アインシュタインは正しいか？

アインシュタインは正しいか？
～ＥＰＲパラドックスを検証する～
課題演習A2
上田仁彦
阪上大地
高橋翼
長尾悠人
山本隆太
2008/09/29
内容
1.
2.
3.
4.
5.
基礎となる理論
実験方法
データ解析
Simulation
考察
まとめ
1. 理論
パラポジトロニウムの崩壊
• パラポジトロニウム (e+ e- ) : 1S0の状態にある
内部パリティの積： - 1
⇒ e+ e- → γγ
によって生じる２つのγ線の状態は
1
 R1 R2  L1 L2
F 
2





1
Rj 
x j  i y j ：右円偏光状態 (RHC )
2
1
L j 
x j  i y j ：左円偏光状態 (LHC )
2
1

R1 R2  　x1 x2  y1 y2  i x1 y2  i y1 x2 2
1

L1 L2  　x1 x2  y1 y2  i x1 y2  i y1 x2 2
1
i
 R1 R2  L1 L2   　x1 y2  y1 x2 
 F  
2
2
EPRパラドックス
① 地点α でRHC （LHC）を測定すると、
地点β では必ずRHC （LHC）だと予言できる
⇒β ではRHC またはLHC のどちらかである
② α で何を測定しても、β での光の性質は変わらない
（Einsteinの局所性の原理）
⇒β ではRHC またはLHC である
⇒β では50 ％の確率でx 偏光またはy 偏光
③ α でx 偏光（y 偏光）を測定すると、
β では必ずy 偏光（x 偏光）だと予言できる
④ ②と③は矛盾する
矛盾を解決するには
「偏光は光子が生成したときに決まっているが
隠れた変数の存在によって
現象が確率的に見える」
と考えると、矛盾はなくなる
→ 隠れた変数理論ならOK.
量子力学
• 二つの光子の偏光は、観測するまでは二つの状態
の重ね合わせになっている
1
i
 R1 R2  L1 L2   　x1 y2  y1 x2 
F 
2
2
• 一方の光子の偏光を観測した瞬間、他方の光子の
偏光が決まる（波束の収束）
隠れた変数理論
• 二つの光子の偏光状態はポジトロニウムが
崩壊したときから決まっている
• 今は発見されていない変数（隠れた変数）が
偏光状態を支配している
Bellの不等式
• 二つの linear polarizer α，β
• 光子がある方向に偏光していれば +1，そ
の垂直方向に偏光していれば -1 を出力
• αをφiの方向、βをφjの方向に置き、多数回
測定
• αiβjの平均  i  j
• 隠れた変数理論ではBellの不等式が成立
 4  2   4 3  1 2  13  2
量子力学とBellの不等式
• 量子力学においては、
パラポジトロニウムから
生じた２光子状態は
y
x' (  )
y'
i
　x1 y2  y1 x2 
F 
2
・αの方向をx軸と一致させる
・x’軸はx軸に比べてφずれているとする
y1

x1
x ( )
量子力学における相関(1)
①αでx偏光を測定したとき(α= + 1)
光子１については　x1 の状態である
光子２については
y2  x' sin   y ' cos 
従って、
1
  1　  1　である確率　 sin 2 
2
1
  1　  1　である確率　 cos 2 
2
量子力学における相関(2)
② αでy偏光を測定したとき(α= - 1)
光子１については　y1 の状態である
光子２については
x2  x' cos   y ' sin 
従って、
1
cos 2 
2
1
  1　  1　である確率　 sin 2 
2
  1　  1　である確率　
よって、①、②より
1
1
2
2
   sin   cos    cos 2   sin 2    cos 2
2
2

 

量子力学はBellの不等式を破る
   cos 2　であるので
3


1  0, 2   , 3  , 4  8
8
4
と選ぶと
 4  2   4  3  1  2  1  3  2 2  2
Bellの不等式を満たすための条件
 4  2   4  3  1  2  1  3  2
  k cos 2　とすると、
f　 cos 24  2   cos 24  3 
2
 cos 21  2   cos 21  3  
k
2 
3


f max  2 2   1  0, 2   , 3  ,   
k
8
8
4

1
k 
2
2. 実験方法
実験の原理
• Compton 散乱を用いて偏光を測定すること
で実験的にｋの値を求めることができる
• ２つのγ線が散乱されやすい方向は
散乱面がなす角φに依存している
→ ２つの検出器でγ線が同時に観測される
確率のφ依存性を実験で確かめれば、
系を支配する法則が量子力学なのか、
隠れた変数理論なのかを決定できる
実験装置の原理
x
C2
2
2
 2 1
S2
y
O
C1
1
S1
1
z
φの取り方
y

