10.積分

10. 積分
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積分・・確率モデルと動学モデルで使われる
この章は計算方法の紹介
積分の定義から
不定積分で定義すると「微分積分学の基本
定理」が定義になってしまう
x
d
G  x   g  x   G  x   G  a    g  s ds
a
dx
(定)積分の定義
a, b
g  x
の関数
a  x0  x1  ...  xn  b
 x1  x0  inf x x , x  g  x    x2  x1  inf x x , x  g  x   ...   xn  xn1  inf x x
0
1
1
n1 , xn
2

g  x
刻みが細かく
なるほど大き
くなる
 x1  x0  sup x x , x  g  x    x2  x1  sup x x , x  g  x   ...   xn  xn1  sup x x
0
1
1
2
刻みが細かくなるほど小さくなる
n1 , xn

g  x
(定)積分の定義
a, b
g  x
 x1  x0  inf x x , x  g  x    x2  x1  inf x x , x  g  x   ...   xn  xn1  inf x x
0
1
1
n1 , xn
2
 x1  x0  sup x x , x  g  x    x2  x1  sup x x , x  g  x   ...   xn  xn1  sup x x
0
1
1
2
刻みを小さくしたときの極限が等しいとき
つまり、上の上限=下の下減のとき積分可能
n 1
lim xk 1  xk 0 sup a  x0  x1 ... xn b   xi 1  xi  inf x xi , xi1  g  x 
i 0
n 1
 lim xk 1  xk 0 inf a  x0  x1 ... xn b   xi 1  xi  sup x xi , xi1  g  x 
i 0
  g  x  dx
b
a
リーマン積分の定義

g  x

g  x
n1 , xn
積分の性質
g  x   h  x    g  x  dx   h  x  dx
b
b
a
a
  f  x    g  x dx
b
a
   f  x  dx    g  x  dx : 線形性
b
b
a
a
ルベーグ積分
横軸で切って集めるのがリーマン積分で、
縦軸で切ってに集めるのが、ルベーグ積
分
0  y0  y1  ....  yn  y
y0   g  x  がy0と y1の間の値をとる集合の長さ  
....  yn 1   g  x  がyn 1と ynの間の値をとる集合の長さ 
y1   g  x  がy0と y1の間の値をとる集合の長さ  
....  yn   g  x  がyn 1と ynの間の値をとる集合の長さ 
刻み幅を細かくすると、上は、小さくなり、下は大きくなる
上の下限=下の上限がルベーグ積分の定義(片方が収束すれ
ば他方も同じ値に収束する)
ルベーグ積分の特長
• 行儀のいい関数ならルベーグ積分もリーマン
積分も同じ
• 多くの関数が積分できる
– 無理数で0、有理数で1の関数は、リーマン積分
不可能だが、ルベーグ積分は0
• 極限を取るときに便利
部分積分
d
f  x  g  x   f ' x  g  x   f  x  g ' x 

dx
積の微分公式
積分する

b
a
b
b
d
f  x  g  x  dx   f '  x  g  x  dx   f  x  g '  x dx

a
a
dx

b
a

b
a
b
b
d
f  x  g  x  dx   f '  x  g  x  dx   f  x  g '  x dx

a
a
dx
f '  x  g  x  dx  
b
a
b
d
f  x  g  x  dx   f  x  g '  x dx

a
dx
  f  x  g  x   a   f  x  g '  x dx
b
b
a
  f  b  g  b   f  a  g  a     f  x  g '  x dx
b
a
部分積分の例

  xe x dx
0

b
a
f '  x  g  x  dx   f  x  g  x  a   f  x  g '  x dx
b
b
a
1


0



 1
  1  x 

 x
 x
xe dx     x
e  
e dx 
0 




0




lim x xe
1 1
  2  
  
 x

 0,   e x dx  1
0
部分積分の注意
• 使うごとに積の微分の公式を積分すればい
いので、覚える必要はない
• 符号がよく変化するので注意
• 正の関数を積分して負になる場合は、計算が
違っている。
置換積分
 f  x  dx
b
a
h  z  厳密に増加的で微分可能
h1  y  逆関数
x  h z
b
h1  b 
a
h1  a 
 f  x  dx  
dx  h '  z  dz
f  h  z   h '  z  dz
置換積分の注意
• 積分の上限と下限に注意
• 厳密に単調減少でも同様にできるが、上限と
下限は、一層注意
• 公式を覚えるより出てくるごとに考える
置換積分の例
  x  a  x  b dx
b
a
ab
z ab
dz
 z ab
 z a  b
 dz



a


b

z

2
x

,
x


,
dx





 b  a   2
2
2
2 
2
2
2

 2
 2

1 ba  z b  a   z b  a 
 
 
 
dz
2  b  a   2
2  2
2 

ba
2
1 ba  z 2  b  a  
 
 
dz

b

a



2
4 
4
1  2  b  a  2  b  a 
 

2  12
4
3
3

1
3
   b  a 
6

２変数関数の積分
  f  x, y dxdy    f  x, y  dydx

b
b
a
a

非常に一般的な条件で成立( Fubiniの定理)

  f  x, y dxdy
b
a
積分領域が長方形でない場合
グラフを書いて考える
  f  x, y dydx    f  x, y  dxdy
1
x
1
1
0
0
0
y
 
1 x  y  0
f  x, y dxdy
y
x
2変数の置換積分
u    x, y  , v    x, y  x    u, v  , y    u, v 
一対一対応
  f  x, y dxdy    f   u, v  , u, v  
  u, v 
u
  u, v 
u
  u, v 
v
dudv
  u, v 
v

正の値の関数を積分して負になることがないよう＋をとる
行列式が嵩に対応する
積分範囲には細心の注意が必要
２変数の置換積分の例
 x2  y2 
  exp   2 dxdy
x  r cos   , y  r sin   ,
2
2
x 2  y 2  r 2 cos  u   r 2 sin  u   r 2
 r cos    r cos  
 r sin  

r

r cos  
 r sin    r sin  



r
  f  x, y dxdy    f   u, v  , u, v  


0
cos  
 r
sin  
  u, v 
u
  u, v 
u
  u, v 
v
dudv
  u, v 
v

 

 
 r2 
 r2  
  exp    rd dr   0 exp   rdr 
 2
 2 




 r
   exp  
 2

2


   2  2
0



1d

２変数の置換積分の例
 x2  y2 
  exp   2 dxdy
x  r cos   , y  r sin   ,
2
2
x 2  y 2  r 2 cos  u   r 2 sin  u   r 2
 r cos    r cos  
 r sin  

r

r cos  
 r sin    r sin  



r
  f  x, y dxdy    f   u, v  , u, v  


0
cos  
 r
sin  
  u, v 
u
  u, v 
u
  u, v 
v
dudv
  u, v 
v

 

 
 r2 
 r2  
  exp    rd dr   0 exp   rdr 
 2
 2 




 r
   exp  
 2

2


   2  2
0



1d

 x2 
 exp   2  dx  2


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