Aufgaben zu den komplexen Zahlen (Teil 1): Aufgabe 1: Geben Sie

Prof. Dr. Timm Sigg
Mathematik 1, Komplexe Zahlen Teil 1
Aufgaben zu den komplexen Zahlen (Teil 1):
Aufgabe 1: Geben Sie von den folgenden komplexen Zahlen jeweils Betrag, Argument, Real- und
Imaginärteil an:
a)
z1 = 4j
b)
z2 = −1 − j
c)
z3 = 5ejπ
d)
z4 =
e)
z6 = −2ej120
1+j
1−j
o
Aufgabe 2: Berechnen Sie
6
1
a)
j + 1+j
b)
π 9
(1 + j) · e−j 6
Aufgabe 3: Es sei z = x + jy und z ∗ die zu z konjugiert komplexe Zahl. Berechnen Sie
a) a = zz∗ b)
b = Im [(z ∗ )3 ]
c)
c = Im [(z 3 )∗ ]
Aufgabe 4: Berechnen Sie alle reellen und komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen:
a)
z3 = j
b)
√
z 2 = −1 + j 3
c)
32z 5 − 243 = 0
d)
z3 +
e)
z 2 − 2jz + 3 = 0
4
1+j
=0
Aufgabe 5: In welchem Quadranten der Gauß’schen Zahlenebene besitzt die Gleichung
z3 + 1 − j = 0
keine Lösung?
Prof. Dr. Timm Sigg
Mathematik 1, Komplexe Zahlen Teil 1
Aufgabe 6: (Prüfungsaufgabe Wintersemester 2002/03, Aufgabe 2)
a)
Gegeben sei
z=
√ !3
1 − 3j
√
;
3j + 1
z ∈ C.
Geben Sie Betrag, Argument und Realteil von z an.
b)
Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung w3 = −1 − j + j 2 + j 3 .
Aufgabe 7: (Prüfungsaufgabe Sommersemester 2003, Aufgabe 2)
a)
Wo liegen die Punkte in der Gauß’schen Zahlenebene, die die Bedingung
2
1
1
Im
=
Re(z)
·
z z∗
erfüllen? (z ∗ ist konjugiert komplex zu z)
b)
Berechnen Sie sämtliche komplexen Lösungen der Gleichung
z−
√
j π4
2·e
4
= 16
und zeichnen Sie die komplexen Zeiger in die Gaußsche Zahlenebene ein!
Geben Sie Real- und Imaginärteile der Lösungen an.
c)
Berechnen Sie die Werte von A und ϕ (A > 0, ϕ ∈ IR) in der Gleichung
√
π
A · ej 6 = ( 3 − j) · ejϕ

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