P - 東京農工大学

工学系12大学大学院単位互換 e-Learning科目 2005年度
磁気光学入門第6回
－磁気光学効果の電子論(1):古典電子論－
佐藤勝昭
東京農工大学副学長
(大学院工学府兼務)
復習コーナー
磁気光学Kerr効果

1.
2.
反射の磁気光学効果を磁気光学カー効果
(MOKE)という
通常の反射の法則を導く：電界に対する反
射率＝複素振幅反射率(Fresnel係数)
右回り円偏光に対するFresnel係数と左回
り円偏光に対するFresnel係数の差を考え
る。位相の差からKerr回転が振幅の差から
Kerr 楕円率が導かれる。
復習コーナー
斜め入射の場合の反射

反射は界面における電
磁波の伝搬の境界条件
により決められる。
Kのx成分の連続性
K0sin0=K1sin1＝K2sin 2
これよりSnellの法則が導かれる。
1 
法線
n02
E1p
K0
E0p
0
 0 1
sin  2 K 0
1 Nˆ 1



sin  0 K 2
 2 Nˆ 2
K１
Ｘ
１
Ｙ
２
 2  n  i 2
Ｚ
E2p
K２
復習コーナー
複素振幅反射率(Fresnel係数)
P偏光の反射
E1P K 2 cos 0  K 0 cos 2
rp  P 
K 2 cos 0  K 0 cos 2
E0

S偏光の反射
K 22 cos 0  K 02 K 22  K 02 sin 2  0
K 22 cos 0  K 02 K 22  K 02 sin 2  0

tan 0   2 
tan 0   2 
E1S K 0 cos 0  K 2 cos 2
rs  S 
K 0 cos 0  K 2 cos 2
E0
sin  0   2 


sin  0   2 
K 0 cos 0  K 22  K 02 sin 2  0
K 0 cos 0  K 22  K 02 sin 2  0
ここに、ｒp＝|ｒp|ｅiδp、ｒs＝|ｒs|ｅiδsである。
復習コーナー
エリプソメトリ(偏光解析）
rs
cos( 0  2 ) rs


exp( i )  tan  exp( i )
rp
cos( 0  2 ) rp



 azimuth (方位角)
 phase (位相差)
反射は方位角と位相差=p-sによって記述できる。反射光
は一般には楕円偏光になっているが、そのｐ成分とｓ成分の逆
正接角と位相差を測定すればrが求められる。（測定には
1/4波長板と回転検光子を用いる。）この方法を偏光解析また
はエリプソメトリという。
復習コーナー
P偏光反射率とS偏光反射率

第１の媒体が真空、第２の媒体の複素屈折率が N̂
の場合
Rp 
Rs 
Nˆ 2 cos 0  Nˆ 2  sin 2  0
2
2
2
ˆ
ˆ
N cos 0  N  sin  0
2
2
ˆ
cos 0  N  sin  0
cos 0  Nˆ 2  sin 2  0
2
2
復習コーナー
入射角に依存する反射率

Ｐ偏光とS偏光で
は反射率の入射
角依存性が異な
る。
復習コーナー
垂直入射の光強度反射率と位相

R＝r*r=|r|2は光強度の反射率、は反射の際の
位相のずれ
R
(1  n) 2   2
(1  n)  
 2
1
  tan
n 2   2  12
2
2
n

1 R
1  R  2 R cos
2 R sin 
1  R  2 R cos
復習コーナー
反射率と位相

Kramers-Kronig(クラマースクローニヒ）の関係
  ln R( )

 ( )  P  2
d

 0    2
復習コーナー
Kerr効果
K  
 
2


2
r  r
1 r 1 R
K 


r  r
2 r
4 R

磁気カー回転角Kと磁気カー楕円率Kをひと
まとめにした複素カー回転K

r
rˆ
1  rˆ 
 K   K  i K  
i
 i
 i ln  
2
2r
2rˆ
2  rˆ 
復習コーナー
複素カー回転
K 

 xy
1   xx 
 xx
この式から，カー効果が誘電率の非対角成分
xyに依存するばかりでなく，分母に来る対角成
分x xにも依存することがわかる．
磁気光学効果の電子論
今回：古典電子論（光と磁気第４章4.1、4.2）
 電子を古典的な粒子として扱い、磁場中の古典
的運動方程式を解いて電子の変位を求め、分
極や誘電率を計算します。


