 Exponential- und Logarithmusfunktionen 3.3.3 Trigonometrische Funktionen und deren Umkehrfunktion 3.3 Rationale Funktionen 3.3.1 Ganze rationale Funktionen, Polynome, Horner-Schema 3.3.2.1 Gebrochen rationale Funktionen 3.3.2.2 Verfahren zur näherungsweisen Lösung von Gleichungen 4 Einführung in die Vektorrechnung 4.1 Vektorräume 4.1.1 Beispiele für Vektorräume 4.1.2 Begriff des (reellen) Vektorraumes 4.1.3 Linear abhängige und linear unabhängige Vektoren, Basis 4.1.4 Rechnen mit Koordinaten 4.2 Skalarprodukt 4.2.1 . Skalarprodukt im T3 und im V03 4.2.2 Skalarprodukt im Rn 4.3 Vektorprodukt 4.3.1 Vektorprodukt im T3 und im V03 4.3.2 Vektorprodukt im R3 2 Mathematik für ET/IT/MT - Prof. Dr. M. Ludwig 4.4 Mehrfache Produkte 4.4.1 Spatprodukt 4.4.2 Entwicklungssatz 4.5 Geometrische Anwendungen 4.5.1 Gerade, Strecke (Parameterdarstellung, Schnittalgorithmen, Winkel, Abstand, ...) 4.5.2 Ebene (Parameterdarstellung, Schnittalgorithmen, Abstand, ...) 5 Zahlenfolgen und Reihen 5.1 Grundbegriffe 5.2 Konvergenz und Grenzwert, Nullfolgen 5.3 Konvergenzkriterien 5.4 Bestimmte und unbestimmte Divergenz 5.5 Unendliche Reihen, Konvergenzkriterien) 6 Stetigkeit reeller Funktionen 6.1 Grundbegriffe 6.2 Stetigkeit elementarer Funktionen 6.3 Unstetigkeitsstellen 7 Differentiation reeller Funktionen 7.1 Begriff des Differentialquotienten 7.2 Differentiation elementarer Funktionen 7.3 Untersuchung von Funktionen mit Hilfe ihrer Ableitungen 7.3.1 Höhere Ableitungen 7.3.2 Berechnung von Grenzwerten 7.3.3 Vollständige Kurvendiskussion 7.4 Taylorentwicklung, Konvergenz, Differentiale 7.5 Anwendung der Taylorreihe (Newtonverfahren, fehlerrechnung) 8 Matrizen und Determinanten 8.1 Definition von Matrizen 8.2 Operationen mit Matrizen, spezielle Matrizen (Addition, Multiplikation, quadratische, inverse, transponierte, symmetrische, orthogonale Matrix) 8.3 Determinante einer quadratischen Matrix 3 Mathematik für ET/IT/MT - Prof. Dr. M. Ludwig 8.3.1 Definition einer Determinante 8.3.2 Grundeigenschaften 8.3.3 Entwicklungssatz 8.4 Rechnen mit inversen Matrizen (Cramersche Regel) 8.5 Rang einer Matrix 9 Lineare Gleichungssysteme 9.1 Lösbarkeitsbedingung 9.2 Struktur der Lösungsmenge 9.3.1 Gauß-Eliminationsverfahren (Algorithmus) 9.3.2 Gauß- Eliminationsverfahren für quadratische Gleichungssysteme 9.3.3 Gauß- Eliminationsverfahren zur Berechnung inverser Matrizen 9.3.4 Gauß- Eliminationsverfahren für nichtquadratische Gleichungssysteme 10 Lineare Abbildungen 10.1 Kern und Rang einer linearen Abbildung 10.2 Zusammenhang zwischen Operationen von linearen Abbildungen und Matrizen 10.3 Transformation der Koordinaten 11. Eigenwerte und Eigenvektoren 11.1. Eigenwertproblem 11.2 Eigenwerte spezieller Matrizen 4
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