2
1
x
Compton散乱
• Klein-Nishinaの式
2
ｄ  re  k s 
    2 sin 2  cos 2 

ｄ  2  k0 
2


（θ：Compton散乱角 η：散乱面と偏光面のなす角）
よって
2
ｄ  // re  k s 
    2 sin 2 

ｄ 
2  k0 
2
2

ｄ   re  k s 
  

ｄ 
2  k0 
2

ただし
k s k0
・  

k0 k s
・入射  線の波数　：　・散乱  線の波数　：　k0
ks 
k0
k0
1  cos  
1
me c
・古典電子半径　：　
re 
me c
・微細構造定数　：　1

137
検出器でγ線が検出された際、
光子γ1、γ2 の散乱平面をπ1(OS1C1)、π2 (OS2C2)とし、
またその偏光方向をε1、ε2 とすると
 1  2 sin 1
 1 // 1である確率  
2
2 1  sin 1 
1
 1  1である確率  
2
2 1  sin 1 
2
π1 // ε1 の場合
  k cos 2　  1
であるので
1  k cos 2
 2 //  2である確率 　 2
1  k cos 2
 2   2である確率 　 2
よって、 π1 // ε1 のもとでC1、C2 で同
時に光子を観測する確率は
2

 1  2 sin 2 1 1  k cos 2  2  2 sin 2  2 1  k cos 2



2
2
2
2 1  sin 1  
2
2 2  sin  2 
2
2 2  sin  2 
π1 ⊥ε1 の場合も同様にして
1  k cos 2  2  2 sin 2  2 1  k cos 2

1
2



2
2
2 1  sin 1  
2
2 2  sin  2 
2
2 2  sin 2  2 
Compton polarimeterの計数率
以上より、検出器C1、C2 に同時にγ線が検出される相対確率
（φ= 45° の場合を基準とした比率）は
 sin 2 1  sin 2  2 

 cos 2
R  1  k 
2
2
  1  sin 1   2  sin  2 
1
j 
 2  cos  j
2  cos  j
(θj：Compton散乱角、φ：散乱面のなす角）
このRを計数率と呼ぶ
A,Bからkを求める
 sin 2 1  sin 2  2

