解析学 I 第 7回略解

解析学 I
第7回
略解
[7-1] (1) 定数関数 1 は [0, 5π/2] 上で Lebesgue 測度に関して可積分であり，
nx cos x ≤ 1 (x ≥ 0).
1 + nx
さらに，

0
(x = 0)
nx cos x
(
( 5π ])
=
n→∞ 1 + nx
cos x
x ∈ 0,
2
lim
であるから，Lebesgue の収束定理より
∫
5
2π
lim
n→∞
0
nx cos x
dx =
1 + nx
∫
5
2π
cos x dx = 1.
0
(2) 相加平均と相乗平均の関係より，
nx sin ex 1
1 + (nx)2 ≤ 2
であり，
1
は [0, 100] 上で Lebesgue 測度に関して可積分である．さらに，
2
nx sin ex
=0
n→∞ 1 + (nx)2
(x ∈ R)
lim
であるから，Lebesgue の収束定理より，
∫
100
lim
n→∞
[7-2] (1)
∫
nx sin ex
dx =
1 + (nx)2
0
∫
100
0 dx = 0.
0
∫
f dµ =
{|f |≥n}
X
f · 1{|f |≥n} dµ,
|f · 1{|f |≥n} | ≤ |f | かつ |f | は可積分であり，f (x)1{|f |≥n} (x) → 0 a.e. であるから，Lebesgue の
収束定理より，
∫
lim
n→∞
∫
f dµ =
{|f |≥n}
(2)
0 dµ = 0.
X
∫
nµ({|f | ≥ n}) =
X
n · 1{|f |≥n} dµ,
|n · 1{|f |≥n} | ≤ |f | かつ n · 1{|f |≥n} → 0 a.e. であるから，Lebesgue の収束定理より
∫
lim nµ({|f | ≥ n}) =
n→∞
0 dµ = 0.
X
1
[7-3] (1) {|f | · 1[0,n] }∞
n=1 は非負単調増大列だから，単調収束定理より
∫
∫
∫
|f | dµ = lim
n→∞
I
n
|f | · 1[0,n] dµ = lim
n→∞
I
|f (x)| dx < ∞.
0
(2) |f · 1[0,n] | ≤ |f | かつ f · 1[0,n] (x) → f (x) であり，|f | が可積分なので，Lebesgue の収束定理
を用いて
∫
n→∞
∫
n
lim
∫
f (x) · 1[0,n] (x) µ(dx) =
f (x) dx = lim
n→∞
0
[7-4] n ≥ 2 に対して,
I
f (x) µ(dx).
I
1 1
1 + xn ≤ 1[0,1] (x) + 1 + x2 1[1,∞) (x)
(x ≥ 0)
かつ上の式の右辺は [0, ∞) 上で可積分である. さらに，


1 (x ∈ [0, 1))


1
1
lim
=
(x = 1)
n→∞ 1 + xn

2


0, (x ∈ (1, ∞))
であるから，Lebesgue の収束定理より
∫
∞
lim
n→∞
0
1
dx =
1 + xn
[7-5] 測度空間 (X, M, µ) において可測集合列 {An }∞
n=1 が
∫
1
1 dx = 1.
0
∞
∑
µ(An ) < ∞ をみたすとき，B. Levi の定
n=1
理から
∫ (∑
∞
X
)
1An (x) µ(dx) =
n=1
従って，系 3.12 (1) より
∞ ∫
∑
n=1
∞
∑
1An (x) µ(dx) =
X
∞
∑
µ(An ) < ∞.
n=1
1An (x) < ∞ µ-a.e. これは µ-a.e.x で x ∈ An となる n が有限個で
n=1
あることを意味しているから，µ
(
)
lim An = 0.
n→∞
コメント：もちろんこの証明は回りくどいのだが，このような形で定理間の関連性を見ておくのも
それなりに意義はあるだろう．
以上
2

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