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自然現象と数学
2008/4/17第２回
微分・積分の応用
今回の授業の目的
• テイラー展開を理解する
• 多項式近似による複雑な式
の数値計算
• ニュートン法により方程式の
解と極値を数値的に求める
方法を理解する
一次近似と接線
f a  h  f a  hf a
x  a  h,h  x  a
f x   f a  f ax  a
接線の式
10000
8000
6000
f(x)
f a  h  f a
f a  lim
h0
h
f a  h   f a
f a 
h
hf a  f a  h   f a
f(x)
4000
f'(a)(x-a)
f(a)
x-a
2000
0
x
a
4
5
6
7
x
8
9
10
テイラー展開(1)
f x   f a 

x
a
f  t dt  f a   f t a
x
 f a   f x   f a  f x 
 ht gt dt  ht gt    ht gt dt
x
x
a
a
a
ht   f t , gt   t  x
 f t 1dt  f t t  x  



x
x
x
x
a
a
a
f x   f a  

x
a
f t t  x dt
f  t dt
 f a    f  t t  x a 
x
 f a   f  a x  a  


x
a
x
a
f  t t  x dt
f  t t  x dt
テイラー展開(2)
f x   f a  f ax  a   f t t  x dt
x
Calculation of

x
a
a
f t t  x dt
 ht gt dt  ht gt    ht2gt dt

x
x
x
a
a
a
h t   f t , gt  
t  x 


x
a
2

t  x 2  x
t  x 2
f t   t  x dt  f t 
dt
  a f t 
2 
2

a
x
g’(t)
h(t)

  f t 
a  x 
2
2
f x   f a   f  a x  a   f  a 
  f t 
x
t  x 
a
x  a 
2
2
2
2
  f  t 
x
a
dt
t  x  dt
2
2
テイラー展開(3)
n
(x  a)2
(x

a)
f (x)  f (a)  f '(a)(x  a)  f ''(a)
 L  f (n) (a)
 Rn1 (x)
2!
n!
1 x (n1)
Rn1 (x) 
(t)(x  t) n dt
a f
n!
è„éÆÇ¾ÅA
f (x) ÇÃx = a Ç-ÇÃÉeÉCÉâÅ[ÇÃåˆéÆÇ²ÇÊÇ‘ÅB
(2-5)éÆÇÕÅA
nÅ®Åá
Ç- Rn+1(x)Ç™0
Ç…éÞë©Ç
ÇÍÇŒ
(x  a)2
(x  a) n
(n)
f (x)  f (a)  f '(a)(x  a)  f ''(a)
 L  f (a)
L
2!
n!
a=0を代入すると
n
x2
x
f (x)  f (a)  f '(a)  x  f ''(a)
 L  f (n) (a)
L
2!
n!
マクローリン展開
テイラー展開(4)
f (a)
f (a) 2
f (n) (a) n
f (a  h)  f (a) 
h 
h L 
h L
1!
2!
n!
f (a)
f (a) 2
f (a  h)  f (a) 
h 
h
1!
2!
a  h  x,
h xa
f x   f a   f  a x  a   f  a 
f x   f a
f x   f a
x  a 
2
2
多項式近似(1)
y
(1) f(x)=sin(x)の一次の近似
3
y=x
2
ÇQÇ¬ÇÃåW
êî a0ÅAa1 Ç¾x = 0 Ç…Ç®Ç¢ÇƒÅA
f (x) = p1(x)
f' (x) = p1'(x)
Ç²Ç»ÇÈÇÊÇ§Ç…åàÇ½ÇÍÇŒÅA
p1(x) = 0 + 1ÅEx
Ç²Ç»ÇÈÅB
テイラー展開の一次の近似
y = sin(x)
1
-3
-2
0
-1
1
2
-1
-2
-3
sin(x) f (0 x)  f (0)  f (0) x
 sin(0)cos(0) x  x
ある点で一次までの導関数の値が等しくなるよう
に関数を近似することと、テイラー展開の式で一
次の項まで採用することは同等
3
x
多項式近似(2)
(2) f(x)=sin(x)のテイラー展開による高次の近似
テイラー展開の式
(x  a)2
(x  a) n
(n)
f (x)  f (a)  f '(a)(x  a)  f ''(a)
 L  f (a)
L
2!
n!
に a=0 を代入すると
n
x2
x3
x
f (x)  f (0)  f '(0)  x  f ''(0) 
 f '''(0) 
 L f (n) (0) 
L
2!
3!
n!
(sin(x))  cos(x), (sin(x))  sin(x), (sin(x))   cos(x), (sin(x))(4)  sin(x)
なので
f '(0)  cos (0)  1, f ''(0)   sin (0)  0 , f '''(0)   cos (0)  1, f (4) (0)  sin (0)  0
f (x) 
x 3 x5
x

