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電磁気学Ⅱ
Electromagnetics Ⅱ
6/7講義分
電磁波の反射と透過
山田博仁
異なる媒質の界面における境界条件
誘電率 e1, e2 の異なる媒質が接している界面
界面には真電荷が面密度 e にて存在
界面での電束密度 D に対して、どのよう
な条件が満たされなければならないか?
電場に関するGaussの法則を、界面に
存在する高さが無限小の円柱に適用
5.3 (教科書p.64) の復習
単位法線ベクトル
界面 D n S 界面での
1
真電荷密度
e1
e
+
+
+
+
+
+
e+2
D2
-n
 div DdV   D  ndS    dS
V
S
S
e
Gaussの定理
従って、
( D1  D2 )  n S   e S
上式は、任意の面 S に対して成り立つことから、 ( D1  D2 )  n   e
表面電荷 e が存在しなければ、 D1  n  D2  n
異なる媒質の界面における境界条件
誘電率 e1, e2 の異なる媒質が接している界面
界面での電場 E に対して、どのような条
件が満たされなければならないか?
Faradayの電磁誘導の法則を、図のように
界面の一部を囲む高さ h が無限小の長
方形 S に適用

S
界面 l t
e1
e2
E1
h
CE t
2
S
t: 単位接線ベクトル
B
 dS
S t
rot E  dS   
ここで、B/t は境界面の近くで有限であるから、S→0の極限で右辺の積分は
ゼロになる
一方、Stokesの定理を用いると左辺は、

S
rot E  dS   E  dr  ( E1  t  E2  t )l
C
従って、 ( E1  t  E2  t )l  0
上式は、任意の l の長方形に対して成り立つことから、 E1  t  E2  t
異なる媒質の界面における境界条件
9.4 (教科書p.146) の復習
透磁率 m1, m2 の異なる媒質が接している界面
界面での磁束密度 B に対して、どのよう
な条件が満たされなければならないか?
磁場に関するGaussの法則を、界面に
存在する高さが無限小の円柱に適用
単位法線ベクトル
界面 B n S
m1
m2
 div BdV   B  ndS  0
V
S
Gaussの定理
従って、 ( B1  B2 )  n S  0
上式は、任意の面 S に対して成り立つことから、
( B1  B2 )  n  0
よって、
B1  n  B2  n
1
-n
B2
異なる媒質の界面における境界条件
透磁率 m1, m2 の異なる媒質が接している界面
界面には伝導電流が面密度 ie にて存在
界面 l t
界面での磁場 H に対して、どのような
条件が満たされなければならないか?
m1
m2
Ampere-Maxwellの方程式を、図のように
界面の一部を囲む高さ h が無限小の長
方形 S に適用

S
C
H2 t
ie: 界面での
伝導電流密度
H1
ie
h
S
t: 単位接線ベクトル
D
 dS   ie  dS
S t
S
rot H  dS  
ここで、界面に表面電流が存在しない限り、ie も D/t も境界面の近くで有限で
あるから、S→0の極限で右辺はゼロになる
一方、Stokesの定理を用いると左辺は、

