物理2013

鮫島俊之
蓮見真彦
members
鮫島俊之（さめしまとしゆき）
名古屋大学・静岡大学・工学博士・ソニー・Max Plank
Institute・東京農工大学・教授
講義担当
蓮見真彦（はすみまさひこ）
東京大学・理学博士・理化学研究所・東京農工大学・
学習支援室長
演習担当
Introduction
１．教科書タイトル：新・基礎力学
(ライブラリ新・基礎物理学)
出版社：サイエンス社
ISBN：978-4781910970
２．講義ノートはホームページからダウンロード
１）http://www.tuat.ac.jp/~sameken/
２）講義ノートのメニューバーをクリック
３）2013年物理学及び演習 (1年次後期) のコーナー
の物理 (ppt)をクリック
Introduction
３．演習と宿題は学習支援室蓮見室長が担当する。
学習支援室ホームページからダウンロード
１） http://www.tuat.ac.jp/~gakusyu/
２）演習問題及び宿題をクリック
Introduction
４．必修科目
５．成績評価：絶対評価
S：100〜90，A：89〜80，B：79〜70，C：69〜60，
D：59〜0
Ｓ〜Ｃは単位認定される。E1クラスと同一評価、
演習30点
宿題20点
中間試験＋期末試験 50点
Introduction
６．物理授業用ノートを用意すること
７．講義・演習・宿題の流れ
講義：毎回所定のテーマの解説をする。
演習：前回答案返却→前回問題解説→
今回問題配布・実施→今回答案回収
宿題：講義前に前回答案回収→
演習後今回問題配布
平成24年度電気電子工学科E2 物理学基礎・
物理学基礎演習期末テスト問題抜粋
問2 物理得意のUさんがまたしても力F=(-2x, -8y, 0) [N]を持ちだ
した。今度は質量m [kg] 長さが2 [m]の剛体棒が図のように棒の一
端が原点ＯにありＸ軸上に横たえてある。Uさんはクリスマス時と同じ
ように、時刻0 [s]で重心初速度v=(0,1,0) [m/s]で棒を打ち出すそう
である。以下の問題に答えよ。
(1) 原点Ｏにある棒の端は原点を動かない
が自由に回転できるようにしてある。このと
き棒は原点を支点として反時計回りに回転
的運動をするだろう。まず、Uさんの力Fが
保存力かどうか確かめたい。回答欄①に
保存力であるか否かに丸をつけよ。そして
回答欄②に、①の答えの証明を数式を用い
て表せ。棒が重心初速度v=(0,1,0)で打ち出された瞬間の棒の回転
運動の慣性モーメントIを回答欄③にmと数値を用いて表せ。
  F z 
Fy
Fx
 00  0
y
平成24年度電気電子工学科E2 物理学基礎・
物理学基礎演習期末テスト問題抜粋
x

またそのときの角運動量Lを回答欄④にmと数値を用いて成分で表
せ。時刻t [s]において重心の位置がrG=(x,y,0)にあるときの棒が受
ける力のモーメントNを回答欄⑤に成分で表せ。棒が回転運動を続
けるかどうかはmの大きさにかかっている。例にならって回答欄⑥に
mの条件を表せ（例はもちろん間違いである。表現の仕方の例であ
る）。⑥を満たした棒の回転運動はどんなだろうか、回答欄⑦にあな
たの考えを200字以内の文章で表せ。短い数式を一つ使ってよい。
①ノムラ
④
②ノムラ
⑤
③
1. 運動の表し方（１）
１．１位置と座標系
１．２二次元極座標と孤度法
１．３位置ベクトルと変位ベクトル
１．４ベクトルの基本的性質
１．１位置と座標系
質量mの質点Ｐの位置ｒは三次元直交座標系（デカルト
座標系）を用いて表すことができる。
r   x, y , z 
もし位置に時間変化がある場合、時間の関数を用いて、
Z
r  t    x  t  , y  t  , z  t  
P
と書く。二次元表現で表現できる場合
m
もある。 r  t    x  t  , y  t  


0
一次元表現もある
r  t    x  t  
X
Y
１．１位置と座標系
問：農工大小金井キャンパスは緯度 35.699o, 経度
139.158oにある。農工大小金井キャンパスの地球中心
からの位置を直交座標表示してみよう。地球は真球で
半径を6378.137kmとする。
フジイ
１．２二次元極座標と孤度法
PからＸ－Ｙ平面に下ろした垂線の足をＱとする。
OXとOQが挟む角をθ、OZとOPが挟む角をφ、
OPの長さをrとすると、
OQ  r sin 
QP  r cos 
Z
であるから、
r   r sin  cos , r sin  sin  , r cos 
となり、三次元直交座標の成分は
r ,  ,  を用いて表される。
X
φ
P
m
O
θ
Y
Q
１．２二次元極座標と孤度法
r   r, ,  を極座標という。
2次元表現もある。
φが常に90°なら r   r cos , r sin  
物体はＸ－Ｙ平面内にあり、
r   r,  である。
農工大小金井キャンパスは緯度35.699o,経度139.158o
にあるから、極座標なら農工大小金井キャンパスの地
球中心からの位置は、
noko  6.3781  106 , 2.4287,0.9477 
となる。
１．２二次元極座標と孤度法
Ｘ－Ｙ平面内、半径aの円の位置の極座標表現は、
r   a,  と書くことができる。
１．３位置ベクトルと変位ベクトル
位置Ｐは基準点からの成分表示で表される。
数学のベクトルの性質を持っている。
大きさがあり、向きがある。
位置Ｐ点が少し動いてＰ’になったとしよう。
rp   x p , y p , z p 
rp '   x p ' , y p ' , z p ' 
rp p '   x p '  x p , y p '  y p , z p '  z p 
足し算可能（もちろん引き算も可能）
rp '  rp  rp p '
１．３位置ベクトルと変位ベクトル
rp p '   x p '  x p , y p '  y p , z p '  z p 
のようなものを変位ベクトルと呼ぶ。
大きさが小さければ、
r   x, y, z 
と書いたりする。
問Ｘ－Ｙ平面内、半径rの円の位置が θ ＝0から θ まで
動く時に描く軌跡の円弧の長さを求めよ。
θ＝0からΔθまで少し動いたとき、ベクトルは
r   r,0
r   r cos  , r sin  
１．３位置ベクトルと変位ベクトル
変位ベクトルは
r   r  cos   1 , r sin  
大きさは、
r  r  cos   1  r  sin    2r 2 1  cos  
2
2
2
2
三角関数には以下の性質がある。
im xm
x2
x4
cos x  
1


