Page 1 京都大学 京都大学学術情報リポジトリ 紅

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量子古典対応とデコヒーレンス(第5回『非平衡系の統計
物理』シンポジウム)
鎮目, 浩輔; Habib, S.
物性研究 (1999), 71(5): 895-901
1999-02-20
http://hdl.handle.net/2433/96560
Right
Type
Textversion
Departmental Bulletin Paper
publisher
Kyoto University
「第 5回 『
非平衡系の統計物理』シンポジウム」
量子古典対応 とデコヒー レンス
.
H
a
bi
b (ロスアラモス研究所)
鎮 目浩輔 (
図書館情報大) 、S
要旨
量子力学か ら古典力学 を導 く方法 と して しられている 2つの方法 :
hを小 さ くす ること
と、デコヒー レンスを入れる方法、の 2つ について、その効果 を数値計算 を用 いて定量的
に調べた.系 としては作用/
hが 600程度の ものを調べ、量子力学的平均値 と古典力学で
n
e
r
関数 と古典確率密度 を比較 した。 その結果、次 を得
の アンサ ンブル平均 、お よび耶g
た :作用/
hが大 きい系では古典 と量子で平均値 の差 はオーダー としてhL
こ比例 して小 さく
なる。 デ コヒー レンス (ノイズ) を与 える と量子 的平均値 と古典 的平均値 は非常 に近づ
i
g
n
e
r
関数 と古典分布関数 自身の形 もよ く似 て くる。ただ し量子で も古典で も
き、 さらにW
ノイズによ り平均値が大 きく変わ り、その結果 として双方が近い値 をとることになる。
1は じめに
巨視的物体の運動 は古典力学 によって支配 されるが、巨視的物体 を構成す る原子 は微視
的世界の運動法則である量子力学 によって支配 される。 したが って古典力学 を量子力学か
ら導 き出す とい う問題 は基本的で重要である。 この間題 は次の ように 2つに分け られる。
1)ある系 に古典力学 と量子力学 を単純 に適用 した場合、時間発展 は どの程度異 なるか。
その違いは系の どの ような性質で決 まるか。
2)系のスケールを巨視的にする と、その違 いがなぜ消 えるか。
もし 1)で もともと違 いがないなら 2)は考 える必要はないわけである。本研究 はこれ ら
の問題 を目的 として、 まず 1) を調べ るのため、ある系で量子力学的 な時間発展 と古典力
学的な時間発展 を数値計算で求め、比較す る. さらに 2)のため に、hを小 さ くす ること
と系 にデ コヒー レンスを 与 えることの 2つ を行 い、それぞれの効果 をやは り数値 的 に見
る。
量子力学 と古典力学では基本概念 自身が違 うため、何 と何 を比較す るか とい うこと自体
が問題である。 ここでは系の時間発展 に注 目 し、同 じ初期条件か ら出発 した場合 に量子 と
古典で発展が どの ように違 うかを問題 とす るのであるが、 この間題 について よ く知 られた
議論 の一つ にEh
r
e
n
es
f
t
の定理がある。 これは量子力学 に従 って運動す る波束での座標の
量子力学的平均値<x>q と古典力学 に従 う-粒子 の座標xcを比較 して、両者 が一致す る
ための条件 を示 してい る。 しか しBa
l
l
e
nt
i
ne
(
1
9
9
4
)
はEh
r
e
nf
es
t
の定理 は不十分 であ るこ
とを示 した。彼 は<x>q と比較すべ きは古典的な1
粒子の座標xcではな く、多数の古典粒
子か らなる集団上で とるアンサ ンブル平均 <x>Cであると主張 した.そ してい くつかの系
で数値計算 をお こない 、 < x>q とxcが大 き く異 なった後で も、<x>q とくx>Cは長 い時
間にわたって近い値 を取 ることを数値計算で示 した。 そこで ここで もそれに従い、量子平
均 と古典 ア ンサ ンブル平均 を比較することにする. ただ し平均値 だけな く運動量 pの平均