S
rot H  dS   H  dr  ( H1  t  H 2  t )l
従って、
C
H1  t  H 2  t
異なる媒質の界面における境界条件
電束密度の法線成分は連続
電場の接線成分は連続
E1  t
E t  E t
1
D1  n  D2  n
2
e1
e2
E1
E2
t は界面に平行な
単位接線ベクトル
E2  t
e1
e2
n は界面に垂直な D2  n
単位法線ベクトル
磁場の接線成分は連続
H1  t  H 2  t
H1  t 表面電流が
存在しない場合
m1
m2
H1
H2
H2  t
D1
表面電荷が
存在しない場合
D1  n
D2
磁束密度の法線成分は連続
B1  n  B2  n
m1
m2
B1
B2  n
B1  n
B2
界面での反射と透過
2種類の媒質が x-y 平面 (z = 0) を
境に接しており、 z > 0 を媒質Ⅰが、
z < 0 を媒質Ⅱが満たしている。平
面電磁波が媒質Ⅰから媒質Ⅱに
入射角 qi で斜め入射し、その一部
が反射角 qr で反射され、またその
一部が透過角 qt で媒質Ⅱ内に透
過する場合を考える。
z
Er
Hi
Ei
媒質Ⅰ
入射波、反射波および透過波の波媒質Ⅱ
数ベクトルと角周波数をそれぞれ
(ki, i), (kr, r) および (kt, t) とし、
電場ベクトルは図の様に x-z 平面
上にあり、磁場は y 成分のみとする。
波の位相は、
入射波
ki  r  i t  ki x sin qi  ki z cos qi  i t
反射波
kr  r  r t  kr x sin qr  kr z cosqr  r t
透過波
kt  r  t t  kt x sin qt  kt z cos qt  t t
qi
qr
ki
kr
y
Hr
x
kt
qt
Et
Ht
界面での反射と透過
境界面 (z = 0) 上の全ての点で、任意の時刻に波の位相が等しくなるので、
i  r  t
ki sin qi  kr sin q r  kt sin qt
k
この条件が成立しなければならない

の関係より、媒質Ⅰ内で電磁波の速度 v1 は入射波、反射波に共通なので、
v
r  i ならば、 kr  ki
従って、 q r  qi
ki
(反射の法則)
sin q i kt v1
 
sin q t ki v2
v1
(Snellの法則)
qr
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ
v1 と v2 は、それぞれ媒質Ⅰ、Ⅱ
v2
内を進む電磁波の速度
比誘電率
1
e 1m1
e r 2e 0
e 2m2
e2
er2
sin q i v1
n
 
 2




1
sin q t v2
n1
e 1m1
e1
e r1e 0
e r1
e 2 m2
qi
kr
 磁性体でなければ、
m1  m2  m0
qt
kt
n1, n2は各々、媒質Ⅰ,
媒質Ⅱの屈折率
界面での反射と透過
入射波
z
Ei  ( Eix , 0, Eiz )  ( Ei cos qi , 0,  Ei sin qi )
 E 
H i  (0, H iy , 0)   0, i , 0 
 Z1 
反射波
Er  ( Erx , 0, Erz )  ( Er cos q r , 0, Er sin q r )
q r  qi
Er
Hi
Ei
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ


E
H r  (0, H ry , 0)   0,  r , 0 
Z1 

透過波
Et  ( Etx , 0, Etz )  ( Et cos qt , 0,  Et sin qt )
 E

H t  (0, H ty , 0)   0, t , 0 
 Z2 
Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の電磁インピーダンス
qi
Hr
qr
ki
kr
y
x
kt
qt
Ht
Et
界面での反射と透過
次に、電磁波の振幅について考えると、界面での電場 E および磁場 H の接線成分
の連続性より、
Eix  Erx  Etx
H iy  H ry  H ty
従って、
 Ei cos qi  Er cos q r   Et cos qt
E i E r Et


Z1 Z1 Z 2
上式から Et を消去すると、
r
Er Z 2 cos q t  Z1 cos q i

Ei Z1 cos q i  Z 2 cos q t
Ei cos qi  Er cos qi  Et cos qt
Z 2 Ei  Z 2 Er  Z1Et
ここで、θi = θr の関係を用いている
(電界反射係数)
上式から Er を消去すると、
t
Et
2 Z 2 cos q i

Ei Z1 cos q i  Z 2 cos q t
(電界透過係数)
界面での反射と透過
因みに、磁界に対する反射係数および透過係数を求めてみると、
 Er
Hr
E
Z1

  r  r
Ei
Hi
Ei
Z1
Et
Ht
Z 2 Z1 Et Z1



t
E
Hi
Z 2 Ei Z 2
i
Z1
媒質の屈折率 n は、真空中での光の速度 c と媒質中での光の速度 v の比で表され、
ee mm
em
c 1 e 0 m0