次回：量子論
誘電率と電気分極

物質中の電束密度はDは、真空中での電束密度0Eに
物質の電気分極Pがもたらす電束密度を付け加えたも
のとなっています。
D  ~ 0 E   0 E  P

(4.1)
一般に、電気分極Pは印加電圧に依存し、電気感
受率テンソルを用いて、次式のように表せます。
~
P   0 E
比誘電率テンソルは
成分で書くと
~
~
  1 
 ij   ij   ij
(4.2)
(4.3)
(4.4)
電気分極は、電気双極子の総和

電気分極Pは単位体積あたりの電気双極子の総和
を表しているので、電気双極子(電荷q、距離u）密
度をNとすると、Pは次式であらわされます。
P  Nqu

(4.5)
したがって、電界Eを加えたときの電荷対の相対変
位uを見積もることができれば、電気感受率、ひい
ては、比誘電率を求めることができます。
電界・磁界のもとにおける荷電粒子の運動

古典力学の運動方程式を考えます。
荷電粒子の電荷 q [C], 質量 m [kg]
 荷電粒子の変位 u=(x, y, z) [m]
 慣性力 md2u/dt2
 摩擦力 mdu/dt
 Lorentz力 q(E+vB)=q(E+du/dtB)

B
運動方程式の振動解
運動方程式
d 2u
du
du


2
m 2  m
 m0 u  q E 
 B
dt
dt
dt


(4.6)
B  (0,0, B ) （磁界はｚ方向を向いているとします。）
E  E 0 exp  i t 
u  u0 exp( it ) （振動解を仮定します。）
 m 2u  imu  m02u  qE  iu  B


(4.7)
m  2  i   02 x  iqBy  qEx


 iqBx  m  2  i  02 y   qE y


m  2  i   02 z  qE z
という連立方程式が得られます。
(4.8)
変位uを求める

連立方程式を解いて、変位u=(x, y, z)を求めます。
q
 2  i  02
q
i c
x
Ex

Ey
2
2
m  2  i   2   2 2
m  2  i   2   2 2
0
c
0
c




q
i c
q
 2  i  02
y
Ex 
Ey
2
2
m  2  i   2   2 2
m  2  i   2   2 2
0
c
0
c


q
1
z
Ez
2
2
m   i  0


電気分極Pを求める

P=nquにより分極Pを求めます。
nq 2
 2  i   02
nq 2
i c
Px  
E

x
m  2  i   2 2   2 2
m  2  i   2
0
c
0
  
nq 2
i c
Py  
m  2  i   2
0





2
2 2
c
Ey
nq 2
 2  i   02
Ex 
Ey
2
2
m  2  i   2   2 2
  2 c2
0
c

nq 2
1
Pz  
Ez
2
2
m   i   0

ここに  c  qB m はサイクロトロン
角振動数です。
電気感受率を求める

P=0Eにより電気感受率を求めます。


Py   0   xy E x   xx E y 
Px   0  xx Ex   xy E y
 c  qB m
Pz   0  zz E z
nq 2
 2  i   02
 xx    

m 0  2  i   2 2   2 2
0
c


nq 2
i c
 xy   

m 0  2  i   2 2   2 2
0
c


nq 2
1
 zz    
 2
m 0   i   02
より、非対角成分は磁
界に比例することがわ
かります。
(4.9)
が得られます。
誘電率に変換する