L
6 120
多項式近似(3)
3
y=x- 6
3
x
y  p3 (x)  x 
6
3
y
x3
y=x
2
y = sin(x)
1
5
x
x
y  p5 (x)  x  
6 120
-3
-2
x
x
y = x - 6 + 120
3
5
0
-1
1
2
3
x
-1
-2
-3
なぜ２次や４次の項があらわれなかったのか？
関数 f(x) が偶関数である
→ f(-x) = f(x)が任意の x について成立すること
関数 f(x)が奇関数である
→ f(-x) = -f(x)が任意の x について成立すること
多項式近似(4)
【問題2.1】
cos(x)をx = 0のまわりでテイラー展開し、4次、および6次の項までの
近似式を求めよ。
(cos(x))  sin(x), (cos(x))   cos(x), (cos(x))  sin(x), (cos(x))(4 )  cos(x)
(cos(x))(5)   sin(x), (cos(x))(6)   cos(x)
cosx   cos0  sin 0 x 
 cos0  x 2  sin 0  x 3  cos0  x 4  sin 0  x 5   cos0  x 6
2!
3!
4!
5!
6!
1
1 4 1 6
cosx   1  x 2 
x  x
2
24
6!
1 2 1 4 1 6
1 x
cosx   1  x 
 x   x L 
2
24
6!
2n !
2n
2n
多項式近似(5)
【問題2.2】 e xを x = 0のまわりでテイラー展開せよ。
e 
x (n )
 e なので
x
0
0
0
e
e
e
2
3
4
e e e x  x  x  x
2!
3!
4!
n
1 2 1 3 1 4
x
x
e 1 x   x   x   x L 
2!
3!
4!
n!
x
0
0
多項式近似(6)
x≠0でのテーラー展開による近似‥x=b周りの近似
n
(x  b)2
(x

b)
f (x)  f (b)  f '(b)(x  b)  f ''(b)
 L  f (n) (b)
L
2!
n!
p(x)  f (b)  a1 (x  b)  a2 (x  b)2  a3 (x  b)3 L  an (x  b)n L
f (b)
f (b)
f ( n) (b)
a1  f (b), a2 
, a3 
, an 
2
6
n!
多項式近似(7)
【問題2.3】
sin(x) をx = πのまわりでテイラー展開し、５次の項
までの近似式を求めよ。
sin x   sin  
 sin  

 cos   x    
 x   
2
2!
 cos  
cos  
sin  


3
4
5

 x    
 x    
 x   
3!
4!
5!
x 

sin x    x    
3
3!
x 


5
5!
多項式近似(8)
【問題2.4】
木の高さを測るため、根本から100 m離れた位置で仰角をはかったところ、11.4°で
あった。tan(x) （あるいは、sin(x)とcos(x)）のx = 0での１次、３次、および５次の項まで
のテイラー展開での近似式を用いて、木の高さを計算せよ。（角度の単位に気をつ
けること）
11.4 
H  100  tan11.4  100  tan

180 
11.4Åã
100 m
2 sin 0  1 2
1 2 sin 2 0  1 3
1
tan x   tan 0  
x
x 2
x
2
3
4
cos 0 
cos 0  2!
cos 0  3!
16 sin 3 0   8 sin 0 cos 2 0   8 sin 0  1 4

x
5
cos 0 
4!

80 sin 4 0   72 sin 2 0 cos 2 0   8 cos 4 0   4 cos 2 0  1
1
2
 x   x3   x5
3
15
cos 6 0 
5!
 x5
多項式近似(9)