 r 0 r 0  e r mr
v 1 em
e 0 m0
e 0 m0
n
特に、媒質1と2が非磁性の場合には m1 = m2 = m0 が成り立ち、それぞれの媒質の
屈折率は真空の固有インピーダンス Z0 を用いて、
n1 
c
 e r1 
v1
m0 e 0 Z 0

m1 e 1 Z1
n2 
c
 er2 
v2
m0 e 0 Z 0

m2 e 2 Z 2
と表せる。
従って、反射係数と透過係数は、媒質の屈折率を用いて、
r
n1 cos q t  n2 cos q i
n1 cos q t  n2 cos q i
t
2n1 cos q i
n1 cos q t  n2 cos q i
と表せる。
界面での反射と透過
垂直入射の場合には、qi = qt = 0 とすることにより反射係数と透過係数は、
r
n1  n2
n1  n2
t
i
2n1
n1  n2
r
n1
n2
入射波のエネルギー流に対する反射波と透過波のエネルギー流の
比をそれぞれ反射率 R および透過率 T という。
t
入射波、反射波、透過波のエネルギー流は、各々に対するポインティングベクトルの
大きさの界面に垂直方向成分であるから、
入射波
反射波
2
E
E cos q i
入射エネルギー流 qi
qr
Ei H i cos q i  Ei i cos q i  i
Z1
Z1
Z1
Si
Sr
媒質Ⅰ
反射
 Er 
Er2
媒質Ⅱ
Er H r cos q r  Er    cos q r  
cos q r
St エネルギー流
Z
Z
1 
1

Z2
2
t
E
E
Et H t cos q t  Et t cos q t 
cos q t
Z2
Z2
透過エネルギー流
qt
透過波
界面での反射と透過
従って、反射率 R と透過率 T は、
Er H r cos q r
 Er2 cos q r / Z1
Er2
Er
R



Ei H i cos q i
Ei2 cos q i / Z1
Ei2
Ei
2
Et H t cos q t
Et2 cos q t / Z 2 Z1 cos q t Et
T
 2

Ei H i cos q i
Ei cos q i / Z1 Z 2 cos q i Ei
2
r

2
 qi  q r
Z1 cos q t 2
t
Z 2 cos q i
T  1 R
屈折率 n1, n2 で表せば、反射率 R と透過率 T は、
2

n1 cos qt  n2 cos qi 
R
n1 cosqt  n2 cosqi 2
T
4n1n2 cos qi cos qt
n1 cos qt  n2 cos qi 2
界面での電磁波の反射と透過
これまでは、入射波の電場ベクトルは x-z 平
面内にのみ存在し、磁場ベクトルは y 方向
成分のみを有するとするとして、電界反射係
数および電界透過係数を求めた。
z
Hi
qi
qr
Er
Hr
Ei
Z1
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ
Z2
つまり、磁場(ベクトル)が界面に平行に入射した
場合の電界反射係数として、
rp 
Er Z 2 cos q t  Z1 cos q i

Ei Z1 cos q i  Z 2 cos q t
x
y
qt
p.210 (12.62式)
磁場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界透過係数として、
tp 
Et
2 Z 2 cos q i

Ei Z1 cos q i  Z 2 cos q t
p.210 (12.62式)
ただし、Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の固有インピーダンス
Ht
Et
界面での電磁波の反射と透過
次に、図に示すように入射波の磁場ベクトル
が x-z 平面内に存在し、電場ベクトルは y 方
向成分のみを有する場合について考えると、
入射波
Ei  ( Eix , Eiy , Eiz )  (0,  Ei , 0)
z
Ei
qr Er
Hi
Hr
Z1
媒質Ⅰ
 E

E
H i  ( H ix , H iy , H iz )    i cos qi , 0,  i sin qi  媒質Ⅱ
Z1
Z2
 Z1

反射波
E r  ( Erx , Ery , Erz )  (0,  Er , 0)
q r  qi
E

E
H r  ( H rx , H rz , H rz )   r cos qi , 0,  r sin qi 
Z1
 Z1

透過波
Et  ( Etx , Ety , Etz )  (0,  Et , 0)
qi
x
y
qt
Et
Ht
Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の電磁インピーダンス
 E

