回転の話 ・回転と人体 ・回転のベクトル ・回転角速度と速度の関係 1 回転と人体 人間は回転をどこで感じるか? 内耳で感じる。 耳がやられると、目まいがする。平衡感覚がおかしくなる。 三半規管 半円状の器官が、 垂直な面上にある。 中にリンパ液が入っている。 流れが変わると、半規管中の 感覚毛が感知して、神経を通して 脳に信号が行く。 2 角速度ベクトル 回転を表すベクトル オメガ 大きさは、単位時間に回った角度。 単位は、ラジアン/秒 rad/s 方向は、回転面に垂直 向きは右ねじが進む方向 回転ベクトルの向きに注意。 日常会話の「回転の方向」と ベクトルの向きは違う。 問題:地球の自転の角速度ベクトルの 方向を図示せよ。理由も述べよ。 3 角速度ベクトルは何を表すか? (1)単位時間に回る角度 角速度ベクトルの大きさ(長さ)から (2) 回転面 角速度ベクトルに垂直 (3) どちら向けの回転か。 問題 角速度ベクトルが(3,3,0) rad/sのときに、 a) 角速度の大きさを求めよ。 b) 回転面と回転の方向を図示せよ。 ラジアンの復習 平面角 半径1の円上の弧の長さ。 0から2πの範囲。 単位:ラジアン(rad) 無次元量 扇形の半径がr, 弧の長さが の時、 中心角は、 r 復習 radian ラジアン 似た単語 radius 半径 1 O θ 5 無次元量とは 教科書p.383 物理の4つの基本単位で表せない量 m(メートル) 長さ kg(キログラム)質量 s (秒) 時間 A (アンペア) 電流-> 後期の電磁気でやります。 例: 個数 N (個) 角度 θ(ラジアン) 6 比率 ratio 同じ単位の物の割り算 例:あるクラスの女子の比率は1/2 = 女子の人数/全体 の人数 例2:雨が降る日は1/4 = 雨が降る日/全部の日数 ・比率は一般には足せない。 上記の1/2 + 1/4 = 3/4 を求めても、意味がない。 ・分母が同じなら足せる場合もある。 例:ずっと晴れている日は1/3=晴れの日/全部の日数 上記の数字と足して、1/4 + 1/3 = 7/12 晴れた日か雨が降る日になる確率 7 解答:地球の自転 自転の向きは矢印の通り。 太陽が東から西へ進むように見えるので、 地球は西から東に動いている。 あるいは、時差から考えてもよい。 (日本とアメリカ西海岸の時差は17時間、 東海岸とは14時間、日本が進んでいる。) したがって、角速度ベクトルは、 回転軸上の方向で 上向き(南極から北極に向かう向き)。 8 回転している時の速度 点Pが点Aのまわりに円運動をしているとする。 このときの角速度ベクトルをωとする。 回転軸上の点Oから点Pへの動径ベクトルをrとする。 点Pの速度は、 v ω r A で書ける。 P r O 問1.上の式の両辺の単位を調べよ。 問2.上の式を証明せよ。 9 問1の解答:単位 v ω r 左辺は速度なので、単位は m/s (メートル毎秒) ωの単位は、rad/s (ラジアン毎秒) ラジアンは無次元量。 rの単位は、m (メートル)。 したがって右辺の単位は、m/s で左辺と同じ。 10 v ω r 問2の解答: A 点Pを通り、ベクトルωに垂直な面に 回転面がある。回転の中心をAとする。 P θ O r の証明 v AP r sin 速度ベクトルvの向きは、 円の接線の方向で、 紙面の表から裏。 これは の向きと一致する。 ω r 11 補足: v APの証明 r ' 弧の長さ r ' 角度 両辺を微分すると、r’が一定なら、 d d r' dt dt P A v r ' 12 円運動の速度は接線方向(半径に垂直)になること。 補足 動径ベクトルをx, y座標で書くと、 r e x a cos e y a sin a r v 時間で微分する。半径aや単位ベクトルは 一定(時間が進んでも同じ)。θが変化する。 dr d v e x a sin e y a cos dt dt a e x sin e y cos rとvの内積をとると0なので、円運動の速度は動径ベクトルと 直交する。 13 ・力のモーメント ・角運動量 ・力のモーメントと角運動量の関係 14 力のモーメント 教科書p.50 F ある質点mが原点Oからrの位置にあり、 m mに力Fが加わっているとする。 この時の、点Oのまわりの力のモーメントは、 N rF r O 図でNの方向は、スクリーンを(裏から表に)貫く方向 15 力のモーメントの問題 N rF 問題1 力の大きさおよび位置が一定で、力の角度を変化させる。 F 力のモーメントの大きさが最大および最小になる時の角度を求め、 図示せよ。 m r O 問題2 長さ2aのシーソーがあり、支点Oはシーソーの中央にある。 質点mがシーソーの端にあるとする。 シーソーと水平線のなす角をθとする時、 mにかかる重力によって生じる、支点0のまわりの力のモーメントを求めよ。 O m 16 力のモーメントの問題1の解答 問題1 力の大きさおよび位置が一定で、力の角度を変化させる。 力のモーメントの大きさが最大および最小になる時の角度を求めよ。 N rF N r F rF sin 力のモーメントの定義 sin sin の最大値は1で、θ=π/2, 3π/2nの時。 の最小値は0で、θ=0, πの時 m r O 17 力のモーメントの問題2の解答 O N rF やり方その1 m r の求め方 成分で書くと、 O y F mge z z r (r cos ,0, r sin ) x F (0,0,mg ) r F (0, mgr cos ,0) yのプラス方向。紙面表から裏への方向。 18 力のモーメントの問題2の解答 N rF の求め方 やり方その2 r O 青いベクトルと赤いベクトルの y なす角は、π/2 + θ F mge z z x 19 力のモーメントの問題2の解答 青いベクトルと赤いベクトルの なす角は、π/2 + θ sin cos 2 r O y F mge z z x N r F mga sin mga cos 2 r 紙面に垂直で、紙面の表から裏。 F 20 三角関数の公式 sin sin cos cos sin cos 2 cos sin 2 1 y 0 y sin 4 2 π y cos 2π 21 モーメントとは。 r A の形 動径ベクトル(位置を表す) r A ベクトル。特別な場合は、スカラー(1次元ベクトル)。 N r F 力のモーメント L r p 角運動量もモーメントの1つ。 p mv その他のモーメント 慣性モーメント (前期に勉強します。) 双極子モーメント(後期の電磁気で出てきます。) 22 角運動量とは。 運動量 角運動量 p mv 既にやった。 L mr v r p v ベクトル積 r ある基準点Oの周りの 角運動量。 m O 問題 半径aの円上を一定の速さvで回っている粒子の 角運動量ベクトルを求めよ。 23
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