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Rossby 波動が関係する成層圏平均東西風の変動例
第５章：Rossby 波動について
冬季
東西平均の温度の時間変化（突然
昇温と呼ばれるー＞１０章）
東風
西風
西風
東風
１９７９年２月２６日の東西平均風
北半球冬
１月の平均東西風
この現象に中高緯度の惑星波動（planetary波）が重
要、β効果から引き起こされるその線形波動の振る
舞いや性質について述べておこう。
中・高緯度帯の大規模運動についての１つの近似方程式を記述しておく。その式を適用した、成層圏にとって重要な鉛
直伝播の話し。さらに、全球にひろがるRossby 波の自由振動、などを述べる。
５—１：準地衡風方程式について
いま中・高緯度を見るので sin
- 線形的にRossby波を取り出すための準備 -

をある緯度のまわりに展開（赤道
beta 平面近似と同じやり方）
2sin   2sin  0  2 (
(1)

2 cos  0
sin  ) 0   2 sin  0 
a

a
2sin   f  y
これを以下のように表す (2)

第２項の大きさは1000kmのスケールでは 10(-11)x10(6)m=10(-5)

惑星スケールの擾乱について、中・高緯度においては地衡風近似が観測的に成り立つ
から第０近似の式として
(3)
 f v g 


x
(4)
f ug  


y
これは定常の式である —＞時間発展的にはどうなるか？ということで、次の


orderまで進む
大規模な運動についての鉛直移流の項については w が小さいとしてその項を落とす。すると第１次近似として次の式に
なる。ここで時間微分、移流項およびβ - 項の u, v については地衡風とし、f 項には次のorderの量をいれる
(5)




ug  ug
ug  v g
ug  f v1  y v g  

t
x
y
x 1
(6)




v g  ug
vg  vg
v g  f u1  y ug  

t
x
y
y 1

１の添え字は第１次近似（地衡風からのずれ、この項があると地衡風が少しずつ運動する）の量。次に運動が水平的な
のでそれを表すものとして渦度の鉛直成分の方程式を導く。渦度の鉛直成分（地衡風成分のみ）は
 
(7)


vg 
u
x
y g
(6)のｘ-微分から(5)のｙ-部分を引く。地衡風の水平発散はゼロ（(3), (4) から）であることを考慮すれば、

(8)





  ug
  vg
  f ( u1 
v )  v g  0
t
x
y
x
y 1
ここで渦度に地衡風近似を使えば（ (3) , (4) ）
(9) 
 
1
 2
f
第０近似では水平速度は地衡風で非発散であった。１次のオーダーの u1 , v1 に対応した連続の式は

(10)



(  u1 ) 
(  v1 ) 
( w0 )  0
x
y
z
である。ここでw にはゼロの添え字をつけた。それを考慮すると(8)の準（完全には地衡風の定常状態ではなく時間変化す

るのでこの様な名前がついたのだろう）地衡風の渦度方程式は
(11)




w
  ug
  vg
  f ( w0  0 )   v g  0
t
x
y
z
H
ここで密度（圧力）は H のスケール・ハイトで変化している。

次に準地衡風方程式での熱力学の方程式は以下のようにする。
 
 
 
  ug
  vg
  N 2w0  0
t z
x z
y z
(12)
ここで温度の水平移流の速度の所に地衡風を用いた。(12)が準地衡風近似の熱力学の方程式である。(11)と(12)を一つ
にまとめると準地衡風近似におけるPotential
Vorticity 方程式が得られる。

(13)
(


 1 2
f   
 ug
 vg
)(   
(
))   v g  0
t
x
y f
 z N 2 z
(14)
(



f2 
 

 ug
 vg
)( 2 
( 2
))  
0
t
x
y
 z N z
x

この様に、準地衡風近似の方程式は１つの変数のみの時間発展の式で表される。また(3)と(4)から流線関数を導入する。

vg 
(15)