2!
4!
even m !
i n 1 x n
x3
x5
sin x  
 x


n!
3!
5!
odd
１．３位置ベクトルと変位ベクトル
Δθは小さいので、2次までの近似とすると、
r  2r 2 1  cos   ~ r

である。よって円弧の長さは、 ARC  0 rd  r
2
円周の長さは、 ARC   rd  2 r
0
im xm
x2
x4
cos x  
1


2!
4!
even m !
sin x  
odd
i
n 1
n
3
5
x
x
x
 x


n!
3!
5!
１．４ベクトルの基本的性質
１．ベクトルは成分表示される量 A   Ax , Ay , Az 
２．ベクトルは加算的である。
A B  C
A
x
 Bx , Ay  By , Az  Bz    Cx , C y , Cz 
３．掛け算は２種類ある
１）内積(inner product, scalar product)
ベクトル・ベクトル＝スカラー
A B  C
Ax Bx  Ay By  Az Bz  C
A  B  AB cos
A A  A
2
A B  B  A
１．４ベクトルの基本的性質
２）外積(outer product, vector product)
ベクトルｘベクトル＝ベクトル
A B  C
A B
y
z
 Az By , Az Bx  Ax Bz , Ax By  Ay Bx    Cx , C y , C z 
A  B  AB sin  e
A A  0
A  B  B  A
外積のXYZ成分はYZ→ZX→XYの順番に並べて
行けば簡単に求められる。
１．４ベクトルの基本的性質
位置ベクトルは：
Z
P
m
r  t    rx  t  , ry  t  , rz  t  
位置の時間微分は速度である。
d
v t   r t 
dt
0
X
速度の時間微分は加速度である。
d
a t   v t 
dt
Y
１．４ベクトルの基本的性質
位置ベクトル
r  t    rx  t  , ry  t  , rz  t  
速度ベクトル
d
d
d

v  t    rx  t  , ry  t  , rz  t  
dt
dt
 dt

加速度ベクトル
 d2

d2
d2
a  t    2 rx  t  , 2 ry  t  , 2 rz  t  
dt
dt
 dt

数学の勉強：指数関数
指数関数を使って三角関数trigonometric functionを制覇しよう。
a b
ee
e 
a b
ab である。Multiplication rule
e
e
ab
である。Power rule
de ax
 ae ax である。ordinary differential equation
dx
a, b はどんな数でも成り立つ。
定義：
eia  cos a  i sin a
Euler's formula
aは実数
数学の勉強：指数関数
e  cos a  i sin a
ia
定義：
aは実数
im xm
x2
x4
cos x  
1


2!
4!
even m !
i n 1 x n
x3
x5
sin x  
 x


n!
3!
5!
odd
e x   an x n と置く
n
上下を見比べれば
d x
e   an nx n1
dx
n
 e x   an x n
n
an n  an1
an1
an 
n
1
an 
n!
数学の勉強：指数関数
ex  
n
xn
n!
 ix 
である。
定義を使って、
n
m m
n 1 n
i
x
i
x
ix
e 

 i
n!
n!
n
even m!
odd
 cos x  i sin x
im xm
x2
x4
cos x  
1


2!
4!
even m !
i n 1 x n
x3
x5
sin x  
 x


n!
3!
5!
odd
２．運動の表し方（２）
２．１速さ
２．２速度
２．３加速度
２．４等加速度運動
２．５等速円運動
２．速さ、速度、加速度
位置ベクトルは：
Z
P
m
r  t    rx  t  , ry  t  , rz  t  
位置の時間微分は速度である。
d
v t   r t 
dt
0
X
速度の時間微分は加速度である。
d
a t   v t 
dt
Y
２．速さ、速度、加速度
位置ベクトル
r  t    rx  t  , ry  t  , rz  t  
速度ベクトル
d
d
d

v  t    rx  t  , ry  t  , rz  t  
dt
dt
 dt

加速度ベクトル
 d2

d2
d2
a  t    2 rx  t  , 2 ry  t  , 2 rz  t  
dt
dt
 dt

２．速さ、速度、加速度
位置
r  t   r  t   rx  t   ry  t   rz  t 
速さ
v  t   v  t   vx  t   v y  t   vz  t 
2
2
2
2
2
2
加速度の大きさ
a t   a t   ax t   a y t   az t 
2
2
2
2.4. 等加速度運動
位置ベクトル
r  t   t , t 2 , t 
の軌跡をとる物体の速度と加速度ベクトルを求めよ。
物体の運動を説明せよ。
速度ベクトル
v  t   1, 2t ,1
加速度ベクトル
a  t   0, 2,0
・時刻ゼロでの速度ベクトル、加速度ベクトルの向き
を求めよ。
・十分時間が経ったときの位置、速度、加速度ベクト
ルの向きを求めよ。
シゲノ
2.5. 等速円運動
問半径rの円周上を角速度ωで運動する質量mの
物体の座標ベクトルの成分を
r  t    r cos t, r sin t 
と書くとき、
物体の線速度ベクトルの成分を求めよ。
物体の加速度ベクトルの成分を求めよ。
物体の座標ベクトルの成分を
r  t   re
it
と複素指数表示するとき、物体の線速度を求めよ。
物体の加速度を求めよ。
2.5. 等速円運動
r  t    r cos t, r sin t 
d r t 
v t  
   r sin t, r cos t 
dt
d v t 
a t  
 r 2 cos t, r 2 sin t
dt

r  t   re
it
d r t 
v t  
 ireit
dt
d v t 
a t  
  r 2eit
dt

2.5. 等速円運動
r t   r
v  t   v  r
2
v
a  t   a  r 
r
2
r t   v t   0
a  t    r  t 
2
周期Ｔ T 
2

v t   a t   0
３．力と運動
３．１ニュートンの第一法則
３．２ニュートンの第二法則
３．３ニュートンの第三法則
３．４いろいろな力
３．力と運動
問： +x方向に磁束密度Bで磁場が働いている。また、
荷電粒子が+y方向に速度vで運動している。
(1)磁束密度B,粒子の速度vをベクトル表示せよ。
(2)磁束密度Bの中を速度v で運動する荷電粒子には