1 3 2 5
H  100  tan x  100  x  x  x 

3
15 
11.4 
H  100  tan11.4  100  tan

180 
11.4
  0.1990
180
より

１次の場合
H=100×0.1990=19.9m
3次の場合
H=100 ×(0.1990+ 0.19903/3)=20.1627m=20.2m
5次の場合
H=100×(0.1990 + 0.1990 3/3+ 2 × 0.1990 5/15) =20.1668
=20.2m
実際に計算すると20.1635m
極値問題
【問題2.5】
一辺18 cmの正方形の紙の４隅から同じ大きさの正方形を切り取り、これを折って、蓋のない箱を作る。
その箱の体積を最大にするには、どのように切れば良いか、また最大の体積はいくらか求めよ。ただし、
のりしろは考えなくて良いものとする。
x
18cm
切り取る正方形の１辺の長さを
x cmとすると底面積Sは
S =(18-2x)2 cm2
高さは x cm となる。よって体積Vは
V= x ×(18-2x)2 cm
となる。これの0< x <9のおいてVの最
大値を求めればいいので
V’(x)=0の点を求めればよい。
V’(x)=12(x-9)(x-3)
なので、 x =3かx =9において最大値を
とる。
x =9ではV=0なのでx =3cmにおいて
V=3*(18-2・3)2 =432 cm3をとる。
極値問題(2)
【問題2.6】長さ2rの線分ABを直径とする半円がある。直
径ABに平行な弦PQをひいたとき、台形PABQの面積を
最大にする∠PABを求めよ。
この台形の上辺の長さlは
P
l=2×r × sin(π-2θ)
高さhは
θ
h=r × cos(π-2θ)
A
よって、面積Sは
S(θ)=2r (1+sin(π-2θ)) × rcos(π-2θ)/2
で表される。
S’(θ)=2r2(2cos2θ+1)(cos2θ-1)
よってθ=π/3
Q
B
2r
ニュートン法(1)
• 目的
Çá
(x)
– f(x)=0の解を数値計算に
よって求める
x2
x1
x0
x
• 原理
– 真の値に近い値を予想し、その点での接線によるx
切片は元の予想値より解に近くなるはず。この操作
(接線を求める,x切片を求める)の繰り返しによりか
解が求まるはず。
ニュートン法(2)
g(x)  g(x0 )  g(x0 )(x  x0 )
g(x)
0  g(x0 )  g(x0 )(x  x0 )
g(x0 )
x1  x0 
g(x0 )
0  g(x1 )  g(x1 )(x  x1 )
g(x1 )
x2  x1 
g(x1 )
0  g(x2 )  g(x2 )(x  x2 )
g(x2 )
x 3  x2 
g(x2 )
x3
x2
x1
x0
x
ニュートン法(3)
【問題2.7】
g(x)  x 2  3 の0 < x での解をニュートン法により求めたい。x0 = 2 から探索を
開始し、解となるxの近似値x1, x2, x3 を求めよ。
g(x)  x  3
2
g(x)  2x
2^2 3
x1  2 
 1.75
2*2
1.75 ^ 2  3
x2  1.75 
 1.73214
2 *1.75
31.73214 ^ 2  3
x3  1.73214 
 1.73205
2 *1.73214
反復計算による最適解の導出
• ニュートン法を極値を求める問題に使う
• 目的:極値を求める→f’(x)=0を求める
→ f’(x)=0 の解を数値的に求める
ニュートン法(4)
極値を求めたい関数f (x) をx = x0 において二次関数で近似すると
f (x)  f (x0 ) 
f (x0 )
f (x0 )
(x  x0 ) 
(x  x0 ) 2
1!
2!
f'(x)  f (x0 )  f (x0 )(x  x0 )  0
f (x)
f (x)  g(x)
ìÒéü
ä÷êî
ã½éó
g(x)  g(x0 )  g(x0 )(x  x0 )
0  g(x0 )  g(x0 )(x  x0 )
g(x0 )
x1  x0 
g(x0 )
0  g(x1 )  g(x1 )(x  x1 )
g(x1 )
x2  x1 
g(x1 )
x3
x2 x1
x0
x
ニュートン法(5)
【問題2.9】
f (x)  x 3  2 x 2  x  6
の0 < x < 3 での極小値を解析的に求めよ。また、その値を
ニュートン法で求めたい。x0 = 2 から探索を開始し、極小値を与えるxの近似値x1, x2,
x3 を求めよ。
f (x)  x  2x  x  6, f '(x)  3x  4 x  1
f "(x)  6x  4
3
2
2
3  2 2  4  2 1
x1  2 
 1.375
624
3 1.375 2  4 1.375 1
x2  1.375 
 1.09926
6 1.375  4
3 1.09926 2  4 1.09926 1
x3  1.09926 
 1.01139
6 1.09926  4

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