R　 1
 k 
2
2
  1  sin 1   2  sin  2
N  A  B cos 2  AR

 cos 2

（実験より）
  1  sin 2 1   2  sin 2  2

 k  
2
2
sin

sin
2
1


B

A
これより、ｋの値が実験的に求められ、系を支配する法則
が量子力学なのか、隠れた変数理論なのかを決定できる
セットアップ全体図
CH 上
φ
NaI 上
線源
CH 下
NaI 下
セットアップ写真
φ＝45°の場合
セットアップ側面図
単位はmm
CH 上
NaI 上
40
89
22Na
89
NaI 下
40
CH 下
側面図（詳細）
単位はmm
ＣＨ
上
23
ＮａＩ上
5
3
89
Ｐｂ
50
線源
89
2
Ｐｂ
1
ＣＨ
下
30
20
5
23
ＮａＩ下
4
セットアップ上面図
単位はmm
23
40
NaI 上
56
54
CH 上
セットアップ下面図
単位はmm
23
40
NaI 下
56
54
CH 下
セットアップ
•
•
•
•
•
•
鉛によるγ線の遮蔽
high voltageの値を最大に
discriminatorのthresholdはできる限り小さく
ampによる信号の増幅
gateのwidthの調整
4つのシンチレータで同時に観測された場合
のみカウント
→18時間測定を行った
配線図（測定回路）
NaI 上
+1300 V
PMT
Divider
+HV
ch 2
Amp
ch 6
Discri.
-2000 V
PMT
A
Discri.
B
40 mV
PMT
NaI 下
+1300 V
PMT
Divider
+HV
Discri.
D
40 mV
C
Amp
ADC
VETO
Gate
generator
-2000 V
CH 下
Divider
-HV
Coincidence
CH 上
Divider
-HV
Gate
generator
19 mV
GATE
Discri.
19 mV
ch 10
ch 8
gateのwidth
NaIによる信号
gate(1μsec)
3. 解析
キャリブレーションの方法
• NaIシンチレータについて
• 実験前と実験後
• 22Na（511keV,1275keV）,
60Co（1173keV,1333keV）,
137Cs（662keV）の３種類の線源
• 光電ピークをGaussianフィット
• 計５点の平均値とその誤差で直線フィット
キャリブレーション（NaI上）
実験前
実験後
実験の前後で大きな変化はなかった
キャリブレーション（NaI上）
データを合わせて10点で直線フィット
ADC分布（NaI上）
ADC分布（CH上）
有効カウント数の決定
• Thresholdのゆらぎの影響を受けないように
したい
• Compton散乱（低エネルギー部分）はいろい
ろな要因があってよくわからない
→ NaIシンチレータでは
光電効果を起こした光子だけを見たい
有効カウント数の決定
具体的方法
(1) NaIシンチレータの光電ピーク、
CHシンチレータのピークをGaussianで
フィット
(2) NaI、CH上下全てで
１σの範囲におさまる光子のみカウント
フィット後のADC分布（NaI）

フィット後のADC分布（CH）

有効カウント数のφ依存性
有効カウント数のφ依存性
実験データ（有効カウ
ント数）を


 sin 2 1  sin 2  2 

 cos 2  N  1  k  
2
2
  1  sin 1   2  sin  2 


でフィット（図で
p 0 : N , p1 : k）
1 ,  2 は実験データ（ NaIシンチレータ）
の光電ピークのエネルギー（５点の平均値）
h  
h
h
1  cos  
1
2
me c
を用いて求めた
から
4. Simulation
動機
• 実験データは、理論的な曲線では
うまくフィットできていない
→ 現実のセットアップは理想的な状況とは
異なる（シンチレータには大きさがある）
• 現実のセットアップに基づいて、
量子力学および, 隠れた変数理論を再現する
→ 実験と比較
手順
• back-to-backの２つのγ線の生成
• ＣＨシンチレータに入るか判定
― 減衰長で散乱位置の決定
― Klein-Nishinaの微分散乱断面積を用いた
Compton散乱方向(θ1,φ1,θ2,φ2)の決定
• NaIシンチレータに入射するか判定
― 光電効果およびCompton散乱の検証
→ エネルギー値をファイルに保存
散乱位置の決定
逆関数法
f(x)
・確率分布　 x
f  x   exp    ,  : 減衰長
 
・累積分布関数　y  F ( x)   f  xdx
x
0
・ y  0, F  
で一様乱数を振る
・逆関数　x  F 1  y 
が散乱位置
x
0
F(x)
F(∞)
y
0
x
F-1(y)
Compton散乱方向の決定
棄却法
 長方形の部分(青+黄）の領域に一様に乱数を振る
 乱数が青色のところに振られればaccept
 黄色のところに振られたらreject
f(x)
1
x
0
エネルギー分布
（NaI, φ= 90°）
エネルギー分布
（CH, φ= 90°）
有効カウント数の決定
光電ピークとCompton散乱による部分がある
→ 実験と同様にNaIシンチレータの光電ピーク、
CHシンチレータのピークをGaussianでフィット
→ NaI、CH 1, 2 (上下) 全てで
１σの範囲におさまる光子のみカウント
フィット後のエネルギー分布
（NaI, φ= 90°）

フィット後のエネルギー分布
（CH, φ= 90°）

実験値とSimulationの比較
φ（°）
実験データ
QM
HV
0
9611
4855
4726
45
11824
5618
5750
90
15751
7718
7312
135
15064
7669
7388
180
12102
5974
6697
QM: 量子力学のSimulation
HV: 隠れた変数理論のSimulation
φ=90°のカウント数で規格化
φ（°）
実験データ
QM
HV
0
0.6102
0.6290
0.6463
45
0.7507
0.7279
0.7864
90
1.0000
1.0000
1.0000
135
0.9564
0.9937
1.0104
180
0.7683
0.7740
0.9159
χ2の計算
• Simulation（量子力学、隠れた変数）の結果と、
実験値とのχ2を計算
（φ=90°の光電光子カウント数で規格化）
5
 