 
F  qv  B
（１）
という力が働く。qは帯電粒子の電荷量である。この式
（１）を用いて、荷電子が受ける力の大きさと、その方向
を求めよ。
ナカムラ
３．力と運動
問
(1) v   0, v, 0 
B   B, 0, 0 
(2) F  qv  B  q  0, 0, vB 
∴粒子は-Z方向にvBの大きさの力を受ける。
このように、外積は３次元ベクトルを考えた時に初め
てでてくる不思議な掛け算である。
３．運動の３法則
１．慣性の法則 F  0 d p  0
the principle of inertia
dt
２．運動の法則
dp
F
dt
ma  F
Equation of motion
３．作用反作用の法則（運動量保存則）
Law of action and reaction
(Principle of Momentum Conservation)
問．上記3法則について皆さんの体験を述べよ。
ノムラ
３．運動の３法則
ちから
F がある。これはベクトルである。
ベクトルだからこう考えることができる。
F  F1  F2
F 0
のとき
F1   F2 である。
力のつり合い状態という。
このとき運動の形態は維持される。
３．運動の３法則
床に質量mの箱が静止している。
箱には重力Fg=mgが働いている。
箱が動かないとき、箱が床に置か
れた事により発生する垂直抗力Ｎ
と重力が釣り合っていると考える。
Fg  N  0
N
m
Fg
静止形態は維持される。
身の回りに沢山の類似例がある。
実は目に見えないが大気もこんな状態である。
気流を考えなければ空気が地表にのっかっており、
重力と垂直抗力が釣り合っている。
３．運動の３法則
問
大気1気圧はパスカル表示で
101325 Pa(=N/m2)である。
重力加速度gは9.806 m/s2である。
地表に乗っかっている大気の
単位１ｍ2あたりの質量を求めよ。
フジイ
大気
地表
３．運動の３法則
床に静止している質量mの箱を
図のように水平に押す。
箱が動かないとき、
力Ｆに抗して摩擦力Ｒが働き
二つの力は釣り合っている。
m
R
F
F R0
摩擦力は箱が床に置かれた事により発生する垂直抗
力Ｎを使って、  N
と表す。
F  N  0
３．運動の３法則
疑問：垂直抗力は上向きだった。
しかしＲは横向き（力の向きの反対
向き）だった。上向きの力から
なぜ横向きの力が生じるのだろう？
N
N
m
R
F
Fg
は明らかに大きさに限界がある。
よって非常に大きな力を加えれば、
m
m
k
となって物体は動き始める。
F  N  0
３．運動の３法則
dp
力は運動量の時間微分 F 
と表す。
dt
だから力を時間積分すると運動量の変化になる。

t2
t1
Fdt  p(t2 )  p(t1 )
これを力積という。
３．運動の３法則
v
問同じ質量ｍの物体が速さvで真正面 v
衝突する。
m
衝突前の全運動量は mv  (  mv )  0
である。衝突後も運動量は不変である。
衝突後の運動の形態はどうなるか？
問同じ質量ｍの物体二つがばね
常数kで繋がっている。外力を受けず
重心が静止した状態で振動するとき、
全運動量はいくらか。
角振動数ωはいくらになるだろうか。
シゲノ
m
m
k
m
３．運動の３法則
問：質量Mの太陽の周りを回転運動する、 M=2.0x1030kg
質量mの地球を考えよう。
Ｙ m=5.9x1024kg
地球と太陽の間に働く万有引力以外に r=1.5x1011m
外力は無く、重心が静止しているとき、

全運動量はいくらか。
m
ｒ
運動量が保存する作用反作用
O θ
のルールにてらして地球と太陽
Ｘ
M
の運動を考えよ。
ナカムラ
いろいろな力
万有引力
GmM
F 
r
3
r
弾性力
F  k x
粘性抵抗力
F  Cv
力のモーメント
こりおり力
ｘは変位
N  r  F 角運動量 L  r  p
F  2mv  
mr2ω
３．運動の３法則
問質量Mとｍの物体二つがばね
常数kで繋がっている。外力を受けず
振動するとき、角振動数ωはいくらに
なるだろうか。
k
K
M
k
m
mM
mM
である。換算質量という。Reduced mass

になる。ここで、 K 
M>>mの場合は？
M=1.5mの場合は？
ノムラ
壁
k
m
1.5m k
m
４．いろいろな運動（１）
４．１放物運動
４．２空気抵抗
４．３束縛運動
４．４単振動
４．いろいろな運動（１）
力は運動量変化をもたらすと学んだ。

t2
t1
Fdt  p(t2 )  p(t1 )
こんな関係があった。
もし一定の力が作用したとき、t秒後の経過を考
えると運動量の変化は、
p  F  t
になる。これは時間経過がごく短時間の場合は、
運動量の変化は僅かであることを示している。
４．いろいろな運動（１）
もし予めp=(px,0,0)であり、F=(0,0,Fz)なら、
t秒後には
p=(px,0, Fzt)であり、
Δp=(0,0, Fzt)である。
即ち、
px
t 
Fz
までは
力による運動は初速度pxが主役である。
px
そして、 t  F のとき、加速度による運動が支
z
配的になる。
４．１放物運動parabolic movement
ｖ0の初速で質量mの物体を水平θの角度で投げ上
げる。
y
加速度は a  t   0,  g 
θ
x
v  t   v0 cos , v0 sin   gt 
速度は
g 2

位置は
r  t    v0 cos  t , v0 sin  t  t 
2 

x  v0 cos t
g 2
g
x2
y  v0 sin  t  t  x tan  
2
2  v0 cos 2
４．１放物運動parabolic movement
これは放物線運動である。
・位置の大きさ(原点からの距離）はどうなる？
g 2