x
,
ug  


y
β はコリオリ項の南北微分からでたことを思い出すと(14)はさらに

(16)
q   2  f  y 
f2   
(
)
 z N 2 z
とすると（準地衡風近似でのポテンシャル・渦度）

(17)
(



 ug
 vg
)q  0
t
x
y
Rossbyモードの保存的な時間発展の式になる

この方程式を用いて、５章では惑星波動の鉛直・南北の伝播性を、７章では中層大気の傾圧不安定や順圧不安定の問
題に適用してみよう。
５−２：惑星波（Planetary wave）の鉛直伝播
成層圏大規模擾乱の冬と夏の違い
中・高緯度中層大気の大規模な渦の
様子に目を向けよう。図は１０ｍｂの
水平断面図（等圧面高度）を示す。地
球規模の波動的擾乱（惑星波、
Planetary wave 又はロスビー波、
Rossby wave ）をみることが出来る。
下に対流圏高低気圧の図をのせてい
る。それに比べこの図では水平ス
ケールが大きいことにきずかれるで
あろう。なぜ？これが惑星波の鉛直
伝播の問題である。
高
低
右に夏の場を示しておこ
う、ほとんど丸い！
図：７月平均の１０ｍｂの
温度分布ー＞
500mb, 1964 Nov 20の高度場
図：１９７９年
１月２６日の１
０ｍｂの
Height図。
惑星波動（Planetary wave）鉛直伝播の１つの見方
冬の成層圏では東西方向に一様ではない渦がみられ、一方夏には東西方向
にほとんど一様な風のみしかないことをみた。成層圏平均東西風の緯度−高度
断面図では、冬と夏では東西風の向きが異なる。すなわち夏では東風、冬では
西風である。この冬と夏の、東西方向に一様でない大規模擾乱の振舞いの違
いについては、CharneyとDrazinによってはじめて理論的に示された(JGR,
1961)。
西風
東風
話しは線形の議論である。基本流として”一定”の東西風のみが吹いていると仮定する。もし東西風が高さの関数であ
れば、解析的には特別の場合を除き解けない（高さの１次関数のときは合流型の超幾何関数で表される）。一般には東西
風は高さ及び南北方向にも変化している。そのときには球面の効果をきちんと考慮した準地衡風の方程式が必要であろ
う。この問題についてはMatusno(1970) を参照 −＞あとで
ということで、理解しやすいのでまず最も簡単な話しをする。一定の東西風 u0 が吹いているときの線形の準地衡風の方
程式は以下のよう、またよくやるように、ここではN2は一定と仮定、
(18)
(


f2   

 u0 )( 2 
( 2  ))     0
t
x
 z N z
x
<-
(



f 2   0 
 ug  v g )( 2 
(
)  f  y)  0
t
x
y
0 z N 2 z
よくやるように東西、南北に波の仮定をおこない、東西に位相速度 c で動くとし、また鉛直方向には密度の効果を考慮し

て流線関数を以下の様に仮定する。
(19)
 (x, y , z, t)   (z)exp(i(kx  ly  kct)  z / 2H)
この様に仮定すると鉛直の構造を決める方程式は以下の様になる。
(20)
d 2
 m2   0
2
dz
ここで
(21)
m2 

N 2  
1
 (k 2  l 2 )
2 
2
f
u

c
4
H
 0

である。m2 が正ならば波として鉛直に伝播が可能であることを示す。m2 が負ならば鉛直

方向に指数関数の形になり伝播は不可能になる。
(21)をみてきづくことは k , l が大きいと負になることである。すなわち水平のスケールが
小さい（あまり小さくなると準−地衡風の近似が使えなくなる、１０００ｋｍくらいの水平ス
ケールまではいいよう）と鉛直方向に伝播しない。図に対流圏、中・高緯度の大規模擾乱
がのっている。対流圏の擾乱の方が明らかにスケールが小さい。この話しは数千ｋｍの擾
乱が自励的に対流圏に生成することと矛盾しない。エネルギーが逃げたら不安定になりに
くいであろうから。
周期
定常惑星波の原因（または生成）の１つとしてすぐに考えられるのは山岳による強制であ
る。そのとき位相速度はゼロである（線型で時間∞のとき、また海陸の熱の違いの時も同
様）。このとき(21)は
(22)
2
m
2
N

2
f

2
2 
1

 (k  l )



2
u
 0

4H
この式から東風のときm2 は負となり鉛直に伝播不可。これが夏の成層圏において定常
惑星波がない理由である。また上式から西風があまり強くても伝わらない。この臨界速度
をRossby critical velocityと呼ぶ。式で表すと
(23)
波数

