2016年度実解析第一・第二配布問題 (第6回)

2016 年度実解析第一・第二配布問題 (第 6 回)
測度収束
fn : X → R (n ∈ N), f : X → R を F-可測関数とする． lim µ({x ∈ X | |fn (x) − f (x)| > δ}) = 0
n→∞
が各 δ > 0 で成り立つとき，「fn は f に測度収束する」という．
76 fn (x) :=
n
x
√ cos とおく．
n
1+n x
1
(1) 各 x > 0 で |fn (x)| < √ を示せ．
x
∫
(2) 各 b > 0 で lim
fn dm1 を求めよ．
n→∞
[0,b]
77 f : X
∫ → R を ∫µ-可積分関数とし，An := {x ∈ X | |f (x)| ≤ n}，fn := f · 1An とする．
lim
fn dµ =
f dµ を示せ．
n→∞
X
X
78 Y を位相空間とし，f : X × Y → R とする．各 x ∈ X で f (x, ·) は連続，かつ，各 y ∈ Y で
f (·, y) は F-可測とする．さらに，ある µ-可積分関数
g : X → R̄ により，|f (x, y)| ≤ g(x) が各
∫
x ∈ X, y ∈ Y で成り立つとする．このとき y 7→
f (x, y)µ(dx) で定まる関数は Y 上の連続関
X
数になることを示せ．
79 fn : X → [0, ∞] (n ∈ N) を可測関数の列とし，ある可測関数 f に各点収束しているとする．
∫
(1) lim
fn dµ = 0 であれば，µ({x ∈ X | f (x) > 0}) = 0 となることを示せ．
n→∞ X
∫
∫
(2)
f dµ = ∞ であれば， lim
fn dµ = ∞ となることを示せ．
n→∞
X
X
80 fn : X → [0, ∞] (n ∈ N) を可測かつ
µ-可積分な関数の列とし，ある
µ-可積分関数 f に各点収
∫
∫
束しているとする．また， lim
n→∞
f dµ をみたすとする．
fn dµ =
X
∫
X
(a) gn := min{fn , f } とする． lim
gn dµ =
n→∞ X
∫
(b) lim
|fn − f | dµ = 0 を示せ．
n→∞
∫
f dµ を示せ．
X
X
81 次の値を求めよ．
)3/2 (
)3/2 )−1
∫ 1 ((
1
2
1
ne
cos(n2 x2 )dx
(b) lim
(a) lim
x+
− x+
dx
n→∞ n 0
n→∞ 0
n
n
∫ ∞ √
∫ ∞
∫ ∞
x
1/n
−x2
n
ex(1−x ) dx
e
sin x dx
(d) lim
dx
(e) lim
(c) lim
e
n→∞ 1
n→∞
n→∞ 0
n+x
1
∫ n(
∫ n(
)
)
n
n
x
x
1−
1+
(f) lim
e−x dx
(g) lim
e−x dx
n→∞ 0
n→∞ 0
n
2n
∫
π
−n2 x
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82 * Q の要素全体に番号を振ったものを (rm )∞
m=1 とおく．
∫ 1
∞
∑
1
また，fn (x) =
とおく． lim
fn (x)dx を求めよ．
n→∞ 0
2m (1 + n2 (x − rm )2 )
m=1
83 f : X → R̄, g : X → R̄ を可測関数とする．{x ∈ X | f (x) = g(x)} ∈ F を示せ．
84 * µ を有限測度とする．fn (n ∈ N) を X 上の可測関数列とし，n → ∞ で f に概収束していると
する．また，AM,n := {x ∈ X | |fn (x) − f (x)| ≤ 1/M } とする．
(1) am ∈ N (m ∈ N)， lim am = ∞ とする．
m→∞
∞
∩ ∩
AM,n 上で fn は f に一様収束すること
M ∈N n=aM
を示せ．
(2) 任意の δ > 0 に対して，Aδ ∈ F で，
「µ(Acδ ) < δ 」かつ「Aδ 上 fn が f に一様収束」をみた
すものが存在することを示せ．
85 µ を有限測度とする．可測関数列 fn : X → R (n ∈ N) が n → ∞ で可測関数 f : X → R に概収
束するならば，測度収束する事を示せ
86 µ が有限測度になるような測度空間 (X, F, µ) と可測関数列 fn (n ∈ N ∪ {∞}) で，fn が f∞ に
測度収束するが概収束しないようなものの例を挙げよ．
87 * µ を有限測度とする．fn : X → R (n ∈ N), f : X → R を可測関数とする．以下の 2 条件
(i) fn が n → ∞ で f に測度収束する．
(ii) 有界，単調非減少，φ(0) = 0 かつ 0 で連続な，ある関数 φ : [0, ∞] → [0, ∞) で
∫
lim
φ(|fn − f |)dµ = 0.
n→∞
X
が同値になる事を示せ．
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