Blatt 9

PD Dr. T. Timmermann
[email protected]
Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie
Übungsblatt 9
Abgabe bis Fr, 17.6., 8:15 Uhr
Aufgabe 1. Für jede stetige Abbildung f : S 1 → S 1 mit f (1) = 1 definieren wir den
Abbildungsgrad deg f als Windungszahl des Weges f ◦ w1 . Zeigen Sie:
(a) deg f = n ⇔ f ◦ w1 ∼ wn .
(b) Ist deg f = 1, so ist f homotop zur Identität.
(c) Sind f, g : S 1 → S 1 stetige Abbildungen mit f (1) = g(1) = 1, so ist
deg(f ◦ g) = deg(f ) deg(g).
Aufgabe 2. Wir betrachten den projektiven Raum RPn für n > 1 (vgl. Beispiel 16.2).
Sei e ∈ S n beliebig. Wir setzen für (c) voraus (und beweisen später), dass π1 (S n , e)
trivial ist, also nur aus der Klasse des konstanten Weges ιe besteht. Zeigen Sie:
(a) Die Quotientenabbildung p : S n → RPn ist eine Überlagerung und
Ui := {p(x) : x ∈ S n , xi 6= 0} ⊆ RPn
ist für jedes i = 1, . . . , n eine trivialisierende offene Menge.
(b) Es gibt einen Weg w̃ in S n von −e nach e.
(c) Ist u ein Weg in RPn von p(e) nach p(e) und ũ eine Hochhebung mit ũ(0) = e, so
ist entweder ũ ∼ ιe oder ũ ∗ w̃ ∼ ιe .
(d) π1 (RPn , p(e)) ist homöomorph zur Gruppe {1, −1} (mit der Multiplikation).
Aufgabe 3. (a) Sind p1 : Y1 → X1 und p2 : Y2 → X2 Überlagerungen, so ist auch
p1 × p2 : Y1 × Y2 → X1 × X2 eine Überlagerung.
(b) Ist p : Y → X eine Überlagerung und X Hausdorffsch, so ist auch Y Hausdorffsch.
Aufgabe 4. Sei X = [0, 1]2 und p : Y → X eine Überlagerung sowie F := p−1 (0, 0).
Zeigen Sie mit folgenden Schritten, dass X selbst eine trivialisierende Menge ist:
(a) Für jedes y ∈ F gibt es genau eine stetige Abbildung qy : X → Y mit qy (0, 0) = y
und p ◦ qy = idX .
(b) Sind y, y 0 ∈ F verschieden, so sind qy (X) und qy0 (X) disjunkt.
(c) Für jedes y ∈ F ist qy (X) ⊆ Y offen.
S
(d) Y = y∈F qy (X). (Hinweis: Ist y 0 ∈ Y , so hebe einen Weg von p(y 0 ) nach (0, 0)
und benutze die Eindeutigkeit der Hochhebung.)
Zusatzaufgabe 5. Eine Abbildung f : Y → X heißt lokaler Homöomorphismus, falls
jeder Punkt in Y eine offene Umgebung V hat, für die f (V ) offen und f |V : V → f (V )
ein Homöomorphismus ist. Zeigen Sie:
(a) Jede Überlagerung ist ein lokaler Homöomorphismus.
(b) Es gibt einen lokalen Homöomorphismus f : Y → [0, 1], der keine Überlagerung
ist. (Hinweis: Man kann Y ⊆ [0, 1] wählen.)
(c) Ist f : Y → X ein lokaler Homöomorphismus, X zusammenhängend und Hausdorffsch und Y kompakt, so ist f eine Überlagerung. (Hinweis: Zeigen Sie erst,
dass f surjektiv ist und dann, dass f −1 (x) endlich ist für jedes x ∈ X.)
1

Download Report