Vortragsübung 4 - Universität Stuttgart

Prof. Dr. Marcel Griesemer
Roman Bauer, Dr. Jochen Schmid
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Datum: 29.04.2016
Analysis 2 (SS 2016) — Vortragsübung 4
4.1.
i) Bestimmen Sie, so weit es geht, die Lösungen der angegebenen Anfangswerteprobleme.
a)
c)
e)
y 0 = x · ey , y0 = 1,
1
y0 = 2
y, y0 = 1,
x +1
xy
, y0 = 1,
y0 = 2
x + y2
b)
y 0 = y + xn ,
d)
y 0 = cos(x)y + x2 ,
f)
y 02 + 1 = y 2 ,
y0 = 1,
y0 = 1,
y0 = 1.
ii) Bestimmen Sie die Lösungen der angegebenen Differentialgleichungen.
a)
y 02 + y 2 = 1,
b)
y 0 (x) = f (x)y(x) + g(x)y α (x),
α∈
/ {0, 1},
y(x) ≥ 0.
4.2. Ein Hundebesitzer gehe mit seinem Hund spazieren. Zum Zeitpunkt t = 0 sei die Position
des Herrchens der Ursprung eines Koordinatensystems, der Hund sitze angeleint in (c, 0). Angenommen, der Hundebesitzer geht mit konstanter Geschwindigkeit die y-Achse entlang. Wie
lautet die Gleichung der Kurve, die der Hund beschreibt, falls er nur dem Zug der Leine folgt?
4.3. An den Punkten P und Q werden die Enden einer Kette befestigt, bis auf die Schwerkraft wirke
keine weitere, äußere Kraft auf sie. Die Differentialgleichung für die Kette lautet
y 00 (x)2 − K 2 (1 + y 0 (x)2 ) = 0,
wobei in der Konstanten K physikalische Parameter des Systems zusammengefasst sind. Bestimmen Sie die Lösungen dieser Gleichung.
Prof. Dr. Marcel Griesemer
Roman Bauer, Dr. Jochen Schmid
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Datum: 29.04.2016
4.4. [Zusatz] Die Bewegungsgleichung einer Rakete, die zum Startzeitpunkt vom Erdmittelpunkt
·
den Abstand R0 hat und mit der radialen Geschwindigkeit R0 fliegt, lautet
1 · 2 G ? ME
1 · 2 G? M E
R0 −
.
+
R =
2
R
2
R0
|
{z
}
=C
Bestimmen Sie die Lösung des Systems für C < 0.

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