Präsenzblatt 1

Prof. Dr. Rainer Dahlhaus
Wahrscheinlichkeitstheorie 1
Sommersemester 2016
Vorbereitung auf 1. Übungsblatt (Präsenzübungen)
Aufgabe P1 (Elementare Eigenschaften von Semialgebren, Algebren und σ-Algebren).
Seien Ω, X nichtleere Mengen.
(a) Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel: Im Allgemeinen ist der Schnitt zweier Semialgebren
auf Ω nicht notwendig wieder eine Semialgebra.
Bemerkung: Deswegen gibt es im Allgemeinen keine von einem Mengensystem erzeugte
Semialgebra.
(b) Zeigen Sie die folgenden Aussagen für G ⊂ P(Ω):
(i) Gilt Ω ∈ G und für alle A, B ∈ G : A ∩ B c ∈ G, so ist G eine Algebra.
(ii) Gilt Ω ∈ G und G ist abgeschlossen bzgl. Komplementbildung und Vereinigung
endlich vieler disjunkter Mengen, so muss G keine Algebra sein.
(c) Sei T ⊂ Ω und A eine σ-Algebra über Ω. Zeigen Sie, dass AT := {A ∩ T : A ∈ A} (die so
genannte Spur-σ-Algebra) eine σ-Algebra über T ist.
Hinweis: Anstelle eines direkten Beweises kann auch Übungsblatt 1, Aufgabe 1(c) genutzt
werden.
(d) Es sei f : X → Ω eine Abbildung und C eine σ-Algebra über X . Zeigen Sie, dass
D := {A ⊂ Ω : f −1 (A) ∈ C}
eine σ-Algebra (die so genannte Bild-σ-Algebra) über Ω definiert.
Aufgabe P2 (Beispiele für σ-Algebren).
Sei Ω eine nichtleere Menge.
(a) Sei A ⊂ Ω mit A 6= ∅, A 6= Ω. Zeigen Sie, dass A := {∅, A, Ac , Ω} eine σ-Algebra über Ω
ist.
(b) Es sei Ω := {1, 2, 3, 4}. Bestimmen Sie A({B1 , B2 }) über Ω im Falle
• B1 := {1, 2} und B2 := {2, 3}.
• B1 := {1, 2, 3} und B2 := {3, 4}.
(c) Sei n ∈ N, n > 2 und Ω = {1, ..., n} und γ = {A ⊂ Ω : #A = 2}. Berechnen Sie A(γ).
(d) Sei γ = {(0, n1 ] : n ∈ N}. Berechnen Sie A(γ) über Ω = (0, 1].
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Aufgabe P3 (Borelsche σ-Algebra).
Sei BR die Borelsche σ-Algebra über R, d.h. BR := A(EB ) mit EB := {U ⊂ R : U offen}. Zeigen
Sie, dass gilt: BR = A(Ei ), i = 1, 2, 3, wobei
(a) E1 := {[a, b] : a, b ∈ R},
(b) E2 := {(a, b) : a, b ∈ R},
(c) E3 := {A ⊂ R : A ist abgeschlossen}.
Hinweis: Nutzen Sie folgende Regel für Mengensysteme E, E 0 : Gilt E ⊂ A(E 0 ), so folgt bereits
A(E) ⊂ A(E 0 ). Um also A(E) = A(E 0 ) zu zeigen, muss nur E ⊂ A(E 0 ) und E 0 ⊂ A(E) gezeigt
werden.
Aufgabe P4 (Prinzip der guten Mengen).
(a) Das Prinzip der guten Mengen: Sei Ω eine Menge, E ⊂ P(Ω) und A = A(E) die von E
erzeugte σ-Algebra über Ω. Zeigen Sie:
(i) Um eine Aussage für alle Elemente A ∈ A zu zeigen, geht man wie folgt vor: Definiere B := {A ∈ A : A erfüllt die Aussage}. Es gelte E ⊂ B und B sei eine σ-Algebra.
Dann gilt A = B.
(ii) Um zu zeigen, dass zwei σ-Algebren A, C über Ω gleich sind, d.h. A = C: Es gelte
E ⊂ C ⊂ A (Die Inklusion C ⊂ A zeigt man z.B. mittels (i)). Dann gilt A = C.
(b) Es sei ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf (R, BR ). Zeigen Sie, dass für jedes A ∈ BR und
ε > 0 eine offene Menge U ⊂ R und eine abgeschlossene Menge K ⊂ R existieren mit
K ⊂ A ⊂ U und P(U \K) < ε.
(c) Sei BR die Borelsche σ-Algebra über R. Sei c ∈ R, c > 0. Definiere
c · BR := {c · B : B ∈ BR },
wobei
c · B := {cb : b ∈ B}.
Zeigen Sie, dass c · BR = BR . Die Borelsche σ-Algebra über R ist also skaleninvariant.
Hinweis: Nutzen Sie Aufgabe 4(b) des Übungsblatts 1 und wählen Sie für das Erzeugendensystem z.B. E1 aus Aufgabe 3 des Übungsblatts 1.
(d) Sei Ω eine nichtleere Menge und E ⊂ P(Ω). Zeigen Sie: Gilt A(E) = P(Ω), so existiert für
beliebige ω, ω̃ ∈ Ω mit ω 6= ω̃ ein E ∈ E mit 1E (ω) 6= 1E (ω̃).
Abgabe: Keine Abgabe. Dieses Übungsblatt wird (teilweise) in den Übungen besprochen.
Homepage der Vorlesung:
http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hu020/WT1/index.html
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