演習問題略解（6月7日実施分）

演習問題略解
問 10
熱伝導の運動方程式は，次式で与えられる．
ut = a2 uxx
また，熱が絶縁されるため棒の両端の境界条件は
∂u ∂u =
=0
∂x x=0
∂x x=l
となる．u(x, t) = X(x)T (t) とし，方程式に代入する．
X ′′
1 T′
= 2
= µ (定数)
X
a T
XT ′ = a2 X ′′ T,
x と t の独立した 2 つの微分方程式が得られる．
X ′′ = µX,
T ′ = a2 µT
(i)µ > 0 の場合
X(x) について解くと，その解は
√
√
X(x) = A1 e− µx + A2 e µx
√
√
√ √
X ′ (x) = −A1 µe− µx + A2 µe µx
となる．境界条件 X ′ (0) = X ′ (l) = 0 から，積分定数について整理すると
√
√ √
A1 µ(e µl − e− µl ) = 0
√
√ √
A2 µ(e µl − e− µl ) = 0
となる．境界条件を満たす積分定数は A1 = A2 = 0 で，その時の解は X(x) = 0 となり意味を持たない．
(ii)µ = 0 の場合
X(x) について解くと，その解は
X(x) = B1 x + B2
X ′ (x) = B1
となる．境界条件から積分定数を整理すると，解は
X(x) = B2 (定数)
となる．このとき T について解くと，T ′ = 0 より
T (t) = B3 (定数)
1
となる．
(iii)µ < 0 の場合
X(x) について解くと，その解は
√
√
X(x) = C1 cos −µx + C2 sin −µx
√
√
√
√
X ′ (x) = C1 −µ sin −µx + C2 −µ cos −µx
となる．境界条件から積分定数を整理すると
√
X ′ (0) = C2 −µ = 0 より，C2 = 0
√
√
X ′ (l) = −C1 −µ sin −µl = 0
となる．境界条件を満たし，かつ C1 ̸= 0 とするには次式を満たせばよい．
√
−µl = nπ (n = 1, 2, 3, · · ·)
ここで，n に対応して µ を µn とおくと，
µn = −
n2 π 2
l2
n に対応して X を Xn ，C1 を C1n とすると，
Xn (x) = C1n cos
nπ
x
l
このとき T について解くと Tn′ = (a2 µ)Tn より
Tn = C3n e−
a2 n2 π 2
l2
t
(ii) および (iii) で求めた解から，境界条件を満たす u は次式で表される．
u(x, t) = B2 B3 +
∞
∑
C1n C3n e−
a2 n2 π 2
l2
t
cos
n=1
=
nπ
x
l
∞
∑
a2 n2 π 2
a0
nπ
+
x
an e− l2 t cos
2
l
n=1
ただし，a0 = 2B2 B3 ，an = C1n C3n である．初期条件 u(x, 0) から，フーリエ余弦展開を適用することに
より a0 および an を求めると，
a0 =
kl2
−2kl2
, an = 2 2 {(−1)n + 1}
3
n π
となる．したがって，解は次のようになる
∞
u(x, t) =
a2 n2 π 2
kl2 ∑ −2kl2
nπ
+
{(−1)n + 1} e− l2 t cos
x
2
2
6
n π
l
n=1
2

Download Report