Präsenzblatt 4

Prof. Dr. Rainer Dahlhaus
Wahrscheinlichkeitstheorie 1
Sommersemester 2016
Vorbereitung auf 4. Übungsblatt (Präsenzübungen)
Aufgabe P13 (Das Maßintegral auf Teilräumen).
Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum und Ω0 ∈ A fest. Weiter sei f : (Ω, A) → (R, BR ) ein messbare
numerische Funktion.
Sei (Ω0 , A0 , µ0 ) der eingeschränkte Maßraum mit A0 := A|Ω0 = {A ∩ Ω0 : A ∈ A} und
µ0 := µ|A0 . Sei f0 := f |Ω0 die entsprechend eingeschränkte Funktion. Wir wollen mittels "maßtheoretischer Induktion" zeigen, dass gilt:
Z
Z
Z
f dµ := f 1Ω0 dµ = f0 dµ0 ,
Ω0
falls eines der Integrale existiert.
Zeigen Sie dazu, jeweils unter Nutzung der vorher bewiesenen Aussage:
(a) Die Aussage gilt für alle Indikatorfunktionen f = 1A , wobei A ∈ A.
(b) Nutzen Sie die Linearität des Maßintegrals, um die Aussage für alle nichtnegativen primitiven Funktionen f : (Ω, A) → (R, BR ) zu zeigen.
(c) Zeigen Sie die Aussage für nichtnegative messbare numerische Funktionen f : (Ω, A) →
(R, BR ), indem Sie eine isotone Folge nichtnegativer primitiver Funktionen fi ↑ f betrachten.
(d) Zeigen Sie die Aussage für beliebige messbare numerische Funktionen f : (Ω, A) →
(R, BR ) durch die Aufspaltung f = f + − f − .
Aufgabe P14 (Linearität des Maßintegrals bzgl. des Integrators).
Seien (Ω, A) ein Messraum und (µn )n∈N eine Folge von Maßen auf diesem Raum, sowie (cn )n∈N ⊂
[0, ∞] eine Folge positiver reeller Zahlen. Es ist bekannt, dass
X
µ : A → [0, ∞], µ(A) :=
cn · µn (A)
n∈N
wieder ein Maß auf (Ω, A) ist. Zeigen Sie mittels maßtheoretischer Induktion, dass für eine
(A, BR )-messbare numerische Funktion f : Ω → R
Z
Z
X
f dµ =
cn · f dµn
n∈N
gilt, falls alle Ausdrücke auf der rechten Seite existieren und wohldefiniert sind.
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Aufgabe P15 (Berechnung von diskreten Maßintegralen).
Es sei (Ω, A) = (Z, P(Z)) und µ das Zählmaß auf (Ω, A), d.h. µ(A) = |A| für A ∈ A.
(a) Sei f : (Ω, A) → (R, BR ) eine nichtnegative messbare numerische Funktion. Zeigen Sie,
dass dann gilt:
Z
∞
X
f dµ =
f (n).
n=−∞
(b) Seien f1 , f2 , f3 : (Ω, A) → (R, BR ) mit
(
−2n , n ≤ 0,
∀n ∈ Z : f1 (n) =
,
2n ,
n > 0.
f2 (n) = 3−|n| ,
f3 (n) = (−2)n .
R
Entscheiden Sie für k = 1, 2, 3, ob das Maßintegral fk dµ existiert
und ob fk µR
integrierbar ist und geben Sie im Falle der Existenz den Wert von fk dµ an.
Aufgabe P16 (Berechnung von Maßintegralen).
Sei (Ω, A) = (R, BR ) und µ ein Maß auf (Ω, A).
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und µ = µ1 + µ2 , wobei µ1 das Lebesgue-Maß
(a) Sei f : (R, BR ) → (R, BR ), f (x) = x+1
R
und µ2 = δ0 ein Dirac-Maß auf (Ω, A) ist. Berechnen Sie das Maßintegral [0,1] f dµ :=
R
f 1[0,1] dµ.
Hinweis: Aufgabe P14. Eine geeignete Folge von primitiven Funktionen liefern RiemannSummen.
(b) Sei Rf : (R, BR ) → (R, BR ), f (x) = e−x und µ das Lebesgue-Maß auf (Ω, A). Berechnen
Sie [0,∞] f dµ.
Abgabe: Keine Abgabe. Dieses Übungsblatt wird (teilweise) in den Übungen besprochen.
Homepage der Vorlesung:
http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hu020/WT1/index.html
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