値 や xや p のモ ーメ ンツ等 の比較 もす る。 さらに、量 子論 的 な分布 関数の一種 で あ る
Wi
g
n
e
r
関数 (
Hi
l
l
e
r
y1
9
8
4
)と古典確 率密 度 (
Li
o
u
vi
l
l
e方程式 に従 う もの) の比較 も行
う。 よ く知 られているようにW
i
g
n
e
r
関数 は負 の値 もとるため古典確率密度 との比較 は問題
があるが、少 な くとも両者が同 じになれば、それは xと pのモーメ ンツがすべての次数 に
-
8
95
-
研究会報告
渡 って一致することを意味す る。
2 比較の方法
ここでは何 を計算 して どう比較す るか を述べ、実際の計算 については次の章で述べ る。
1)初期条件 初期条件 は、量子 と古典で同 じに とらなければな らない。 「同 じ」の意
味 を、上 と同様 にすべ ての次数のモーメンツが一致す る、 ととるな らば古典分布 関数丘と
Wi
g
n
e
r
関数f
wを同 じ形 にとればよいが、任意の分布関数 力
珊i
g
n
e
r
関数 として適当なわけで
はない (
Wi
g
n
e
r
関数 は密度行列か ら作 られなければならないが任意の関数に対 してそれ を
Wi
g
n
e
r
関数 とする密度行列が存在す るわけではない) 。 しか し、幸 いガウス分布 に関 して
n
e
r
関数 とす る密度行列が存在する。 そこで、初期分布 は古典、量子 ともに
は、それ をmg
次のガウス分布 にとる :
f
w(
t-0,-fc
(
I-0,-忘
e
xp卜完 許
一撃
三]
,
ただ し、∂
ゆ =qh/
2が成 り立つ とす る。 ここでJは状 態の混合 の度合 い をあ らわすパ ラ
wに対応す る密度行列 をpとす るとq
=(
T
r
p2
)
-1
の関係 にあ り、o
・
=1なら純粋
メー タで 、f
なら混合状態 になる.6
x,
a
p はそれぞれ波束の Ⅹ方向、 p方向の広が り、 xi
状態 、q>1
とpi
は波束の中心である。
2)運動方程式 時間発展 を解 くための方程式は、量子の場合S
c
h
r
o
di
n
g
e
r
方程式である
i
g
n
e
r
関数の運動方程式
が、ここでは初期状態 として混合状態 も扱 うのでW
-1
)
'
z a2n・l
v旦 巴 包
a-1 22
n(
2n+I
)
!a
x2
n
'
l a
p2
n
'l
∂
Jニト豊 富・慧舌vw・Qc,ただ しQc-∑n
勉
h2
n(
も解 く。本論文 で扱 うポテ ンシャ ルVはた かだか 4次の多項式 なので、量子補正項 Qcは項
が一つだけになる. 古典の運動方程式 は原理的 には上 の式か らQcを取 り除いたL
i
o
u
vi
l
l
e
方程式 を解けば よいが、 これは分布関数の構造が非常 に微細 になってい くため数値的解法
は困難が伴 う。 そこで初期分布か ら多数の初期条件 をサ ンプリング し、それ らについて独
e
wt
o
n
方程式 を解 き、平均等 を求める。
立 にN
3)古典極限
あるh
で量子 と古典 の差 を求めた後 、hを小 さ くしてその差が どう変 わるか をみたい. し
か しh
c
ま初期分布 に も現れるため、た とえば最小波束 に保 ちつつhを小 さくすれば初期分布
は小 さ くなってい く。 この ようにす る とh一0の極限は特異 になることが知 られている(
例
a
k
a
h
a
s
hi1
9
8
9
)
Oそこでここでは初期分布 を不変 に保 ちつつhを小 さくする. ガウ
えば、T
ス分布 にh
c
ま必ず とUとの積 の形でのみ現 れるので、 これはhを小 さ くしつつ もUを大 きく
してh
qを一定 に保つ ことを意味する.つ まり分布 は不変 に保 ちつつ、状態の混合度 を上げ
てい くことになる。
4)デコヒー レンス
上記 は純粋 な発展、つ ま りノイズが入 らない場合の時間発展である。 デ コヒー レンス を起
こすためにノイズを入れた場合の量子的発展 は高温極限では上の項 に拡散項 を入れた量子
-8
9
6-
「
第 5回 『
