2.1.2. Beispiele für Funktionen, die keine Zufallsvariablen sind.

2.1.2. Beispiele für Funktionen, die keine Zufallsvariablen sind 1. Sei
(Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Ω′ , F′ ) ein meßbarer Raum. Weiterhin sei X : (Ω, F, P) → (Ω′ , F′ ) eine Funktion. Offensichtlich kann die Meßbarkeit
von X, d.h. die Eigenschaft 2
X −1 (A′ ) ∈ F,
A′ ∈ F′ ,
verloren gehen, wenn F zu klein ist.
(a) Sei Ω = {0, 1}, F = {∅, Ω} 3 und P[∅] = 0, bzw. P[Ω] = 1 4. Sei weiterhin
Ω′ = {0, 1} = Ω und F′ = Pot(Ω′ ). Schließlich sei X : Ω → Ω′ die Identität, d.h.,
X(ω) = ω, ω ∈ Ω.
Da {1} ∈ F′ und X −1 ({1}) = {1} ∈
/ F, ist X nicht meßbar, d.h. keine Zufallsvariable.
(b) Sei Ω = [0, 1], F = ∅, Ω, [0, 1/2], (1/2, 1] 5 und P mit P[∅] = 0, P[Ω] = 1
und P[[0, 1/2]] = P[(1/2, 1]] = 1/2. Sei weiterhin Ω′ = R und F′ = B(R) 6. X sei
wiederum die Identität, d.h., X(ω) = ω, ω ∈ Ω.
Da [1/4, 3/4] ∈ F′ und X −1 ([1/4, 3/4]) = [1/4, 3/4] ∈
/ F, ist X keine Zufallsvariable.
Hätte man in den beiden Beispielen in Ω die jeweils übliche σ-Algebra, d.h.
F = Pot({0, 1}), bzw. F = B([0, 1]), gewählt, wären die Funktionen X natürlich
meßbar, d.h. Zufallsvariablen gewesen 7.
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In der Mathematik sollte man immer auch versuchen, Begriffe durch Gegenbeispiele zu
erhellen.
2Vgl. Definition 2.1.A.
3Für dieses triviale Mengensystem sind die Eigenschaften einer σ-Algebra, vgl. Definition 1.3.A,
offensichtlich erfüllt.
4Nach Definition 1.3.B und Abschnitt 1.6(i) muß P diese Eigenschaften erfüllen.
5Diese σ-Algebra in [0, 1] wird üblicherweise natürlich nicht betrachtet.
6Die Wahl der Borelschen σ-Algebra, d.h. der kleinsten σ-Algebra, die alle Intervalle enthält,
ist für R die übliche.
7Dazu hätte in diesen Fällen auch noch das ursprünglich betrachtete Wahrscheinlichkeitsmaß
auf die übliche“ σ-Algebra F fortgesetzt werden müssen. Beispielsweise hätte man für P die
”
Gleichverteilung auf {0, 1}, bzw. auf [0, 1] wählen können.
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