E
H t  ( H tx , H ty , H tz )    t cos qt , 0,  t sin qt 
Z2
 Z2

界面での反射と透過
界面での電場 E および磁場 H の接線成分の連続性より、
Eiy  Ery  Ety
H ix  H rx  H tx
Ei  Er  Et
E cos q i Er cos q i
E cos q t
 i

 t
Z1
Z1
Z2
従って、
電場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界反射係数として、
rs 
Er Z 2 cos q i  Z1 cos q t

Ei Z 2 cos q i  Z1 cos q t
例題12.3 (p.212)
電場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界透過係数として、
ts 
Et
2Z 2 cos q i

Ei Z 2 cos q i  Z1 cos q t
例題12.3 (p.212)
が求まる。ただし、Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の固有インピーダンス
界面での電磁波の反射と透過
12.57式(Snellの法則)と12.63式より、
sin q i v1 Z1
 
sin q t v2 Z 2
従って、 Z 2 
sin q t
Z1
sin q i
この関係を用いると、
磁場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界反射係数は、
Er Z 2 cos q t  Z1 cos q i sin q t cos q t  sin q i cos q i


Ei Z1 cos q i  Z 2 cos q t sin q i cos q i  sin q t cos q t
rp 


(sin q i cos q t  sin q t cos q i )(cos q i cos q t  sin q i sin q t )
(cos q i cos q t  sin q i sin q t )(sin q i cos q t  sin q t cos q i )
tan(q t  q i )
tan(q i  q t )
磁場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界透過係数は、
tp 

Et
2 Z 2 cos q i
2 sin q t cos q i


Ei Z1 cos q i  Z 2 cos q t sin q i cos q i  sin q t cos q t
2 sin q t cos q i
sin( q i  q t ) cos(q i  q t )
界面での電磁波の反射と透過
電場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界反射係数は、
rs 
Er Z 2 cos q i  Z1 cos q t sin q t cos q i  sin q i cos q t sin( q t  q i )



Ei Z 2 cos q i  Z1 cos q t sin q t cos q i  sin q i cos q t sin( q t  q i )
電場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界透過係数は、
ts 
Et
2Z 2 cos q i
2 sin q t cos q i
2 sin q t cos q i



Ei Z 2 cos q i  Z1 cos q t sin q t cos q i  sin q i cos q t
sin( q t  q i )
これらはFresnelの式と呼ばれている。
ここで、p, sは光の媒質への入射状態を表し、電界成分が入射面(入射光線と
反射光線が作る面)に平行(parallel)な光を p波、垂直(senkrecht)なものを s波と
呼んでいる。
因みに地震波では、縦波であって早く到達する第一波を p波(primary wave)、
横波で強い揺れを引き起こす第二波を s波(secondary wave)と呼んでいる。
界面での電磁波の反射と透過
以上で求めた rp, rs を、入射角 qi に対して
図示すると、右図のようになる。
反射率は、
R p  rp
2
1
qi  qt 

2
0
tan(q t  q i )

tan(q i  q t )
2
Z1 > Z2のとき
rp
 qi
2
rs
-1
Rs  rs 
2
sin( q t  q i )
sin( q t  q i )
これを図示すると、
2
反
射
率
Rs
Brewster 角
Rp
入射角(θi)
以上の結果から分かるように、磁場ベクトルが界面に対して平行に入射した場合(p波)
の電界反射係数 rpは、入射角 qi と透過角(屈折角) qt の和がちょうど直角になる時に
ゼロ、つまり無反射となる。この時の入射角度 qi のことを Brewster 角という。
界面での電磁波の反射と透過
以上の結果から分かるように、磁場ベクトルが界面に対して平行に入射した場合(p波)
の電界反射係数 rp (従って反射率も)は、入射角 qi と透過角(屈折角) qt の和がちょう
ど直角になる時にゼロ、つまり無反射となる。この時の入射角度 qi のことを Brewster
角という。
Brewster 角qi は、
qi  qt 

