小テスト⑥解答

『振動と波動』小テスト
学籍番号
氏
名
評点
【問題】右図に示すように、集中質量 m が長さ  の糸にぶら下げられた〝ふりこ〟がある。この 1 自由
度系の振動に関して、以下の設問に答えよ。
(1) O  xy 座標系において、集中質量 m の座標を  x, y  とするとき、
O
図に示すような角度  を用いて、  x , y  を表せ。
(2) この系の運動エネルギーK と位置エネルギーV を表せ。
ただし、K 
1
m  x 2  y 2  であり、V は   0 のときを基準とし、
2
重力加速度は g とする。
(3) L  K  V とおくとき、減衰のない自由振動に関するラグランジュ
の運動方程式
長さ 
質量 m
 x, y 
y
d  L  L
 0 を用いて、この系の連立運動方程式を求めよ。なお、運動方程式


dt    
は、加速度項の係数で正規化して表せ。
【解答】

x
【解答】
(1)
 x   sin 
 x   cos 
と表されるので、  x , y  は、次のように表される。 
 y   sin 
 y   cos 
 x, y  は、 
1
m  x 2  y 2  と表されるので、
2
2
2
1
1
1
1
K  m  cos    sin 1  m 2 2  cos 2   sin 2    m 2 2 ∴ K  m 2 2
2
2
2
2
位置エネルギー V は、次のように表される。
V  mg     y   mg      cos    mg   1  cos  
∴ V  mg   1  cos  
(2) 運動エネルギー K は、 K 

 

(3) ラグランジュ関数は、次のように表される。
L  K V 
1 2 2
m   mg   1  cos  
2
減衰のない自由振動に関するラグランジュの運動方程式は
d  L  L
 0 だから、


dt    
d  L  d    1 2  2
 d
m 2  m 2
       m   mg   1  cos     
dt    dt    2
  dt
L
  1 2 2


 m   mg   1  cos      mg  sin 
   2

g
2
∴ m   mg  sin   0
∴   g sin   0 または、   sin   0

ここで、  が充分小さいと考えると、 sin    だから、
g
g
    0 となり、その固有振動数  は、  
となる。





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