Musterlösung zur Zusatzaufgabe 5

PD Dr. T. Timmermann
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Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie
Übungsblatt 9
Musterlösung der Zusatzaufgabe 5
Zusatzaufgabe 5. Eine Abbildung f : Y → X heißt lokaler Homöomorphismus, falls
jeder Punkt in Y eine offene Umgebung V hat, für die f (V ) offen und f |V : V → f (V )
ein Homöomorphismus ist. Zeigen Sie:
(a) Jede Überlagerung ist ein lokaler Homöomorphismus.
Lösung: Sei y ∈ Y beliebig, U ⊆ X eine trivialisierende offene Umgebung von
p(y) und V ⊆ p−1 (U ) das y enthaltende Blatt. Dann ist V eine offene Umgebung
von y und p|V ein Homöomorphismus.
(b) Es gibt einen lokalen Homöomorphismus f : Y → [0, 1], der keine Überlagerung
ist. (Hinweis: Man kann Y ⊆ [0, 1] wählen.)
Lösung: Wähle Y = (0, 1] und f = idY . Dann hat 0 ∈ [0, 1] keine trivialisierende
Umgebung, weil f −1 (U ) = U \ {0} für jedes Umgebung U von 0.
(c) Ist f : Y → X ein lokaler Homöomorphismus, X zusammenhängend und Hausdorffsch und Y kompakt, so ist f eine Überlagerung. (Hinweis: Zeigen Sie erst,
dass f surjektiv ist und dann, dass f −1 (x) endlich ist für jedes x ∈ X.)
Lösung: Da Y kompakt und X Hausdorffsch ist, ist auch f (Y ) kompakt, also
abgeschlossen. Da f ein lokaler Homöomorphismus ist, ist f (Y ) offen. Da X
zusammenhängend ist, muss also f (Y ) = X gelten.
Sei x ∈ X beliebig.
Wir zeigen, dass f −1 (x) endlich ist: Mit {x} ⊆ X ist auch f −1 (x) abgeschlossen,
also kompakt. Jeder Punkt y ∈ f −1 (x) hat nach Annahme eine offene Umgebung,
die durch f injektiv nach X abgebildet wird und somit keinen weiteren Punkt aus
f −1 (x) enthält. Von diesen offenen Umgebungen überdecken bereits endlich viele
f −1 (x), also ist f −1 (x) endlich.
Wähle nun für jedes y ∈ f −1 (x) eine offene Umgebung Vy , die durch f homöomorph
auf eine offene Umgebung Uy von x abgebildet wird. Dann ist der Schnitt der Uy
eine offene trivialiserende Umgebung von x.
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