Dr. M. Ensenbach, B. Kretz
Department Mathematik
Universität Siegen
Siegen, den 04. Mai 2016
Übungsblatt 5 zur Analysis I
SS 2016
Aufgabe 1 (2+4 Punkte)
Zeigen Sie, dass die folgenden Gleichungen für alle n ∈ N gelten:
(a)
(b)
n
P
1
n
=
,
3n + 1
k=1 (3k − 2)(3k + 1)
n
P
(k + 1)
k=1
n
k
= 2n−1 (n + 2) − 1.
Aufgabe 2 (3+3 Punkte)
Zeigen Sie, dass die folgenden Ungleichungen für alle n ∈ N gelten:
(a) (2n)! < (2n n!)2 ,
(b) (1 + x)n 6 1 + (2n − 1)x.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Zeigen Sie: Für alle k, n ∈ N0 mit k 6 n gilt:
X
n n+1
m
=
.
k+1
k
m=k
Aufgabe 4 (3+3+3 Punkte)
Man bestimme alle n ∈ N, für die die folgenden Ungleichungen gelten. Hinweis: Man beweise für
ein geeignetes m ∈ N die Gültigkeit der Ungleichung für alle n ∈ {m, m + 1, . . . } und überprüfe
die verbleibenden Fälle separat.
(a) 5n − 7 < 2n ,
(b) 2n < n2 .
(c) (n + 1) · 3n 6 4n .
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