2
2 2
r  r  t   r  t   v 0 cos  t   v0 sin  t  t 
2 

2
2
2

g 
1 g  2
g
 v 0 t cos   sin  
t   v 0 t   t  sin  t  1
2v0 
4  v0 
v0

2
位置は始めはｔに比例して大きくなる。等速運動
そのうち、ｔ2に比例して急激に大きくなる。
・位置の大きさの変化がｔ的からｔ2的に切り替わる時刻
はいつ？
４．１放物運動parabolic movement
2
1 g  2
g
r  v 0 t   t  sin  t  1
4  v0 
v0
・位置の大きさの変化がｔからｔ2に切り替わる時刻t0はいつ？
2
1 g  2
g
t
~

sin

t0  1
  0
4  v0 
v0

だろう。
2v0
t0 ~
 sin   1  sin  2
g

である。
物体はt0までは概ね等速度運動、t0を超えると等加速度運
動と言える。
４．１放物運動parabolic movement
・t0のときの原点からの距離r0は
r0 ~
・Ｘ軸上への落下点までの距離r1は
r0,r1,r2
r1 
r2 
1  sin 
2v 02 sin  cos 
g
v 0 sin 
2
・最高高さ到達点までの距離r2は
r0
 sin  

2g
4v 02
2g
ｇ=v0=1のとき
r1 
v 02
g
r1
r2 
r2
θ
v 02
2g
2

2
４．２空気抵抗
空気の粘性抵抗下でt＝０でz＝０、ｚ方向に速度 -v0をもつ
質量mの物体の運動を考えよう。
粘性抵抗力は
運動の式は
v
F  Cv
v
maz  mg  Cvz
d 2z
dz
m 2  mg  C
dt
dt
を解こう
４．２空気抵抗
dz
v
と置く。
dt
dv
m
 mg  Cv
dt
mg
V v
C
dV
m
 CV
dt
と置く。
dV
C
割り算と掛け算をする。
  dt
V
m
積分をする。
整理する。
vは・・・・・・・・
C
ln V   t  a
m
V e
C
 t a
m
v  Ae
C
 t
m
 Ae
mg

C
C
 t
m
４．２空気抵抗
vはt=0で-v0だから、
mg
 v0  A 
C
よってvは
 mg
  m t mg
v
 v0  e 
C
 C

C
従ってzは
C
 t
m  mg
mg

m
z 
 v0  1  e  
t
C C

 C
４．２空気抵抗
問：-v0=0のとき、落下のごく初期t<<小のとき、
v   gt
1 2
z   gt
2
と、近似できることを示せ。
-v0がゼロでない時どうなるか考えよ。
C

mg

 m t mg
v
 v0  e 
C
 C

C

t

m  mg
mg

m
z 
 v0  1  e  
t
C C

 C
４．２空気抵抗
問：-v0=0のとき、落下のごく初期t<<小のとき、
C
C

t

t
mg
mg
mg
mg mg  C  mg

 m
m
v
 v0  e 

e 
~
  gt
1  t  
C
C
C
C  m  C
 C

C

t

m  mg
mg

m
z 
 v0   1  e  
t
C C

 C
2
C



t


m mg
mg
m
mg
C
1
C
mg


m

t~
t
 t   t   
1  e  
C C 
C C m
2m   C
 C
1 2
  gt
2
４．２空気抵抗
問：空気抵抗中の物体の速度v と位置z は次の式で書け
ることを学んだ。
 mg
  m t mg
v
 v0  e 
C
 C

C
C

t

m  mg
mg

m
z 
 v0  1  e  
t
C C

 C
この運動はC→0 のとき、通常の自由落下運動の速度、
位置と一致することを示せ。
４．２空気抵抗
C
 mg
  m t mg  mg
  C  mg
v
 v0  e 
~
 v0   1  t  
C  C
 C

 m  C
 v0  gt
C

t

m  mg
mg

m
z 
 v0   1  e  
t
C C

 C
2

m  mg
C
1
C


  mg
~ 
 v0   t   t   
t


C C
2m   C
 m
  v0t 
1 2
gt
2
４．２空気抵抗
ストークス則
F  Cv  6 rv
終端条件
球形条件
η：流体の粘度 [Pa･s]
mg  Cv  6 rv
4
mg   r 3 g
3
2  g 2
g
2
v
r 
4 r
9
18
４．２空気抵抗
問：-Z 方向に重力加速度を受けて落下運動する質量m
の物体が速さv で運動するとき、v及びv 2 に比例する抵
抗力F =-Cv +D v 2 を受けるとする。十分時間がたった
後、この物体の速度がどうなるか考えよ。
F  mg  Cv  Dv 2  0
C  C 2  4mgD
v
2D
４．２空気抵抗
C→0なら
C  C 2  4mgD
mg
v

2D
D
慣性抵抗
D→0なら
C  C  4mgD
v
~?
2D
2
粘性抵抗
ナカムラ
電気電子工学科E2 物理学及び演習中間テ
スト問題 2008年12月18日(木)
問１．惑星Ｑを調査中の二人の探検家が同時にそれ
ぞれ穴に落ちた。穴の深さは0.5mと10mだった。
落下時は惑星Ｑの重力加速度g (=1 m/s2)と、大気の
粘性抵抗(抵抗率C(=50 Nsm-1))のみが働く。0.5 mと
10 mの穴の底に達するまでの時間としてもっとも確か
らしい値をそれぞれ下表から選べ。二人の探検家の体
重はそれぞれ同じ質量50kgとする。
表１：0.5s, 1.0s, 1.5s, 2.0s, 2.5s, 3.0s, 3.5s, 4.0s,
4.5s, 5.0s, 5.5s, 6.0s, 6.5s, 7.0s, 7.5s, 8.0s, 8.5s,
9.0s, 9.5s, 10.0s
ドナタカ？
お話：オームの法則
電界強度中の電荷の運動以下の式で表される。
d 2 x m dx
m 2 
 eE
dt
t dt
ここでｍは電荷の質量、tは運動のライフタイム、Eは電界強度である。
電荷の位置ｘが時間ｔ=0でゼロ、速度ゼロのとき電界強度によって
生じる電荷の運動は上式を解くことによって与えられる。
問上式は空気粘性抵抗下での物体の落下の式
d 2z
dz
m
について、
m 2  mg  C
C
dt
dt
t
mg  eE
とした場合に相当する。時刻tでの電荷の速度を求めよ。
お話：オームの法則
速度は
t
 
dx et E 
t
v

1  e 
dt
m 

単位面積当たりの電流は
i  env
だから電流値は、
t
 
e2nt E 
t
i  env 
1

e


m 

となる。ここで取り扱う時間ｔが電荷の運動のライフタイムτよりずっと
長い場合を考えよう。このとき、
であるから、電流と速度は、
e2nt E
i~
m
となり、時間に依存しない量となる。
お話：オームの法則
2
よって面積Ｓを通過する電流Ｉは I  S e nt E
m
であり、電界強度が一定なら、距離Ｌで電位降下はＶ＝ＥＬ
となるから、
S e 2nt
I
V
L m
電流は電圧に比例する。
これがオームの法則である。
e2nt
係数  
を物質の電気伝導率という。
m
1
m
r


