3. Übungsblatt.

Technische Universität Braunschweig
09. – 13. Mai 2016
Prof. Dr. V. Bach, L. Menrath, J. Dierkes
Ingenieurmathematik Bauen und Umwelt
Übung 3
Aufgabe 1: Bestimmen Sie die Lösungen des Differentialgleichungssystems
!
!
10
−1 2
.
x(t) +
ẋ(t) =
5
2 2
Aufgabe 2: Lösen Sie das Anfangswertproblem ẍ + 2ẋ + x = 1, x(0) = 2, ẋ(0) = 1 mit dem
Ansatz x(t) = eλt .
Aufgabe 3: Gesucht wird eine Näherung für das Integral über f (x) = x2 im Intervall [1, 4]. Fertigen Sie Skizzen der Annäherungen durch die Näherungsverfahren Mittelpunktsregel, Trapezregel
und Keplersche Fassregel an und geben Sie eine Vermutung darüber ab, welches Verfahren das
beste Ergebnis liefern wird. Welches Verfahren unterschätzt, welches überschätzt den exakten
Wert? Führen Sie mit allen drei Verfahren die Annäherung des Integrals durch, und vergleichen
Sie die Werte mit dem exakten Ergebnis.
Hausaufgabe 1: Nähern Sie das Integral f (x) = x2 im Intervall [1, 4] an, indem Sie die Mittelpunktsregel auf Teilintervalle anwenden und die Ergebnisse anschließend addieren (summierte
Mittelpunktsregel). Zerlegen Sie dazu das Intervall zunächst in drei Teilintervalle gleicher Breite.
5
7
Nutzen Sie anschließend die Stützstellen x0 = 1, x1 = , x3 = und x3 = 4, um drei Teilintervalle
2
2
zu definieren. Verdeutlichen Sie sich die beiden unterschiedlichen Annäherungen jeweils an einer
Skizze.
!
0 1
Hausaufgabe 2: Lösen Sie das Anfangswertproblem ẋ(t) =
x(t) + p(t) mit
3 2
!
!
0
1
p(t) =
und x(0) =
.
cos(ωt)
0
Hinweis: Integrieren Sie bei der Bestimmung der partikulären Lösung mehrfach partiell.
Hausaufgabe 3: Bearbeiten Sie für die Funktion g(x) = cos(x) im Intervall [0, 2π] die Arbeitsanweisungen der Aufgabe 3 und Hausaufgabe 1.
Anmerkung: Die kleine Übung bietet Raum zur Diskussion über die Aufgaben. Nutzen Sie die
kleine Übung, um über die Begriffe und Inhalte der Vorlesungen und der Aufgaben zu sprechen.
Es besteht kein Rechtsanspruch auf Lösungen für alle Aufgaben. Lösungen werden nicht veröffentlicht.
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