Uc 
k
2
 l
2

2
f
1
2
2
N 4H
陰の部分が鉛直伝搬
ここで β = 1.6 x 10 -11 s-1 m-1 , Lx = 2π / k = 28000 km , Ly = 2 π / l =10000km , f = 10 -4 s-1, N = 2x10-2 ,
H = 7 km と選ぶと Uc = 28 ms-1 , となる。この数値はそれほど大きくない。これは南北のスケールを小さく選んだため
である。例えば南北巾１００００ｋｍの南北に伝播しないモード（standing mode）ならば Ucはもっと大きい。
これまでは β-平面の一定東西風での議論である。南北伝播を含め、球面上の準地衡風近似の方程式を使った議論を
みておこう（cf. Matsuno, 1970）。
球面上で一様な東西風（南北と鉛直の関数とする）があるときの線形の準地衡風方程式は（Adrews et al., 1987, Middle
Atmosphere Dynamicsから）：

u

1 q

)q'
v'  0
f  2sin 
t acos  
a 
1

1  '
f 2 cos 
f 2 a 2 ' z 
v' 
' q'  2  2 
(
' ) 
( 2 ) z 
facos  
fa cos  cos  f 2

N

(u cos  )  a f 2
q
 2cos   
  ( 2 uz ) z ': geopotentialdisturbance

 acos    N
(
有効的なβ効果
計算に使われた東西風緯度-高度図
定常な（c=0）惑星波動として（上式で時間微分をおとす）
'  e z / 2 H Re ( , z )eis
のような形を仮定する（東西方向には波形、鉛直南北
の波の構造を決めたい）
N2が一定のときは以下の式になる、
f2
cos 
f2
( 2  )  2 zz  n 2 s   0
2
a cos  f
N
q
s2
f2
2
n : 屈折率と呼ばれる
n s
 2

2
2
2
au a cos  4 N H
u=0は特異点
有効β項の分布図
振幅
位相
q

波数１
緯度
波数0に対する屈
折率の二乗
波数３
定常な惑星波動
の臨界層
n20 
q
au

f 2
s2
2

n

s
4N 2 H 2
a 2 cos 2 
観測で見積もられ、計算に使われた波に関しての下部境
界(500mb)条件、モデル下端で擾乱を強制する
水平分布の計算例（Matsuno,1970, J. Atmos. Sci.）、約30kmでの高度分布（波数＝１－３を足してある）、アリューシャン高
気圧が見える。右下は観測による高度場。200m間隔で1967年の1月の状況、下図は500hPaでの高度場偏差（これを境界
条件として与える、100m間隔）
境界条件としての500hPa高度場偏差、
60Nでの波数１成分の振幅と位相
左を強制することで、図のような線形波の
responseとしての結果
観測による、1967年1月
波数１と２の鉛直、および南北伝播性、１の方が上層ま
で伝播している。
波の振幅と位相
左の結果に対応した波数１惑星波動のエネル
ギーフラックス、上方および赤道方向に波が伝
わっていることが見える。
(v'  ',
w'  ' )

対応：
異なる
表現
準地衡風近似で、定常惑星波動の場合は、
v'  '  U u'v'

w'  '  Uf
R
v'T'
HN 2
近年は、運動量的な流れである、Eliassen-Palm
フラックスによる表現が多い、惑星波動の場合、
(u'v',
f
R
v'T' / N 2 )
H
平均東西風、左が南半球で右が北半球、上
図が１月で下図が７月
波数１、上が波の振幅(decameters)、下が波の位相。
左７月（南半球）、右が１月（北半球）
西風
振幅
西風
東風
位相
30mb以上は Nimbus 5（ Jan. 1973からDec. 1974）, 6（ Jul. 1975からJun. 1978）衛星データ
最近の衛星観測例：Garcia et al.,
JAS, 2005
赤道中間圏（西風）ま
で penetration
SABERで得られた2002 June-July（夏）
の平均温度、右の惑星波動の解析とは
季節が異なる
14K
120km
中間圏界面
0.01mb
1mb 成層圏界面
14km
1/25-2/24, 2002：定常惑星波動（波数＝１）
に伴う温度の振幅と位相
５−３：球面上の自由振動について
前節は惑星波動の強制問題（対流圏で強制した波が鉛直に伝播する問題）をあつかった。この節では自由振動の話。
ここでは、等温静止大気の振動を
地球全体を感じる自由振動ですから、地表面で鉛直流ゼロが自然な選択
等価深さ（鉛直構造）が決まる（どんな構造になるか？）
もともとの高度座標での境界条件は
w*  0
at
z*  0
d
w* 
z*  0
dt
のように書かれるであろう。
d
d
gz* 
0
dt
dt
Geopotentialで書き換えると
時間の全微分
d
は log-p 座標で線形的に（平均の風がないとする）
dt
d