2
i 1
 Ei  S i 
2
 E S
2
i
2
i
Ei（規格化した）実験値
:
S i（規格化した）
:
Simulation 値
χ2の計算
α : 上側累積確率（信頼度）
自由度 ndf ＝ 5－1 ＝ 4
• 量子力学
χ2/ndf = 1.94 (α = 0.101)
→ 信頼度 95% では棄却できない
• 隠れた変数理論
χ2/ndf = 10.3 (α = 0.0000000262)
→ 信頼度 99.999997% で棄却できる
⇒ 系は量子力学に従っている！
5. 考察
実験データ
理論値からのずれ
• 実験データは、A - Bcos2φの形になっていない
⇒ 原因 : シンチレータには大きさがある
1. 非対称性の影響
→ N(φ=0°) < N(φ=180°)
2. 角度なまし効果
→ 実験から計算される k の値は小さくなる
CH 上
NaI 上(φ=0°)
立体角
NaI 上
(φ=180°)
大
立体角
線源
立体角
小
NaI 下
CH 下
小
非
対
称
性
の
影
響
CH 上
NaI 上(φ=0°)
立体角
NaI 上
(φ=180°)
小
立体角
線源
立体角
大
NaI 下
CH 下
大
非
対
称
性
の
影
響
非対称性の影響
φ= 0°
大×小
小×大
φ= 180°
小×小
大×大
0 < （大－小）2
⇔ 0 < 大×大－ 2×大×小＋小×小
⇔ 大×小＋小×大 < 小×小＋大×大
⇔ N(φ= 0°) < N(φ= 180°)
非対称性の補正前
非対称性の補正後
角度なまし効果
φ= 90°以外の角度も入ってくる
NaI 下
φ
上から見た図
NaI 上
（φ0= 90°の場合）
CH 上下
理論値
平均値
 sin 2 1  sin 2  2

R  1  k 
2
2


sin



sin
2
1 
2
 1

 cos 2

角度なまし効果
総合的な補正
 sin 2 1  sin 2  2 

 cos 20 k  1
R  1  k 
2
2
  1  sin 1   2  sin  2 
が、非対称性、角度なまし効果のために、実際には
 sin 2 1  sin 2  2 

  I 0 
R  1  k 
2
2
  1  sin 1   2  sin  2 
と見えるので、実験値 N 0 の補正値は
R
N 0   N 0 
R
補正後
まとめ