係数
を物質の電気抵抗率という。
2
 e nt
抵抗は R  L r  L 2m
である。
S
S e nt
お話：オームの法則
Ｓ：結局電子の速さはいくらだろう？
レールガンより速いのかな？
Ｎ：先生の解説によると、固体中の電子の速さは
et E
v
m です。Eは電界強度です。
Ｓ：電界強度は電位Vを長さLで割ったものだ。
Ｎさんのスマホに使われているシリコントランジスタ
の長さLはいくらですか？
Ｎ：・・・・・・・・・・
確か、本によると、約50nmです。
Ｓ：え、小さいね。電位は？
Ｎ：・・・・・・・・・・
確か、本によると、0.5Vです。
Ｓ：ならば電界強度は、1.0x107 V/mになります。
大きいな。
お話：オームの法則
Ｎ：シリコンのτとmはいくらなんですか？
Ｓ：大学で、 τ~1x10-13 s, m~3x10-31 kg
と教わった。
Ｎ：え、小さすぎませんか？
Ｓ：でも教わった。信じましょう。
Ｎ：じゃ、信じましょう。英語で
et E 1.6  1019  1  1013  1  107
5
v
~
~
5.3

10
m/s
31
m
3  10
Ｓ：530 km/s!!凄い、レールガンよりスマホの電子の方が速い！
スマホの電子は東京～大阪間1秒程度で行く速さで仕事をして
るんですね。電子はいい子です。
Ｎ：私はいい子です。
４．３束縛運動
滋野君が１m/sで地表を歩いている。
滋野君の質量は59 kgである。
地球の質量は5.9x1024 kgである。
作用反作用ルールに基づけば、
地球は滋野君と反対方向に運動量があるはずである。
なぜそう感じないのだろうか？
滋野君との作用反作用によって
地球はどのくらいの速さで動くだろうか？
シゲノ
電気電子工学科物理学及び演習中間テス
ト2005年7月1日(金)
時刻ゼロで質量mの物体を初速v0で傾角αの斜面上り
向きに打ち出した場合を考える。斜面と物体の動摩擦
係数をμとする。斜面に沿ってｘ座標をとる。時刻ゼロの
物体の位置を0とする。物体は斜面を移動して停止し、
その後斜面を下り始める。以下の①－⑩の欄の問をm,
g,（重力加速度）, v0,α,μのうち適当な記号を用いて答え
よ。
電気電子工学科物理学及び演習中間テス
ト2005年7月1日(金)
物体が斜面を上るときの摩擦の力は(①)と書けるので、ｘ方
向の運動の式は(②)となり、これを用いて時刻tにおける速
度は(③)と書ける。物体が位置0から斜面を上り停止するま
でに要した時間は(④)となる。そして物体が停止するまでに
移動した距離は(⑤)である。さらに物体が斜面を下るときの、
摩擦の力は(⑥)となるので、物体が斜面を下るときのｘ方向
の運動の式は(⑦)となる。物体が斜面を上って下り、再び位
置0の地点に戻ってくるまでに重力のする仕事(⑧)であり、
摩擦力のする仕事は(⑨)である。
よって位置エネルギーの基準点を
位置0に取ったとき、物体が位置0
にもどってきたときの力学的エネル
ギーは(⑩)となる。
電気電子工学科物理学及び演習中間テス
ト2005年7月1日(金)
４．３束縛運動
時刻ゼロで初速v0で斜面上がり向き
に物体を打ち出した場合を考える。
斜面に沿って座標をとる。
１）摩擦が無い場合
θ
運動の式は、
d 2x
m 2  mg sin 
dt
v
g
（１）
F  mg sin  を与えるポテンシャルエネルギーがある
だろうか？
Yes,なぜなら（１）式は運動の向きによって変わらない。
ポテンシャルエネルギーは U ( r )  mg sin  x  C （２）
である。
４．３束縛運動
時刻ｔでの位置と速度は
1
x (t )   g sin  t 2  v0t
2
v  t    g sin  t  v0
v
θ
（３）
時刻ｔのときの運動エネルギーEは、
1
1
2
2
E  t   mv  t   m  v0  g sin  t 
2
2
g
４．３束縛運動
時刻ｔのときのポテンシャルエネルギーUは、
 1

U  mg sin    g sin  t 2  v0t   C
 2

1
  mg 2 sin 2  t 2  mg sin  v0t  C
2
1
2
  m  g sin  t  v0   C  v0 2
2
m 2
E  U  C  v0
2
よって、
運動エネルギーEとポテンシャルエネルギーUの和はい
つも一定。
４．３束縛運動
v
（２）摩擦がある場合、動摩擦係数
をμとすると、運動の式は、
d 2x
m 2    N  mg sin 
dt
 mg sin    cos 
θ
この場合ポテンシャルエネルギーは
U (r)  mg   cos  sin   x  C
と書くことができるだろうか？
g
４．３束縛運動
v
それはできない。
x地点の下りの運動の式は、
d 2x
m 2  mg  sin    cos  
dt
θ
g
同じ地点で、上りと下りの運動の方向によってかかる
力が違う場合はポテンシャルエネルギーを定めること
ができない。
４．３束縛運動
以下の問題を考えてみよう。
x
v
0
v
0
時刻ゼロで、位置ｘ＝０であり、
初速v0で斜面上向きに物体を
打ち出す。
θ
g
x＝x0で物体が停止した瞬間に
物体に打撃を加えて物体の速度をv0として斜面を下らせる。
時刻t、場所xに物体がいるときの諸特性は以下のとおり。
運動の式
上り
d 2x
m 2  mg  sin    cos  
dt
（１）
下り
d 2x
m 2  mg  sin    cos  
dt
（２）
４．３束縛運動
速度
上り
下り
ただし、
v   g sin    cos  t  v0
v   g sin    cos  t  T   v0
v0
T
g  sin    cos  
（３）
（４）
（５）
位置
1
2
x