w

dt
t
z


 w
 0
t
z
であろうから、

がlog-pでの下部境界条件となる。等温静止大気では
d
RT

dz
H

なので、上の式は

と書かれる。
一方、熱力学の式は log-p 座標では
だったので、２つの式から

を消すと、
w


RT
 w
0
t
H
 
(
)  N 2w  0
t z
 
(
)

RT

t

z

0
2
t
N
H
等温大気のとき
N2 
gR
であるので、上の式を変形して、
cp H
 
   t ( z )
RT
gR
t
RT / g
 0
cpH

t
となる。上式の時間微分を落とすと、



t
 
(
 )
z
1
cpH
R
 0

についての境界条件としては、

R

0
z
cpH
これが Geopotential に関する自由振動にたいする下部境界条件である

この境界条件から自由振動の鉛直方向の解は変数分離形
  (,,t)(z)
として、上の境界条件の式に対応するものとして大気の中も
( z)  exp(

R
z)
cpH
のような形をもつ。これはあきらかに外部波である（鉛直には伝播しない形）。鉛直方向の方程式は１章の赤道波と同様
に
2
1 
N2




2
z
だから、計算すると、
ここで、
gR
N 2  を用いて、
cp H
H z
gh
R 2
1 R
N2
(
) 

cp H
H cp H
gh
R
1
1


cp H
H
h
書き直すと、
h
cp
RT
H  H  
cv
g
gh 
RT
これが自由振動の等価深さである。浅水波としたときの速度
は音速に等しい。３２０m／sで等価深さとし
ての h はおおよそ１０kmとなる。スケールハイトと比較して、（比熱比）分大きくなる。 
その時の変数分離した形で地球の回転を考慮した球面上の式を書くと，

u

 2sin  v  
t
acos 
v

 2sin  u  
t
a

1
u
1

 gh(

(cos  v))  0
t
acos   acos  
h は自由振動の時の等価深さである．
この式をいつものように（球だから経度をつかう）

exp(is  2it)
のように分離すると，南北の構造を決めるLaplaceの潮汐方程式がでてくる。

これが基本的な長波（鉛直に静力学平衡を満たす波）に関する球面上の式である．
 として，
 sin 
s ( 2   2 )
  (1   2 ) 
1
s 2 
(2a) 2




0




 ( 2   2 )    2   2  ( 2   2 )
1   2 
gh

等価深さ
s=1（東西波数１）のときの、等
価深さ h（横軸）と振動数との
関係の図。
振動数
東進慣性重力波
5日
図の(a), (b)はh>0のときで、
(c),(d)はh<0を示す。左図は東
に伝わる波で右図は西に伝わ
る波である。東に伝わる波は
Kelvin波とか慣性重力波と書
いてある。西に伝わる波は惑
星波とかRossby-重力波とか
慣性重力波と書いてある。
図(b)の○印のドット入りはあ
との例にある自由振動の５日
waveに対応している（惑星波
のところ）。h=10kmに対応した
ところである。
南北に高次のRossby波に対
応しては、波の周期がゆっくり
になっている。Rossby波の分
散式で
惑星波