非平衡系の統計物理』 シンポジウム」
F
o
k
k
e
トP1
a
n
c
k
方程式
普
-[
一念 孟 十雷 か
D% -
Qc
によ り記述 される (
C
al
d
ei
r
a1
9
8
3
)
。ただ しここでは散逸 よりも拡散 の効果 に興味がある
を取 り除いたF
o
k
k
e
r
Pl
a
n
c
k方程
ので拡散項 は落 と してい る. 古典 の場合 はこれか らQc
式 を解けば よい。
5)最後 に比較する系である。B
al
l
e
n
t
i
n
e
は量子 と古典の一致 を強調 してるが、 よ く知 ら
れてるように、干渉効果が大 きい と量子 と古典の違いは大 きくなるはずである。 そ こで干
渉 を起 こすため、 2重井戸ポテンシャルをとり、中心の不安定点 ちか くか ら波束 を出発 さ
せ る。 こうす ると波束は 2つ にわかれてた後、 また中心 に戻 り衝突 して干渉 しあ うことに
なる. そ して以下 に示す ように、<x>qとくx>Cが大 きく碓れる.そこでhを変 え、 また
デ コヒー レンス を加 えて、 2つの平均値 の差が どう変 わるか を見 る。 なお比較のため、作
用/
カが 1程度の系 をとり同 じ計算 を しているのでその結果 に も簡単 に触れる。
3 系 と計算結果
ここで詳 しく説明する系は、ポテ ンシャルが 2重井戸
V=0.
5
x4- 1
0
x2
で与 えられる系で、初期条件 は
=0.
05,pL
=0,
xi
8
x=
0.
1
,
6
p=
0.
5,qh=
0.
1
.
とする。 この場合、系の 「
古典皮」 を示す作用/
hC
ま600程度 になる.
1)古典力学 と量子力学 を 「
単純 に」適用 した場合
c
h
r
o
e
di
n
g
e
r
方程式 を解いて得 られたくx>qと多数のニュー トン方程
上記の初期条件でS
i
g
.
1
(
a
)
に示す。 この図か らわかるのは次のことである :
式 を解いて得 られた<x>CをF
・波束が別れてか らまたぶつかる時点ではっきりした差が生 じる。
・hを減 らす につれて差 も減少 してい く.
i
g
.
1
(
b
)
である. 差の最大値 はほぼ l
/
hで減少す ることが分か
差 自身 をプロ ッ トしたのがF
る。
次 にW
i
g
n
e
r
関数f
w(
x,
p)と古典的な粒子の分布 を比較す る.F
i
g
.
2(
a
)がJ= 1
でのW
i
g
n
e
r
関数f
w(
x,
p)
、Fi
g
.
3(
a
)
が同 じt
で古典粒子の分布である (
一つの点がr-1
での一つのサ ン
プルの座標 をあ らわす。両 図の (
b
)は、t
=
3
.
5
でのそれぞれであ る。 これ よ りわか る よう
に、両者 は非常 に異 なる とい う点で高橋 の結果 (
T
a
k
a
h
a
s
hi1
9
8
9
)と一致する.Wi
g
n
e
r
関数
の特徴 は速い振動であるが、 これは量子的な干渉 による ものである。 また注 目すべ きは、
t-2で は まだ平均 値 には違 いが現 れてい ないの に、それ以前 の t
=
1
ですで に分布 関数
(
古典分布関数 とW
i
g
n
e
r
関数)は非常 に異 なっている、 とい うことである. 逆 に言 うと、
分布関数が異 なっていて も平均値 は違 っているとは限 らない、 とい うことである。 ここで
はT
a
k
a
h
a
s
hi
が主張す るように両方の分布関数 を租税化す ることによ り違 いがあ る程度小
さ くなる と推測 される。 しか しt
=
3
.
5
で は平均値が大幅 に異 なることか ら、分布 自身 も粗
視化では消せ ない違 いが存在することになる。
-8
9
7-
研究会報告
2)デ コヒー レンス を加 えた場合
次 にこの系 にノイズ を加 えてデコヒー レンス を起 こ した場合である0Fi
g.
4に平均値 の
時間変化 を示す。q
u
n
oi
s
y,cl
n
oi
s
yとラベル付 け された線がそれぞれ量子でデ コヒー レ
ンスのある場合、古典で ノイズがある場合 である。比較のために、Fi
g.
