Analysis T1, Analysis 1b WS 2015/2016 5. Übungsblatt 18. Lösen Sie folgende Gleichungen über den komplexen Zahlen. Geben Sie jeweils Realund Imaginärteil der Lösung an. (a) (1 + 2i)z + 9 = 8 − 5i, (3 + 4i)z − (9 + 4i) (b) z 2 = 3 − 4i, (c) z 2 − 7z + (13 − i) = 0, 19. Zeigen Sie: Sind die Realteile von z, w ∈ C beide positiv oder beide negativ, so gilt die Ungleichung |z − w| < 1. |z + w̄| 20. (a) Es sei c ∈ C mit Im c ≥ 0 (< 0) gegeben. Zeigen Sie, dass r r 1 1 + z := (|c| + Re c) (|c| − Re c) i (−) 2 2 eine Quadratwurzel von c ist, d. h. z 2 = c. (b) Jedes c ∈ C, c 6= 0, besitzt genau zwei Quadratwurzeln z1 , z2 ∈ C mit z2 = −z1 . 21. Überprüfen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz (a) (b) (c) ∞ n X i n=1 ∞ X n=1 ∞ X n (1 + i)n n3 (3 − 5i)n . n! n=0
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