演習問題略解 問 10 熱伝導の運動方程式は,次式で与えられる. ut = a2 uxx また,熱が絶縁されるため棒の両端の境界条件は ∂u ∂u = =0 ∂x x=0 ∂x x=l となる.u(x, t) = X(x)T (t) とし,方程式に代入する. X ′′ 1 T′ = 2 = µ (定数) X a T XT ′ = a2 X ′′ T, x と t の独立した 2 つの微分方程式が得られる. X ′′ = µX, T ′ = a2 µT (i)µ > 0 の場合 X(x) について解くと,その解は √ √ X(x) = A1 e− µx + A2 e µx √ √ √ √ X ′ (x) = −A1 µe− µx + A2 µe µx となる.境界条件 X ′ (0) = X ′ (l) = 0 から,積分定数について整理すると √ √ √ A1 µ(e µl − e− µl ) = 0 √ √ √ A2 µ(e µl − e− µl ) = 0 となる.境界条件を満たす積分定数は A1 = A2 = 0 で,その時の解は X(x) = 0 となり意味を持たない. (ii)µ = 0 の場合 X(x) について解くと,その解は X(x) = B1 x + B2 X ′ (x) = B1 となる.境界条件から積分定数を整理すると,解は X(x) = B2 (定数) となる.このとき T について解くと,T ′ = 0 より T (t) = B3 (定数) 1 となる. (iii)µ < 0 の場合 X(x) について解くと,その解は √ √ X(x) = C1 cos −µx + C2 sin −µx √ √ √ √ X ′ (x) = C1 −µ sin −µx + C2 −µ cos −µx となる.境界条件から積分定数を整理すると √ X ′ (0) = C2 −µ = 0 より,C2 = 0 √ √ X ′ (l) = −C1 −µ sin −µl = 0 となる.境界条件を満たし,かつ C1 ̸= 0 とするには次式を満たせばよい. √ −µl = nπ (n = 1, 2, 3, · · ·) ここで,n に対応して µ を µn とおくと, µn = − n2 π 2 l2 n に対応して X を Xn ,C1 を C1n とすると, Xn (x) = C1n cos nπ x l このとき T について解くと Tn′ = (a2 µ)Tn より Tn = C3n e− a2 n2 π 2 l2 t (ii) および (iii) で求めた解から,境界条件を満たす u は次式で表される. u(x, t) = B2 B3 + ∞ ∑ C1n C3n e− a2 n2 π 2 l2 t cos n=1 = nπ x l ∞ ∑ a2 n2 π 2 a0 nπ + x an e− l2 t cos 2 l n=1 ただし,a0 = 2B2 B3 ,an = C1n C3n である.初期条件 u(x, 0) から,フーリエ余弦展開を適用することに より a0 および an を求めると, a0 = kl2 −2kl2 , an = 2 2 {(−1)n + 1} 3 n π となる.したがって,解は次のようになる ∞ u(x, t) = a2 n2 π 2 kl2 ∑ −2kl2 nπ + {(−1)n + 1} e− l2 t cos x 2 2 6 n π l n=1 2
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