集合の要素の個数 第１章 場合の数と確率 §１ 場合の数 ※数学Aの内容 pp.6-9 目標 集合の要素の個数がわかる 包除原理を用いて和集合の要素の個数を求めら れる カルノー図を用いて集合の要素の個数を求めら れる 2 キーワード 有限集合 無限集合 集合の要素の個数 包含と排除の原理（包除原理） カルノー図 3 集合の要素の個数 要素が有限個である集合を有限集合という 有限集合でない集合を無限集合という 有限集合 の要素の個数を で表す のとき 4 集合の要素の個数 を全体集合, , を の部分集合とする。 , , のとき 1 2 4 3 5 5 集合の要素の個数 を全体集合, , を の部分集合とする。 , , のとき 1 2 4 3 5 ド・モルガンの法則の利用も検討 6 補集合の要素の個数 を全体集合, を の部分集合とする。 このとき, 次が成り立つ ✔ は から の要素を除いた集合と考えられる ✔ から の要素を除いた集合を で表す（差集合）7 補集合の要素の個数 を全体集合, , を の部分集合とする。 , , のとき 1 2 4 3 5 8 包含と排除の原理（包除原理） , について が成り立つ（包除原理） 包除原理において, のとき が成り立つ（和の法則） 9 包含と排除の原理（包除原理） のとき 重複して数え た部分を引く 10 Ex. 100以上200以下の自然数のうち, 次のような 数の個数を求めよ。 (1) ３の倍数 (2) ３の倍数でない (3) ３の倍数かつ５の倍数 (4) ３の倍数または５の倍数 11 Ex. 100以上200以下の自然数のうち, 次のような 数の個数を求めよ。 200以下の自然数 (1) ３の倍数 99以下の3の倍数の個数は （個） 100以上 200以下 99以下 200以下の3の倍数の個数は （個） ゆえに, 100以上200以下の自然数で３の倍数は （個） 12 Ex. 100以上200以下の自然数のうち, 次のような 数の個数を求めよ。 (1) ３の倍数（別解） ３の倍数は （ は自然数）と表せる 最小は 最大は ３の倍数の集合を とおくと （個） 13 Ex. 100以上200以下の自然数のうち, 次のような 数の個数を求めよ。 (2) ３の倍数でない 〜でないは補集合を 考えるとよい ３の倍数でない集合は で表せるから 100以上200以下の自然数の集合を とおくと より 補集合の要素の個数 （個） 14 Ex. 100以上200以下の自然数のうち, 次のような 数の個数を求めよ。 (3) ３の倍数かつ５の倍数 かつは共通部分 ５の倍数の集合を とおくと ３の倍数かつ５の倍数の集合 は と表せる。 最小公倍数 これは15の倍数の集合だから （個） 15 Ex. 100以上200以下の自然数のうち, 次のような 数の個数を求めよ。 (4) ３の倍数または５の倍数 ３の倍数または５の倍数の集 合は と表せるから またはは和集合 包除原理 （個） 16 カルノー図の利用 100人の人を対象に二つの提案①と②への賛否 を調べたところ, ①に賛成の人は77人, ②に賛 成の人は83人, どちらにも賛成の人は66人い た。このとき, どちらにも賛成でない人は何人 いるか。 ①に賛成の人の集合を , 反対の人の集合を , ②に賛成の人の集合を , 反対の人の集合を としてカルノー図にまとめる 17 カルノー図の利用 カルノー図 合計 合計 ①に賛成 ①に反対 合計 ②に賛成 ②に反対 ② 合計 66 ① 17 11 ⑤ 6 77 ③ 23 83 ④ 17 100 18 演習 教科書pp.6-9を解きなさい クリアーpp.90-92を解きなさい チャート式pp.209-211を解きなさい 19
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