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年番号
1
複素数 ® が ®3 = 1 かつ ® Ë 1 をみたすとき，以下の設問に答えよ．
5
氏名
すべての実数 m に対して，次の x についての 2 次方程式が実数解をもつときの，a の値の範囲
を求めよ．
(1) ®2 + ® + 1 = 0 を示せ．
(2) (® + 1)2015 の値を求めよ．
x2 ¡ 4x + 3 + m(x ¡ a) = 0
（東京女子大学 2015 ）
（奈良教育大学 2014 ）
2
3 次方程式 3x3 + 8x2 + 6x + 1 = 0 の解を ®; ¯; ° とする．このとき ®2 + ¯2 + °2 の値を求
めよ．
n は整数の定数とし，P(x) = x(x + 1)(x + 5) とする．次の問いに答えよ．
(1) x についての 3 次方程式 P(x) = P(1) を解け．
（高崎経済大学 2010 ）
3
6
(2) x についての 3 次方程式 P(x) = P(n) が異なる 3 つの実数解をもつとき，n の値を求めよ．
（富山県立大学 2014 ）
次の問いに答えなさい．
(1) すべての実数 x に対して
7
x が実数全体を動くとき，関数 4 cos 2x ¡ cos x の最大値と最小値を求めよ．
x4 ¡ 19x2 + 9 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
（学習院大学 2016 ）
8
となるような整数 a; b; c; d の値を求めなさい．ただし a = c とする．
(1) t = cos µ ¡ sin µ とおくとき，y を t の式で表しなさい．
(2) 4 次方程式 x4 ¡ 19x2 + 9 = 0 の解を求めなさい．
(2) µ が 0 5 µ 5 ¼ の範囲を動くとき，t の動く範囲を求めなさい．
(3) 不等式 x4 ¡ 19x2 + 9 < 0 を満たす x の範囲を求めなさい．
（尾道市立大学 2016 ）
4
t を定数とする 2 次方程式 z2 ¡ tz + t ¡
関数 y = sin µ cos µ ¡ sin µ + cos µ について考える．以下に答えなさい．
(3) µ が 0 5 µ 5 ¼ の範囲を動くとき，y の最大値，最小値と，それらを与える µ の値をそれぞれ
求めなさい．
1
= 0 について，次の各問に答えよ．ただし，定数 t
2
（慶應義塾大学 2015 ）
は実数とする．
9
(1) この 2 次方程式が実数解をもち，すべての解が ¡1 以上 1 以下であるような定数 t の値の範囲
正の整数 n に対して，半径 1 の円に内接する正 4n 角形の面積を Sn とし，外接する正 4n 角形の
面積を Tn とする．このとき，Sn > 0:95Tn となる最小の数 n を求めよ．
を求めよ．
（埼玉大学 2014 ）
(2) この 2 次方程式が 2 つの共役な虚数解 z = x § yi（ x; y は実数，i は虚数単位）をもち，
10 直角三角形でない三角形 ABC において，頂点 A，B，C に対応する角の大きさを A，B，C で
x2 + y2 5 1 を満たすような定数 t の値の範囲を求めよ．
（宮崎大学 2014 ）
表すことにする．このとき，次の 3 つの等式が成り立つことを証明せよ．
(1)
cos A
1
=1¡
sin B sin C
tan B tan C
(2) tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C
(3)
cos A
cos B
cos C
+
+
=2
sin B sin C
sin C sin A
sin A sin B
（埼玉大学 2014 ）

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