P2.2 Elektrodynamik WS 16/17 Prof. Jan Plefka - Hu

P2.2 Elektrodynamik
WS 16/17
Prof. Jan Plefka
Übungsblatt 7
Abgabe Freitag 08.12 vor der Vorlesung – Besprechung in der Woche danach
H21 - Multipolentwicklung in Kugelkoordinaten [2P]
In der Vorlesung haben wir die Multipolentwicklung des Potentials Φ(~x) einer räumlich begrenzten Ladungsverteilung ρ(~x0 ) in Kugelkoordinaten besprochen. In der Region, in der ρ(~x0 )
verschwindet, kann für große r/r0 das Potential wie folgt in Kugelflächenfunktionen Yl,m (θ,ϕ)
entwickelt werden:
∞
l
1 X X Qlm 1
Ylm (θ,ϕ) ,
Φ(~x) =
4π0 l=0 m=−l 2l + 1 rl+1
Hierbei sind die Multipolmomente Qlm definiert durch
Z
∗
Qlm = d3 x0 Ylm
(θ0 ,ϕ0 ) r0 l ρ(r0 ,θ0 ,ϕ0 ) .
Betrachten Sie nun eine kreisförmige Schleife mit Radius R in der x,y-Ebene, deren Mitte am
Ursprung liegt und welche eine lineare Ladungsdichte (d.h. Ladung/Länge) λ = λ0 cos ϕ trägt,
wobei ϕ der Azimutwinkel gemessen in der x,y-Ebene ist.
a) Finden Sie einen Ausdruck in Kugelkoordinaten für die Ladungsdichte (Ladung/Volumen)
ρ(r0 ,θ0 ,ϕ0 ) der Schleife.
b) Berechnen Sie die Multipolmomente Qlm ! Schreiben Sie sodann die Beiträge zum Potential
Φ(~x) für |~x| R bis zu den Quadrupolmomenten (l = 2) in kartesichen Koordinaten aus.
Hinweise: Die folgenden Relationen für assozierte Legendre-Polynome sind nützlich
d
(l − m)! m
Pl (u), (1 − u2 ) Pl (u) = l(Pl−1 (u) − uPl (u)) ,
l + m)!
du
n
(−) (2n − 1)!!
P2n (0) =
, n!! := n(n − 2)(n − 4) . . .
2n n!
Pl−m (u) = (−)m
P2n+1 (0) = 0 ,
~ x) für |~x| R, welches zu den Dipol- und Quadrupolc) Berechnen Sie das elektrische Feld E(~
momenten gehört.
H22 - Entwicklung des Potentials in Legendre-Polynomen [2P]
Wir betrachten eine Kugelfläche vom Radius R mit konstanter Ladungsverteilung σ = Q/(4πR2 )
bis auf einen runden Bereich am Nordpol, der durch den Kegel θ < α definiert ist und in dem
die Ladungsdichte verschwindet.
Zeigen Sie, dass das Potential innerhalb der Kugel ausgedrückt werden kann durch:
Φ(r,θ) =
∞
Q X 1
rl
[Pl+1 (cos α) − Pl−1 (cos α) ] l+1 Pl (cos θ) ,
8π0 l=0 2l + 1
R
wobei hier für l = 0 P−1 := −1 definiert wird. Wie lautet das Potential außerhalb der Kugel?
Hinweis: Beweisen Sie hierfür die nützliche Relation
d
(Pn+1 (u) − Pn−1 (u)) = (2n + 1) Pn (u)
du
1
H23 - Kraftwirkung auf Stromschleife [1P]
Ein dünner, rechteckiger Draht befindet sich
in der skizzierten Weise neben einem dünnen
unendlich langen geraden Draht. Die beiden Drähte werden von den Gleichströmen
I1 bzw. I2 durchflossen. Welche Kraft üben
die Drähte aufeinander aus?
2

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