g
sin



cos

t
 v0t


（６）
上り
2
1
2
下り x   g  sin    cos   t  T   v0  t  T   x0（７）
2
2
（８）
v
ただし、
0
x0 
2 g  sin    cos  
４．３束縛運動
x
斜面下り運動の停止条件を
考えてみよう。
速度は
ただし、
v0
θ
g
v   g sin    cos  t  T   v0
v0
T
g  sin    cos  
（４）
（５）
1
2
位置は x   2 g  sin    cos   t  T   v0  t  T   x0 （７）
2
v
0
ただし、
（８）
x0 
2 g  sin    cos  
４．３束縛運動
止まるには速度がゼロになる必要がある。止まる時間は
v0
t
T
 g  sin    cos 
だから、条件は sin    cos   0
sin    cos   0
それでは、
のときの意味は何か？
速度と時間との関係をグラフに描く
と右図のようになる。
赤が停止条件
sin    cos   0
青は止まらない条件
sin    cos   0
  tan 
v
sin    cos   0
O
v0
T
t
sin    cos   0
４．３束縛運動
・止まる条件の場合、赤の線に示すように時間Tから速
度は徐々に小さくなり、ついにゼロになる。
・止まらない条件では、速度は時間とともにかえって速く
なる。青の破線に示すように、
v
静止した物体が時刻
v0
v0
t

 g  sin    cos   g  sin    cos 
2v0  cos 

g   2 cos2   sin 2  
から等加速度運動を行うように見える。
sin    cos   0
O
v0
T
t
sin    cos   0
４．３束縛運動
振り子の運動はおなじみである。
でも単純ではない。
円弧接線方向の力成分は
F  mg sin 
線運動量は
θ
d
p  ml
dt
dp
d 2
運動の式は、
 ml
 mg sin 
2
dt
dt
d 2
g
  sin 
2
dt
l

g
l
とおく。
l
mg
４．３束縛運動
d 2
2



sin 
2
dt
d
を両辺に掛けて積分しよう。フジイ！
dt
1  d 
2


cos   C


2  dt 
2
θ
l
最下点θ=0の角速度をω0とおくと
1 2
C  0   2
2
2
 d 
2
2

2

cos


1




0


dt


mg
４．３束縛運動
d 2
2



sin 
2
dt
d d 2
d
2
  sin 
2
dt dt
dt
=
=
1  d 
2


cos   C


2  dt 
2
d
を両辺に掛け
dt
て
dt で積分しよう。
４．３束縛運動
d

dt
2 2  cos   1  02
もし、最下点から見て高さHから振られた
とすると、
l0 
2 gH
H
0   2
l
d

dt
θ
l
エネルギー保存則
H
2 cos   1 
l
mg
微分方程式は振り子の運動が高さＨに依存することを示
している。しかし式解くのは難しい・・・・・・
４．３束縛運動
l
H 
2
から振り子を振り出すとしよう。

初期角度は  0  3
d
1
 2 cos     2 cos   1
dt
θ
l
2
さらにg=9.8, l=1としよう。有効桁2桁まで取ると、

g
~ 3.13
l
d
 3.13 2 cos   1
dt
mg
４．３束縛運動

初期角度  0  からの変化を差分的に
3
数値計算しよう。
  3.13 2 cos   1t

i  i 1    3.13 2 cos i 1  1t
θ
l

mg
４．３束縛運動
l
計算結果：H 
, g=9.8, l=1のとき、
2

g
0 

~ 3.13
であり、
3
l
θの時間変化は、
θ
l
mg
４．３束縛運動
１周期は2.16 sである。
d 2
これを、θ<<小
2
~



2
の場合の解
dt
   0 cos t 

3
cos 3.13t と比べてみよう。（破線）
θ
l
mg
４．３束縛運動
2
d
数値計算の結果、    2 sin 
dt 2
の運動の周期は、H=0.5, g=9.8, l=1
のとき、2.16 sだった。
θ
これに対し、θ<<小の近似解、
d 2
2
~



2
l
dt
mg
の場合の運動の周期は、2.01 sである。
なぜθ<<小の近似解の方が周期が短いのだろう？
シゲノ
４．３単振動
Ｐ７６[10] θ～０のときの振り子の角振動数は  
f  h  p g q i r 
g
l
の関数の微分は
f  h  p  g  q  i  r   h  p  g  q  i  r   h  p  g  q  i  r 
であり、
f h  p  g  q  i  r 



f
h  p
g q
i r 
dh  p 
p
ここで、 h  p  
dp
である。
４．３単振動
θ～０のときの振り子の角振動数は
 g



1
2

g
l
1
l
1
1 1
  
g
2l
g 
g
1
l
1 1
  
g 
2  gl

1
2
1
l2
g l 

l l 
1  g l 
l  
 
2 g
l 
４．３単振動
再び。Ｘ-Ｙ平面において半径ｒを一定角速度ωで回転し
ている質量ｍの物体を考えよう。
Ｙ
位置ベクトルは
r   r cos t , r sin t 
であるから、

m
運動量ベクトルは
θ
p   mr sin t, mr cos t 
力ベクトルは
F    mr 2 cos t , mr 2 sin t 
運動エネルギーは
1
mr 2 2
E
p p 
2m
2
Ｘ
４．３単振動
・物体には F   mr 2 cos t , mr 2 sin t 
の中心向きの力が常に働いている。大きさは
F  mr 2
である。
・力によって運動の向きは刻々と変わる。
よって運動量は時間によって変化する。
p   mr sin t, mr cos t 
・しかし物体の速さは変わらない。
運動量の大きさも変わらない。
・よって運動エネルギーは時間一定である。
v  r
p  mr
mr 2 2