2
Snell の法則より、
sin q i Z1 n2


sin q t Z 2 n1
従って、 Brewster 角qi は、
Z
n
q i  tan 1 1  tan 1 2
Z2
n1
z
Brewster角
Hi qi
Er
qr
Hr
Ei
Z1
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ
Z2
x
直角
y
qt
Ht
Et
また、入射角と Brewster 角との大小関係により、電界反射係数の符号が反転する
つまり、 Brewster 角を挟んで、反射波の電場ベクトルの向きが反転する
Brewster 角の物理的意味
このような Brewster 角が存在する物理的意味は ?
電磁波が反射するメカニズムは、入射波によって界面に誘起された誘電分極から
の電磁波の放射と考えることができる
Brewster 角で媒質Ⅱに入射する電磁波は、媒質Ⅱ内の界面付近に分極を生じ
るが、その分極は反射角の方向には電磁波を放射できないため
Brewster角 z
qi
qr
この方向には、
電磁波を放射
できない
Ei
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ
x
y
qt
演習: 界面での反射と透過
図に示す様に、2種類の媒質が x-y
平面 (z = 0) を境に接している。今、
Ei
平面電磁波が媒質Ⅰから媒質Ⅱ
に入射角 qi で斜め入射する場合
Hi
を考える。
入射波、反射波および透過波の波
数ベクトルと角周波数をそれぞれ
(ki, i), (kr, r) および (kt, t) とし、
媒質Ⅰ
電場ベクトルは図の様に x-z 平面
上にあり、磁場は y 成分のみとする。媒質Ⅱ
電場、磁場ベクトルの向きを教科書とは違えております
波の位相は、
入射波 ki  r  i t  ki x sin qi  ki z cos qi  i t
反射波 kr  r  r t  kr x sin qr  kr z cosqr  r t
透過波
z
Er
qi
qr
ki
kr
y
Hr
x
kt
qt
Et
Ht
kt  r  t t  kt x sin qt  kt z cos qt  t t
境界面 (z = 0) 上の全ての点で、任意の時刻に波の位相が等しくなるので、
i  r  t
この条件が成立しなければならない
ki sin qi  kr sin q r  kt sin qt
演習: 界面での反射と透過
入射波
z
Ei  ( Eix , 0, Eiz )  ( Ei cos qi , 0, Ei sin qi )

E 
H i  (0, H iy , 0)   0,  i , 0 
Z1 

反射波
Er  ( Erx , 0, Erz )  ( Er cos q r , 0, Er sin q r )
q r  qi
Ei
Hi
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ


E
H r  (0, H ry , 0)   0,  r , 0 
Z1 

透過波
Et  ( Etx , 0, Etz )  ( Et cos qt , 0, Et sin qt )


E
H t  (0, H ty , 0)   0,  t , 0 
Z2 

Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の電磁インピーダンス
Er
qi
Hr
qr
ki
kr
y
x
kt
qt
Et
Ht
演習: 界面での反射と透過
界面での電場 E および磁場 H の接線成分の連続性より、
Eix  Erx  Etx
従って、 Ei cos qi  Er cos q r  Et cos qt
H iy  H ry  H ty
上式から Et を消去すると、
r
Er Z1 cos q i  Z 2 cos q t

Ei Z1 cos q i  Z 2 cos q t
上式から Er を消去すると、
t
Et
2 Z 2 cos q i

Ei Z1 cos q i  Z 2 cos q t
Ei Er Et


Z1 Z1 Z 2
Z 2 Ei  Z 2 Er  Z1Et
ここで、θi = θr の関係を用いている
(電界反射係数)
反射係数や透過係数の値は、電界や
磁界ベクトルの取り方によって異なる
(電界透過係数)
この場合、磁界に対する反射係数および透過係数は、
Er
Hr
Z1 Er


r
H i Ei
Ei
Z1
Et
Ht
Z 2 Z1 Et Z1



t
H i Ei
Z 2 Ei Z 2
Z1

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