実験とSimulationの比較の結果
→ 隠れた変数理論・・・棄却
→ 量子力学
・・・支持
実験と理論のずれはシンチレータの大きさ
によるものとして理解できる
付録
ポジトロニウムの崩壊
• 光子の荷電パリティ・・・負
2γ: (-1)2 = +1 , 3γ: (-1)3 = -1
• ポジトロニウムの荷電パリティ
ψC = (-1)L+Sψ
• オルソ(3S1)
(-1)0+1 = -1 ⇒ 3γ崩壊
• パラ(1S0)
(-1)0+0 = +1 ⇒ 2γ崩壊
ポジトロニウムの荷電パリティ(補足)
ψC = (-1)L+S+1ψ(1⇔2) = (-1)L+Sψ
∵ψ(1⇔2) = -ψ
ψ
: ポジトロニウムの波動関数
ψC
: ψを荷電変換した状態
ψ(1⇔2) : ψCの位置およびスピンを
入れ替えた状態
L, S : 合成軌道およびスピン角運動量
２光子のパリティ固有状態
1
 R1 R2  L1 L2 　パリティ：　F 
2
1
 R1 R2  L1 L2 　パリティ：　F 
2
• 基底状態（L=0）のポジトロニウムのパリティ
(-1)L+1 = (-1)0+1 = -1
⇒ F- : (ε(1)⊥ ε(2))
ε(i) ：光子 i の散乱面
1
1
Bellの不等式を求める(1)
確率
α1
α2
α3
α4
β1
β2
β3
β4
N1
+
+
+
+
-
-
-
-
N2
+
+
+
-
-
-
-
+
N3
+
+
-
+
-
-
+
-
N4
+
+
-
-
-
-
+
+
N5
+
-
+
+
-
+
-
-
N6
+
-
+
-
-
+
-
+
N7
+
-
-
+
-
+
+
-
N8
+
-
-
-
-
+
+
+
N9
-
+
+
+
+
-
-
-
N10
-
+
+
-
+
-
-
+
N11
-
+
-
+
+
-
+
-
N12
-
+
-
-
+
-
+
+
N13
-
-
+
+
+
+
-
-
N14
-
-
+
-
+
+
-
+
N15
-
-
-
+
+
+
+
-
N16
-
-
-
-
+
+
+
+
Bellの不等式を求める(2)
Niをその事象が起こる相対確率とする
 4  2   N1  N 2  N 3  N 4  N 5  N 6  N 7  N 8  N 9  N10  N11  N12  N13  N14  N15  N16
 4  3   N1  N 2  N 3  N 4  N 5  N 6  N 7  N 8  N 9  N10  N11  N12  N13  N14  N15  N16
 4  2   4  3  2 N1  N 2  N 7  N 8  N 9  N10  N15  N16 
1 2   N1  N 2  N 3  N 4  N 5  N 6  N 7  N 8  N 9  N10  N11  N12  N13  N14  N15  N16
1 3   N1  N 2  N 3  N 4  N 5  N 6  N 7  N 8  N 9  N10  N11  N12  N13  N14  N15  N16
1 2  1 3  2  N 3  N 4  N 5  N 6  N11  N12  N13  N14
  4  2   4 3  1 2  13  2
Bellの不等式を破る場合の計算
3 
1
2
1
 4  2   cos 2       cos   
8 
4
2
4
1 
1
2
1
 4  3   cos 2       cos   
8 
4
2
4
3
2
3 
1 2   cos 2     cos   
4
2
8 
1
2
1 
1 3   cos 2     cos   
4
2
8 
よって、
 4  2   4  3  1  2  1 3  2 2  2
Bellの不等式を破る場合の図
3
2  
8
1
2  
4
1
3  
8
1  0
キャリブレーション（NaI下）
実験前
実験後
キャリブレーション（NaI下）
データを合わせて10点で直線フィット
ADC分布（NaI下）
ADC分布（CH下）
フィット後のADC分布（NaI下）
フィット後のADC分布（CH下）
Simulation
おまけ
エネルギー分布
（NaI, φ= 90°）
エネルギー分布
（CH, φ= 90°）
フィット後のエネルギー分布
（NaI, φ= 90°）
フィット後のエネルギー分布
（CH, φ= 90°）
非対称性の補正（計算式）

2
0
 rCH 
arctan 

L


0
d 
d
sin 
2
2
 L
  L

1  tan  cos   1  tan  cos0   
l
l

 

総合的な補正（計算式）
r 
arctan  CH 
 L 
0
2
 d cos 2
0
   d 
0
I 0  
 d 
2
0
r 
arctan  CH 
 L 
0
d 
2
2
d 
2
d
rNaI  l  L tan  cos   tan    
2
2
rNaI  l  L tan  cos0   



rNaI
rNaI

 
min  arctan 

 ,   arctan 

 l  L tan cos  
 l  L tan cos 0   



rNaI
rNaI

 
max   arctan 

 ,   arctan 

 l  L tan cos  
 l  L tan cos 0   
rNaI  l  L tan  cos0    tan  
arcsin
2
2
rNaI  l  L tan  cos0   
2
arcsin
d 
rNaI  l  L tan  cos0    tan  
arcsin
2
2
rNaI  l  L tan  cos0   
2
arcsin



rNaI
rNaI

 
min  arctan 

 ,   arctan 

 l  L tan cos  
 l  L tan cos 0   



rNaI
rNaI

 
max   arctan 

 ,   arctan 

 l  L tan cos  
 l  L tan cos 0   
2
d
rNaI  l  L tan  cos   tan    
2
2
rNaI  l  L tan  cos0   
2
2
CH 上
NaI 上
：散乱点（上）
：散乱点（下）

線源

NaI 下
CH 下

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