1 0 ≦ x ≦ 2 - SUUGAKU.JP

年番号
1
0 5 x 5 2 とする．
4
(1) sin ¼x + cos 2¼x = 0 を満たす x の範囲を求めよ．
氏名
実数 x; y に対して
A = 2 sin x + sin y;
B = 2 cos x + cos y
(2) (1) で求めた x の範囲に対し，
とおく．
log2 (3 + x) + log2 (5 ¡ x) = log2 (16 ¡ k)
(1) cos(x ¡ y) を A; B を用いて表せ．
(2) x; y が A = 1 を満たしながら変化するとき，B の最大値と最小値，およびそのときの sin x，
の解がひとつだけであるような実数 k の範囲を求めよ．
cos x の値を求めよ．
（三重大学 2016 ）
（東北大学 2014 ）
2
座標平面において，原点 (0; 0) を中心とする円に内接する正三角形で，点 (3; 4) を頂点の 1 つ
とするものを考える．この三角形の他の 2 つの頂点の座標を求めよ．
（東京女子大学 2015 ）
5
座標平面上に点 A(¼; 1) がある．また，関数 y = cos x のグラフ上に点 P をとり，A と P との
中点を Q とする．以下の問いに答えよ．
(1) P の座標を (t; cos t) とするとき，Q の座標を t を用いて表せ．
3
(2) Q の座標を (x; y) とするとき，y を x の関数として表せ．また，y の最大値と最小値を求めよ．
次の問いに答えなさい．
(3) (2) で求めた関数を f(x) とする．2 つの関数 y = cos x と y = f(x) のグラフを同一の座標
(1) 次の等式が成り立つことを示しなさい．
平面上に描け．ただし，どちらも 0 5 x 5 2¼ の範囲で描け．
cos 3µ = 4 cos3 µ ¡ 3 cos µ
(4) (2) で求めた関数を f(x) とする．2 つの関数 y = cos x と y = f(x) のグラフの交点につい
て，その y 座標の取り得る値をすべて求めよ．ただし，x の範囲はすべての実数とする．
(2) cos 54± の値を求めなさい．
（岩手大学 2014 ）
(3) 頂点と重心との距離が r の正五角形の面積を求めなさい．
（福島大学 2015 ）
6
p
さいころを 2 回続けて投げる．出た目の数の積を A とし，B = A とおく．このとき，次の問
いに答えよ．
9
実数の定数 a; b に対し，関数 f(x) = sin2 2x ¡ a(4 cos2 x ¡ cos 2x ¡ 2) + b が与えられて
いる．
(1) A が奇数となる確率 p と B が整数となる確率 q を求めよ．
B
B
¼
; + ( 3 ¡ 1) cos x とおくとき，f(x) = C sin x + D cos x となる定
(2) f(x) = 2 sin #x +
4
¼
における f(x) の最大値 M と最小値 m の値を求めよ．
数 C と D を求めよ．また，0 5 x 5
2
B
B
5¼
¼
; + (1 ¡ 3) cos x を f(x) を用いて表せ．また，0 5 x 5
にお
(3) g(x) = 2 sin #x +
4
2
ける g(x) の最大値 N と最小値 n の値を求めよ．
B
B
¼
¼
; + (¡1)A ( 3 ¡ 1) cos x とおく．
に対して T(x) = 2 sin #x + A¼ +
(4) 0 5 x 5
2
4
T(x) > 0 となる確率 r を求めよ．
(1) t = cos 2x として f(x) を t; a; b を用いて表せ．
(2) すべての実数 x に対して不等式 ¡1 5 f(x) 5 3 が成り立つような点 (a; b) の範囲を図示せよ．
（鳥取大学 2014 ）
10 r > 0 とする．座標平面上の原点以外の点に対し，2 種類の移動 A，B を以下のように定める．
移動 A Ý (r cos µ; r sin µ) にある点が #r cos #µ +
¼
¼
; ; r sin #µ +
;; に動く．
6
6
移動 B Ý (r cos µ; r sin µ) にある点が ((r + 1) cos µ; (r + 1) sin µ) に動く．
（九州歯科大学 2014 ）
7
¼
とする．座標平面上に，原点 O を中心とする単位円 C 上の点 P(cos t; sin t) と，
2
x 軸上の点 Q(cos t; 0) をとり，点 P における C の接線を ` とする．また，点 Q から ` に下ろ
0<t<
した垂線と ` との交点を R とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 接線 ` の方程式を求めよ．
動点 K は点 (1; 0) を出発し，上記 A，B いずれかの移動をくり返しながら座標平面上を動くと
(2) PR と QR を t を用いて表せ．
(3) (2) で求めた PR を x(t)，QR を y(t) とする．点 S(x(t); y(t)) の軌跡を求めよ．
（愛知教育大学 2014 ）
8
座標平面において，動点 P(x; y) は単位円 C 上の点 Q(1; 0) を出発し，C 上を反時計回りに 1
周する．弧 PQ の長さは，出発してからの時間に比例する．P が 1 周するのに T 秒かかる．こ
する．
(1) 動点 K が B，A，B，B の順に 4 回の移動を行ったとき，到達する点の座標は
C
( 49
51 ) である．
50 ;
(2) 動点 K が 7 回の移動で点 (0; 5) に到達する経路は
52
p
3 3
3
< を通らないものは 54
$ ;
55 通りある．
2
2
53
通りあり，そのうち点
以下，p を 0 5 p 5 1 を満たす定数とする．動点 K は各回の移動において，確率 p で移動 A
のとき，以下の問いに答えよ．
(1) 出発してから t 秒後（ 0 5 t 5 T ）の点 P(x; y) について x; y を t と T を用いて表せ．
T
(2) 出発してから t 秒後（ 0 5 t 5
）の点 P(x; y) に対して z = 2x2 + xy + y2 を考える．z
4
の最大値と最小値を求めよ．また最大値，最小値をとるのは出発してから何秒後か T を用いて
を，確率 1 ¡ p で移動 B を行うものとする．
(3) 動点 K が 5 回の移動で到達する点の座標が (0; 3) である確率 P を，p を用いた式で表しな
さい．
(4) 動点 K が 3 回の移動で到達する点の y 座標を a とするとき，a2 の期待値 E を p を用いた式で
表せ．
表しなさい．
（群馬大学 2014 ）
（慶應義塾大学 2014 ）

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