2
４．３単振動
円運動のX成分だけ取り出してみよう。
x  r cos t
Ｙ
p x  mr sin t

m
Fx  mr 2 cos t
θ
Fx  m x
2
Fx   kx
Ｘ
k  m 2
即ち等角速度円運動のひとつの成分は、単振動の運動をする。
周期は
2
m
T
 2

k
角振動数は  
k
m
４．３単振動
d 2x
運動方程式は、 m 2  kx
dt
で、このような形の方程式の解は
x  a cos(t   ),  
k
m
の形になる。このような形の一つの角振動数の三角関数
で表されるような運動を、単振動(調和振動)という。
例えば、右図のような、ばね定数ｋ、質量ｍ
のおもりがついたばねの運動は単振動周期
m
k
運動である。
単振動は、半径aの円周上を定角速度ωで回転する点の
正射影と同じ運動である。
４．３単振動
変位に比例する力が働く質量mの物体の運動方程式を
d 2x
m 2  kx
dt
と書く。   k / m
(1)
とする時、
(ⅰ) x  A cos t   
(ⅱ) x  A sin t   
(ⅲ) x  B sin t  B cos t
は、いずれも式（１）の解である.
４．３単振動
問変位に比例する引力が働くとき、質量mの物体の
運動方程式は
2
d x
m 2  kx
dt
(1)
で表される。   k / m
とする時、
次の初期条件が与えられた時の解を
x  A cos t   
の形に書いてみよ。
(ⅰ)t=0でx=a,v=0
(ⅱ)t=0でx=0,v=v0
(ⅲ)t=0でx=a,v=v0ただし、a,v0>0
ノムラ
４．３単振動
問変位に比例する力と一定の力を受けて運動する質量
mの質点の運動方程式は
d 2x
m 2  kx  F
dt
である。この方程式の解を求めよ。
初期条件がt=0でx=0,v=v0である場合の解を求めよ。
ノデ
５．いろいろな運動
５．１空気抵抗のもとでの放物体の運動
５．２減衰振動
５．3 強制振動
５．２減衰振動
粘性抵抗下のバネの運動を考える。
・変位に比例した復元力がある。
・速度に比例した抵抗がある。
予想
抵抗が小さければバネは振動を続ける。
しかし抵抗はゼロではないから少しずつ衰える。
遂には止まってしまう。振動数は抵抗が無い場合より
小さく、周期は長いだろう。－振動をしながら衰える運
動
抵抗が非常に大きければバネは自然長位置を越えて
向こう側に行くことができないまま衰え、遂には止まって
しまう。－振動せず衰える運動
５．２減衰振動
バネを引っ張り、時刻ゼロで手を離した
場合を考えよう。
バネ常数k, 粘性抵抗係数α、
自然長の位置をゼロとする、
時刻ゼロではバネの速度は当然ゼロ。
k
m
これまでの勉強によって、運動の式は式のように書ける。
2
d x
dx
m 2  kx  
dt
dt
５．２減衰振動
運動の式
d 2x
dx
m 2  kx  
dt
dt
整理
d 2x
k
 dx
 x
2
dt
m
m dt
解を仮定する
x  et
特性式

k
   0
m
m
2

解の条件
k
  

 
 
2m
 2m  m
2
５．２減衰振動

k
  

 
 
2m
 2m  m
解の条件
一般解
xe


2m
t
k
  

  0
 2m  m
2

 Ae


2
   k

  t
 2m  m
2
   k
 
  t
 2m  m
2
 Be




を境に運動の形態が大きく変わる。
抵抗のないときの固有角振動数


抵抗因子
2m
k
0 
m
５．２減衰振動
一般解
xe
① 0  
t
 Ae
 2 02 t
 Be

2
2





のとき、
0
x  e   t  Aeit  Be  it 
実数条件
  2 02 t
xe
t
 Ae
it
 A*e
 it

 e   t   A  A * cos t  i  A  A * sin t 
e
t
 p cos t  q sin t 
５．２減衰振動
教科書の通りになる。
Ｘ＝０の時刻t0は、
x  ae  t cos t   
t0   

2
 n
Ｘ＝０で見た振動の周期は
T
2


2
 
2
0
予想通り抵抗が無いときより周期は長くなる。
振幅が減衰しながら振動する運動。
2
５．２減衰振動
速度は？ dx
dt
 ae
t
  cos t      sin t    
時刻ゼロで速度はゼロだから

tan    

加速度は？
d 2x
t

ae
dt 2

2
2




 cos t     2 sin t   

５．２減衰振動
抵抗が無いときの位置と速度の計算例
速度
位置
時間(s)
５．２減衰振動
抵抗が無いときの位置と速度の計算例
負方向復元力の正方向復元力の
ために速さ増大ために速さ減少
位置
速度
時間(s)
５．２減衰振動
抵抗下での位置と速度の計算例
速度
位置
時間(s)
５．２減衰振動
抵抗下での位置と速度の計算例
負方向復元力のために速さ増大するが、正方向粘性抵
抗力のために速さは位置ゼロになる前に減少に転じる。
位置
時間(s)
速度
５．２減衰振動
一般解
xe
t
 Ae
 2 02 t
②抵抗が大きくなり、  0
 Be
  2 02 t
になると、ωは小さくなる。
x  e   t  Aeit  A * e  it 
 e  p cos t  q sin t 
t
 e  p  qt 
t
x  ae   t cos t   
 cos t  cos    sin t  sin   

 ae  cos    sin   t 
 ae
t
 t

５．２減衰振動
  0 を臨界制動という。グラフの赤線の場合であ
る。βを少しずつ大きくすると、グラフのように、少しずつ
減衰振動の振幅が小さくなることが分かる。

tan    

位置
5
4
3
2
1
β=0
時間(s)
５．２減衰振動

tan    

速度
速度を見てみよう。最初はゼロである。減衰振動の場合
は負から正へと変化する。しかし、βが大きくなると速さ
は小さくなる。臨界制動でもバネは動くから速度はある
がその向きは負のままである。
5
43
2
1
β=0
時間(s)
５．２減衰振動
一般解
xe
t
 Ae
 2 02 t
③抵抗が非常に大きく 0  
xe
t

 Ae
 Ae


なら、
 2 02 t
    2 02 t
 Be
  2 02 t
 Be

 Be
  2 02 t


    2 02 t
過減衰という。二つの指数減衰関数の組み合わせで
ある。
５．２減衰振動
速度はt=0で0だから、
xe
t
 Ae
   
 A e


 2 02 t

 2 02 t

 Be
  2 02 t

    2  02
   2  02
 

e
 
 2 02 t


過減衰という。二つの指数減衰関数の組み合わせで
ある。
 2 02 t
  2 02 t
t
  0 なら x  e
Ae
 Be

 