1の古典的平均値
とh-0
.
1の場合の量子的平均値 もそれぞれc
l
q
ui
et
,q
u
q
ui
etとラベル付 け して並べ てあ
る。 この図か ら次の事が分かる
・古典 と量子で平均値の差が非常 に小 さくなっている。
・q
u
q
ui
e
tとq
u
n
oi
s
yを比べ る と大 き く異 なってい る。一方、Cトq
ui
e
tとcl
n
oi
s
yを比
べて も同 じことがいえる。つ まり、古典で も量子で もノイズは平均値 を大 きく変 える。そ
して変わった結果の値が互いに近 くなっている。
・ノイズの影響が大 きく異 な り始め るのは、 ち ょうどデコヒー レンスな しの古典 と量子
の平均値が違い始めるあた りで もある。
次 にこの場合の 、t
3.
5における古典分布関数 とWi
g
n
e
r
関数 をそれぞれFi
g.
5とFi
g.
6に
g
n
e
r
関数の干渉部分が消 え、両者が よ く似ていることがわかる。
示す。Wi
4 まとめ
以上 をまとめると次の とお り :
デコヒー レンス無 しの場合 、<x>qとくx>Cは確 かに干渉 を起 こすあた りで大 き く異 な
る。 その差 はおお ざっぱにいってプランク定数の逆数で小 さ くなる。 また古典分布関数 と
Wi
g
n
e
r
関数 を比べ ると、平均値が異 なる前 に、すでに干渉によ り違 った様相 を見せ る。
デ コヒー レンス を起 こす と差 は小 さ くなるが、起 こす前の値 か らも大 き く変化す る。量
子で も古典で もこの点 は変わ らない。つ ま り、 どちらが よ りノイズに強い、 とい うことは
g
n
e
r
関数 自身が よ く似 て くるとい う点でデコヒー レンスは量
ない。 また古典分布 関数 とWi
子古典対応 を非常 に良 くすると言 える。
なお作用/
hが小 さい系 としてV=x
4/
4をとり、初期条件 として
xi
=0
.
2,
p,
・
=0
,
6
x=0.
1
,
a
p=0.
1をとって同様 の計算 を行い、その結果次 を得ている :
・デコヒー レンスが ない場合 、<x>qとくx>Cの差 はhを小 さ くす るにつれ (
上記の系 と
は異 な り)hよりも速 く小 さ くなる.
・デ コヒー レンスを与 えて も量子 一古典の差 はなかなか小 さくならない。
上記の系の ように小 さ くするには、元 の運動が跡形 もな く変わるほ ど大 きなノイズ を与 え
なければならない。分布関数 に関 して も同様で、似 た形 にするのは大 きなノイズを与 える
必要がある. これは、系のサ イズに比較 してWi
g
n
e
r
関数の振動が細 か くないため と考 えら
れる。
今後 の課題 は、まず上の結果が一般的な ものか どうか を調べ るために他の系での計算や解
析的 な分析が必要であ る。次 に、量子 で も古典で もノイズ よ り期待値が同程度 に変わる と
い う結果 を得 た。 これは、量子では干渉が重要であ り、それは古典分布 よ りもノイズに対
して弱 い とい う直観 に反す る。 しか しこれはあ くまで-粒子 について得 られた結果 であ
P
R状態 な どの場合 について調べ ること
り、複数の粒子が量子相関 を持つ場合、た とえばE
が興味深い。
-8
9
8-
「
第 5回 『
非平衡系の統計物理』 シンポジウム」
謝辞
この研 究 の数値 計算 は ロス ア ラモ ス研 究所 A
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2に対す る量子的な<
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) 古典、お よびh=0
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研究会報告
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0
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-
OL
Fi
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3(
a
)t
1の古典的粒子の分布 (
各点が 1つの粒子
の座標 を表す)
OL
g
0
g-
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OL
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Fi
g
.
2(
b
)t
3
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5のWi
g
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の粒子の座標 を表す)
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非平衡系の統計物理』 シンポジウム」
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5における、Dec
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g
ner関数
g
0
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OL
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Fi
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5における古典確率密度 。Noi
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場合。
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