on large deviations and disconnection for - ETH E

DISS. ETH NO. 23494
ON LARGE DEVIATIONS AND
DISCONNECTION FOR
RANDOM WALK AND
RANDOM INTERLACEMENTS
A thesis submitted to attain the degree of
DOCTOR OF SCIENCES OF ETH ZURICH
(Dr. sc. ETH Zurich)
presented by
XINYI LI
M. Sc. Paris Dauphine University
born August 24, 1988
citizen of China
accepted on the recommendation of
Prof. Dr. Alain-Sol Sznitman,
examiner
Prof. Dr. Erwin Bolthausen,
co-examiner
2016
Abstract
This thesis investigates various percolation problems for certain
systems with strong correlations. More precisely, it is mainly concerned with two models: random interlacements, a model introduced
by A.-S. Sznitman in [56], which exhibits a non-trivial phase transition as the level parameter of the model varies; and the trace of
simple random walk on Zd , when d ≥ 3.
In the ﬁrst part, we derive a large deviation principle for the density proﬁles of occupation times of random interlacements at a ﬁxed
level in a large box of Zd , d ≥ 3. As an application, we analyse the
asymptotic behaviour of the probability that atypically high values
of the density proﬁle insulate a macroscopic body in a large box.
In the second part, we give a partial answer to a very interesting
question: what is the (asymptotic) probability that a macroscopic
body in Zd , d ≥ 3, gets disconnected from inﬁnity by the random interlacements (when the level is low enough) or by the trace of a single
random walk? We derive asymptotic lower bounds on the probability for both problems. The proofs involve changes of measures which
bring into play “tilted” random walks and “tilted” interlacements.
These results are complemented by upper bounds proved in [62] in
a similar set-up which are all conjectured to be tight, and are intimately connected with results concerning the “insulation” events in
the ﬁrst part.
Zusammenfassung
Diese Dissertation ist der Untersuchung und Klärung verschiedener
Fragen zur Perkolation in bestimmten Systemen mit starken Korrelationen gewidmet. Genauer gesagt, geht es hauptsächlich um folgende zwei Modelle: Zufällige Verflechtungen, einem von A.-S. Sznitman in [56] eingeführten Modell, in dem sich bei Variierung des modellbestimmenden Niveauparameters ein nicht-trivialer Phasenübergang zeigt; und der Spur der einfachen Irrfahrt auf Zd mit d ≥ 3.
Im ersten Teil folgt die Herleitung eines Prinzips der grossen Abweichungen für das Dichteproﬁl der Besetzungszeiten zufälliger Verﬂechtungen auf ﬁxiertem Niveau in einem grossen Würfel von Zd
mit d ≥ 3. Als Anwendung ergibt sich eine Aussage zum asymptotischen Verhalten der Wahrscheinlichkeit, dass atypisch hohe Werte
des Dichteproﬁls einen makroskopischen Körper in einem grossen
Würfel abschirmen.
Im zweiten Teil wird eine partielle Antwort auf eine interessante
Frage gegeben: Was ist die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass
in Zd mit d ≥ 3 ein makroskopischer Körper vom Unendlichen abgetrennt wird, sei es durch zufällige Verﬂechtungen (auf genügend tiefem
Niveau) oder durch die Spur einer einfachen Irrfahrt? Als Teilantwort werden untere Schranken für die Wahrscheinlichkeiten in
beiden Fällen geliefert. Die Beweise beinhalten Masswechsel, die
«geneigte» Irrfahrten und «geneigte» Verﬂechtungen ins Spiel bringen. Die hergeleiteten Resultate werden ergänzt durch die oberen
Schranken, die in [62] in einem ähnlichen Rahmen bewiesen wurden.
Diese Schranken, es wird vermutet, dass sie optimal sind, stehen
in einem engen Zusammenhang mit Resultaten betreﬀend «Abschirmungsereignissen», wie sie im ersten Teil betrachtet werden.

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