X → Y stetige Abbildungen topologischer

PD Dr. T. Timmermann
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Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie
Übungsblatt 5
Abgabe bis Fr, 13.05., 8:15 Uhr
Aufgabe 1. Seien f, g : X → Y stetige Abbildungen topologischer Räume und Y
Hausdorffsch. Zeigen Sie auf zwei verschiedene Arten, dass die Menge
{x ∈ X : f (x) = g(x)} ⊆ X
abgeschlossen ist, z.B. mit Hilfe von Netzen, Umgebungen oder der Abgeschlossenheit
der Diagonale in Y × Y .
Aufgabe 2. Sei X̃ eine Kompaktifizierung eines lokal-kompakten Hausdorff-Raumes
X. Zeigen Sie:
(a) Es gibt genau eine stetige Abbildung pX̃ : X̃ → X + , deren Einschränkung auf X
die Identität ist.
(b) Falls X̃ \ X nur einen Punkt enthält, ist pX̃ ein Homöomorphismus.
(c) X + ist homöomorph zum Quotienten X̃/∼ für eine Äquivalenzrelation ∼ (welche?).
Aufgabe 3. (a) Sei X ein topologischer Raum mit Teilmengen A1 , . . . , An . Zeigen
Sie, dass dann (A1 ∪ · · · ∪ An ) = A1 ∪ · · · ∪ An .
Sei nun X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum. Zeigen Sie:
(b) Ist K ⊆ X kompakt und V ⊆ X offen mit K ⊆ V , so existiert eine offene Menge
U so, dass K ⊆ U , U ⊆ V und U kompakt ist.
(c) Sind K und V wie in (b), so existiert eine stetige Funktion f : X → [0, 1], die auf
K konstant 1 ist und deren Träger supp f := {x ∈ X : f (x) 6= 0} kompakt und in
V enthalten ist.
Aufgabe 4.
Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie:
(a) Alle Mengen der Form
A(n, α) := {m ∈ Z : m = n + qpα für ein q ∈ Z}
mit n ∈ Z und α ∈ N bilden eine Basis für eine Topologie τp auf Z.
(b) (Z, τp ) ist metrisierbar (Hinweis: Der Abstand zweier Punkte m, n ist umso
kleiner, je größere Potenzen von p die Differenz m − n teilen).
Zusatzaufgabe 5.
Wir betrachten (Z, τp ) für ein p > 2. Zeigen Sie:
T
(a) Ist nα := 1 + p + p2 + · · · + pα , so gilt α∈N A(nα , α + 1) = ∅; insbesondere ist
(Z, τp ) nicht kompakt.
(Hinweis: Liegt m in dem Schnitt, so unterscheiden Sie die Fälle m < 0 und m ≥ 0
und folgern Sie in beiden Fällen, dass m beliebig klein/groß sein muss.)
(b) Jede der Mengen A(n, α) ist abgeschlossen und homöomorph zu (Z, τp ).
(c) (Z, τp ) ist nicht lokal-kompakt.
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