c 
k 2  l2 
2
f
1
(m 2 
)
2
N
4H 2
南北波数が大きくなれば、
ｃは小さくなり、周期は
ゆっくりなるであろう。
周期
⊗は１日潮汐の第１モードを示す（１３章）
５−４：現実大気中でのRossby波の自由振動
前節でみたように、自由振動は外部波の１つで、なめらか
な固体境界を満たす振動である．境界条件を考慮すると、
R
(z)  exp( の形なので、鉛直方向には指数関数
z)
的に大きくなる。 c p H
赤道対称
Hirooka(1992)：s=1, 周期=5日の成層圏 1hPa での自
由Rossby波、西に伝播している。
Maddenにより解析された周期５日の自由Rossby波、
s=1で赤道対称な基本モード（海面気圧高度場）の
水平構造、右は鉛直分布。破線は理論的な鉛直構
造、それよりゆっくり振幅が増大している。
この５日波が南極大陸で作ら
れているという話しもある、
Cheong and Kimura(1997,
JAS)：500mbで、軸が南北に
傾いている（自由振動の解で
は南北に位相軸は傾かない）。
また、Miyoshi and
Hirooka(1999, JAS）では湿潤
過程の重要性を指摘している。
衛星観測結果：5day波の全球構造
equinox seasonの5day波
平均東西風、boldは高度偏差最大
Lawrence and Randel, 1996, JGR
1977 Oct. 温度
西向き
約81kmでの温度スペクトルの緯度分布
高度の振幅と位相
位相
最近の衛星観測結果か
ら：5day wave
SABER data, 2002年
の春での5 day 赤道
対称Rossby normal
modeの温度分布
Garcia, 2005, JAS
Sonnermann et al., JGR 2008
水蒸気変動に見られる準５日波
（normal modeらしい）
マイクロ波をもちいた観測とLIMA
モデルとの比較
2003年、May/Juneの観測された水蒸気変動、
ALOMAR(69N, 16E), Norway, マイクロ波
5/1
2003
7/1
モデルの水蒸気変動の時間緯度断面図
極中間圏雲(Polar Mesopheric Cloud)変動に
見られる準５日波
CIPS, 中間圏の氷エアロのミーspacecraft上の、
雲imageと粒子サイズ測器
Merkel et al., JASTP 2009
Cloud Imaging and Particle Size Instrument
on the Aeronomy of Ice in the Mesosphere
spacecraft
2007年の夏、それぞれの緯度における、solstice期
のzonal dayly頻度変化、5日程度の変動
経度180バンドでの、雲アルベードの変化
の時間変動
波数ー振動数スペクトル解析、正振動数
が、西向き伝播をしめす、波数 s=1で５日
あたりに強いシグナルが見える
１０日波について
データ解析で求められた、10day wave（自由振動）
の構造、1981, Apr.の1hPa高度偏差、50m間隔
東西波数１で南北に最初の基本的な３つのモー
ドの理論的な構造分布図、10日波＝図の(1,2)
モードは反対称モードの最も簡単な南北構造を
もつ。
振幅の時間的な変化の様子
赤道角運動量（Equatorial Atmospheric Angular
Momentum, EAAM）に現れる１０日波
Feldstein, JAS, 2006, 565-581
質量の寄与
風の寄与
EAAMの位相（NCEP/NCAR
冬期dataから）
EAAMのtendencyに線形回帰した地表面気
圧ー＞赤道に関して反対称に近い構造
EAAM vectorの約10-day の変動にs=1 反対称Rossby
normal modeが対応しているらしい
グリニッジにおける赤道角運動量の位相
ー＞１０日程度の振動
＜ー地表面気圧の変化によるマスバランスの違いで変
動をもたらしているよう。
観測で求められた、16day wave（自由振動）、これは赤
道に関して対称モードである。Hirooka and Hirota, 1985,
J. Atmos. Sci. 冬半球の方にシグナルが見える（非対
称的）。下は４月の振幅変動（対称的）
線形計算
に用いら
れた冬の
基本風
80km
u (y,z)

赤道対称的
1980年
計算で求められた（Salby, 1981, J. Atmos. Sci.）１６日波
の緯度-高度図、冬の極に大きな振幅をもっている。構
造はかなりいびつになっている。
５−５：対流圏の赤道Rossby波
Dima, Wallace, and Kraucunas, 2005, Dima and
Wallace, 2007, JAS：
n=1赤道Rossbyモード
定常のforcing（東西には周期的）
年平均の降水量（影、mm/day）と150hPaの高度（線）および
水平風ー＞赤道Rossby波的構造がみえる
10S-5N平均の、eddy成分の高度（色）と東西、鉛直速度（矢、
m/sとcm/s）/m2 )、但しERA-40 data
定常応答の解、Matsuno, 1966, JMS

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