ij=ij+ijを用いて、誘電率テンソルに変換します。
nq 2
 2  i   02
 xx    1 

m 0  2  i   2 2   2 2
0
c


nq 2
i c
 xy   

m 0  2  i   2 2   2 2
0
c


nq 2
1
 zz    1 
 2
m 0   i   02
 c  qB m
(4.10)
伝導率テンソルであらわすと

(4.10)式をσで書き直すと
 2  i  02
nq 2
 xx    i

m  2  i  02 2   2c 2


 2c
nq 2
 xy    

m 0  2  i  02 2   2c 2

nq 2
1
 zz    i
 2
m 0   i  02

(4.11)
磁界ゼロの場合：ローレンツの式

B=0なのでc=0を代入するとLorentzの分散式が得られます。
nq 2
1
 xx     zz    1 
 2
m 0   i   02
 xy    0
(4.12)
 2   02
nq 2
 xx ( )  1 

m 0 ( 2   02 ) 2   2 2
nq 2



 xx ( ) 

m 0 ( 2   02 ) 2   2 2
(4.13)
磁界がなく，束縛項もない場合：
ドルーデの式

c=0, 0=0とおくとDrudeの式が得られます。
nq 2
1
 xx     zz    1 

m 0  (  i )
 xy    0
(4.14)
nq 2
1

 xx ( )  1 

m 0  2   2
 ( ) 
 xx
nq


m 0  ( 2   2 )
2
p’=
(4.15)
=p’のとき実数部はゼロを横切ります。
0のとき虚数部は発散します。
負の誘電率
プラズマ振動数

Drudeの式で、ダンピング項を0としたとき、εの実数部が0とな
る振動数を自由電子プラズマ振動数pとよび下の式で求めら
れます。
nq 2 1
 xx ( )  1 
 2 0
m 0  p
p 
nq 2
m
ダンピングのある場合のDrudeの式をpを使って書き直すと
 xx ( )  1 
 ( ) 
 xx
 2p
2   2
 p   2p   2
 2p
においてゼロを横切ります
 ( 2   2 )
磁界がかかっており束縛項がない場合：
マグネトプラズマ共鳴

0=0，=0を代入しますと
2=p2+c2で
ゼロを横切る
p
nq 2
1
 xx    1 

1 2
m 0  2   c 2
  c 2
2
 pc
nq 2
 i c
 xy   

 i
m 0   2   c 2
  2  c 2



p
nq 2 1
 zz    1 
1 2
m 0  2

2
= cで発散
2
マグネトプラズマ共鳴

マグネトプラズマ共鳴の伝導率表現
ij=-i0(ij-ij)によりに変換すると
 xx    i 0  zz  1 
 xy    i 0 xy 
i 2p 0
 2  c 2
 2pc
 2  c
 zz    i 0  zz  1 

2 0
i 2p 0

(4.17)
ホール効果(による記述)

DCにおいては、→0とすることにより、次式を得ます。xyはx方向に電流
が流れたときy方向に電圧が生じることを表していますから、まさにホール
効果を記述するものとなっています。
nq 2

q
2
2
0
 xx 0 
 2
 nq
 nq 2

2
2
2
2
m c  
m c  
(c /  ) 2  1
c  
nq 2

q
c
c / 
 xy 0  
 2 c 2  nq



0
m c  
m c 2   2
(c /  ) 2  1
 zz 0 
(4.18)
nq 2 1
q
  nq
 nq   0
m 
m
ここに0は直流伝導率です。抵抗率テンソルに変換すると次式になります。
 xx   zz 
 xy  RH B
1
0
(4.19)
0 
1 /  0  RH B


ˆ   RH B 1 /  0
0 
 0
0
1 /  0 

磁界がかかっていて，束縛がなく，
散乱のない場合
 xx    1 
 xy    i
 2p
  c
2

2
 2p c
  2  c 2
 zz    1 
 2p
2
N  2   xx  i xy  1 



 2p
2
  c2

   c   1 
 2p
    c 
(4. 21)
課題
1.
2.
3.
式(4.7)から式（4.9)が導かれることを確かめ
てください。
ローレンツの式(4.12)においてεの虚数部が
ピークを示す角周波数を求めてください。
ドルーデの式(4.14)においてがゼロのときの
ωp以下の角周波数における垂直入射反射率
を求めてください。

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