 Ae


 2 02 t
 Ae
02

t
2
５．２減衰振動
位置
位置と速度をグラフで示した。臨界制動から、βが大きく
なるにつれて位置はゆっくり変化しゼロへと至る。よって
速さはβが大きくなるにつれて小さくなり、速さのピークは
遅くなる。
7, 9,11
20
β=5
速度
20
時間(s)
7, 9,11
β=5
５．２減衰振動
xe
 at
e

t
b
のとき、bを時定数という。t=bのとき x 
xが実効的効果的な時間範囲をbで表す。
物理や電気工学で頻繁に用いられる。
x  Ae
02

t
2  なら時定数は
e
1
である。
2

2
0
ω0=5, β=20のとき、時定数は、1.6 s
抵抗が無いとき、 ω0=5は1/4周期を0.31 sで振動運動する。
バネは大きな粘性抵抗によりゆっくり運動することになる。
５．２減衰振動のまとめ
運動の式
d 2x
dx
m 2 
 kx  0
dt
dt
k
0 
m
ｔ=0でv=0のとき、
①減衰振動


2m

tan    

x  ae
t
  02   2
cos t   
t
②臨界制動 x  ae  cos    sin   t 
③過減衰
   
x  A e



 2 02 t

    2  02
   2  02
 

e
 
 2 02 t


５．２減衰振動のまとめ
ＬＣＲ直列回路
式は
2
d I
dI I
L 2 R  0
dt
dt C
電流は抵抗下のバネのおもり位置と同じ時間変化をす
る。
0 
1
LC
R

2L

1
R2
 2
LC 4 L
５．２減衰振動のまとめ
ＬＣＲ直列回路
式は
2
d I
dI I
L 2 R  0
dt
dt C
臨界制動条件：
L
R2
C
L
R2
C

1
R2
 2 0
LC 4 L
L
R2
C
なら減衰振動的に電流が流れる。
なら過減衰的に電流が流れる。
x  Ae
02

t
2
５．２減衰振動のまとめ
問
L=1 mH, C=1 μF
R=10Ωのとき

1
R2
 2
LC 4 L
3.12E+04
を有効桁2桁で求めよ。フジイ
問
2

2
0
 RC となり有名なＲＣ時定数である。
L=1 mH, C=1 μF、R=10KΩのとき
2

2
0
シゲノ
 RC を求めよ
５．3 強制振動
強制的に周期的力を加えて振動を
励起する場合を考えよう。
運動の式は
2
d x
dx
m 2 
 kx  mf 0 cos t
dt
dt
d 2x
dx
2

2



0 x  f 0 cos t
2
dt
dt
F
k
m
５．3 強制振動
F
d 2x
dx
2

2



0 x  f 0 cos t
2
dt
dt
k
定常解
x
f0

2
0

   2  
2 2
2 
tan   2
0   2
2
cos  t   
m
５．3 強制振動
x
f0

2
0

   2  
2 2
2 
tan   2
2
0  
2
F
cos  t   
k
m
固有振動数ω0を持っていても必ず外力の振動数にな
らって振動する。大変不思議だ。
しかし、よく見ると振幅は外力の振動数が固有振動数
に一致した時に大きくなる。共振という。
さらに抵抗βが小さいほど共振現象は顕著になる。
５．3 強制振動
x
f0

2
0

   2  
2 2
2
cos  t   
f0

04
 
1   
  0 

2
2
  2   2
 
  0 0 

f0

04
 
1   
  0 

2
2
2

1 
  2 
 Q  0 

cos  t   
F
k
m
cos  t   
抵抗βが小さいほど共振現象は顕著になる。
Q値を用いるとＱが大きいほど共振現象は顕著になる。
５．3 強制振動
0
Q
2
Ｖ
ＬＣＲ回路の場合、
R
1

0 
2L
LC
だったから、
～
0 1 L
Q

2 R C
Ｒが小さいと共振振幅が大きくなる。
５．3 強制振動
固有振動数ω0を持っていても必ず外力
の振動数にならって振動する。
しかし、振幅は外力の振動数が
固有振動数に一致した時に大きくなる。
F
k
m
問それではいろいろな振動数の外力が加わった時バネ
はどんな反応をするだろうか？
ナカムラ
x
f0

2
0

   2  
2 2
2 
tan   2
2
0  
2
cos  t   
5 連成振動
２つの質量ｍの物体がそれ常数k1,k2に繋がれて振動している。
運動を調べよう。
k2
1
2
m
K１ m
k2
Nさんの予想：１と２の運動は、以下の2つの場合に分けられるだ
ろう。即ち同位相と逆位相場合である。
5 連成振動
同位相運動は、
1
k2 m
2
k1 m
k2
逆位相運動は、
1
2
m k2
k1
同位相で動く時k1には力が働かないから、角振動数２ｍの球が２ｋ2
のばねに繋がって動いている場合と同じである。だから変位x1, x2は
k2 m
2k 2
k2
x1  x2  a cos(t   ),  
=　2m
m
5 連成振動
逆位相運動は、
2
1
k2 m
k1
m k2
m
k1の相対運動が加わる。換算質量は K 
2
2 k1
1 
m
だから、
k  2k1
加速度及び力の加算性を使うと、逆位相角振動数は  
m
だろう。よって、
k  2k1
x1   x2  b cos(t   ),  
m
5 連成振動
Nさんの答え：
 k2 
 k 2  2 k1 
x1  a cos 
t   b cos 
t　m
 m 


 k2 
 k 2  2 k1 
x2  a cos 
t   b cos 
t　m
 m 


5 連成振動
Ｎ君：私は真面目に計算します。物体１と２の運動の式はそれぞ
れの変位をx1,x2とすると、
x1
x2
2
d x1
2
1
m 2  k 2 x1  k1  x1  x2 
dt
d 2 x2
k2 m K１ m
k2
m 2  k 2 x2  k1  x1  x2 
dt
となる。上式は X= x1+x2, Y= x1-x2 とおいて解くように教わっ
た。
d2X
m 2  k 2 X
dt
d 2Y
m 2    k 2  2k1 Y
dt
5 連成振動
X及びYは振動数、

k2
m
と   k 2  2k1
m
で振動する単振動である。
X  X 0 cos
とおけば、
x1 
x2 
k2
t
m
Y  Y0 cos
k 2  2k1
t
m
X  Y X0
k 2 Y0
k 2  2k1

cos
t  cos
t
2
2
m
2
m
X Y X0
k 2 Y0
k 2  2k1

cos
t  cos
t
2
2
m
2
m
ふたつのバネを新たなバネでつなぐことにより、2つの異なる振
動が生じた。不思議！

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