年 番号 1 1 ,ÎBAC = µ とする.また,辺 µ AB を (1 ¡ µ) : µ に内分する点を D とする.このとき,以下の問いに答えよ. 0 < µ < 1 とする.三角形 ABC において,AB = AC = (1) 三角形 BCD の面積を S とする. lim S を求めよ. µ!+0 4 次の等式が成り立つように,定数 a; b; c; d の値を定めよ. (1) lim T x!1 (2) lim (2) lim BC を求めよ. x!2 µ!+0 氏名 3x2 ¡ 5x + 4 ¡ (ax + b)l = 0 x¡1 x2 + cx + 12 =d x2 ¡ 5x + 6 (3) lim CD を求めよ. ( 日本女子大学 2012 ) µ!+0 ( 甲南大学 2015 ) 5 放物線 C : y = ¡x2 + ax( a は正の定数)と直線 ` : y = mx + n が 2 点 A,B で交わってい る.A,B の x 座標を ®; ¯ とすると,0 < ® < ¯ < 2a を満たしている.x = 0,C,` で囲ま 2 図のように,点 O を中心とし,線分 AB を直径とする半径 1 の半円において,円周上に点 P を れた図形の面積を T1 ,C と ` で囲まれた図形の面積を T2 ,x = 2a,C,` で囲まれた図形の面 とり,ÎPOA = µ とし,点 P における接線が線分 OA の延長と交わる点を H とする.ただし, ¼ 0<µ< とする.さらに,線分 OA 上に ÎOPB = ÎOPD となるように点 D をとる. 2 積を T3 とする.このとき, T2 = T1 + T3 が満たされるとする.以下の各設問に答えよ. (1) T2 = T1 + T3 から,a; m; n の間に関係式 =0 (1) AP = (2) lim µ!+0 ア AP = µ AH (3) lim 2 = µ!+0 µ (4) lim OD = µ!+0 sin ウ エ オ カ キ µ イ である. が成り立つ(もっとも簡潔な式で書くこと ). (2) T2 = T1 + T3 を満たす直線 ` は m; n によらず定点 である. を通る.この定点を a を用いて 表せ. である. (3) T2 の値が最小となるのは直線 ` が y = のときであり,そのとき T2 の値は で ある. である. (4) (3) のとき ®; ¯ の値は ( 金沢工業大学 2014 ) ®= 3 p 2x + 1 ¡p 3 次の計算をすると,lim p = x!4 x¡2¡ 2 20 a; ¯= a となる. である. ( 久留米大学 2012 ) ( 明治大学 2016 ) 6 1 2 x + 2 x + 1 + 1 に対し ,座標平面上の曲線 y = f(x) を C とする.点 2 P(t; f(t)) (t > ¡1) における曲線 C の接線に垂直で,点 P を通る直線を ` とする.このとき, 関数 f(x) = ¡ 8 放物線 C : y = ax2 ¡ bx ¡ c は,点 #¡ 1 ; ¡1; を通り,この点における C の接線の傾きは 2 1 であるという.このとき, 2 ¡14 であり,その軸は x = 次の各問に答えよ. a= (1) 直線 ` の方程式を,t を用いて表せ. (2) 直線 ` が点 (¡1; f(¡1)) を通るとき,t の中で最も小さいものを求めよ. ; ア b= ; イ c= ウ エ オ である.C と y 軸との交点における C の接線を ` とすると,` の方程式は (3) (2) で求めた t が定める直線 ` と曲線 C によって囲まれる部分の面積を求めよ. y=¡ ( 宮崎大学 2016 ) カ x¡ キ ク ケ となり,原点を通り ` に平行な直線と C で囲まれる部分の面積は コ サ ス 7 シ セ D ソ となる. k を定数とする.2 つの曲線 C1 ,C2 を, ( 東京理科大学 2015 ) 2 C1 : y = 3x ¡ 6x + k; C2 : y = x 2 と定義する.曲線 C1 ,C2 はただひとつの共有点 A をもつ. (1) k の値は チ である. ツ (2) 点 A を通る直線 ` をひき,直線 ` と曲線 C1 との交点を B,直線 ` と曲線 C2 との交点を C と する.ただし,点 B,C はいずれも点 A とは異なる点である.点 B の x 座標を p とすると,点 C の x 座標は ナ テ ニ ヌ p+ ト であり,直線 ` および曲線 C1 ,C2 で囲まれる部分の面積は 9 3 ¡p 関数 f(x) = x4 ¡ 5x3 + kx2 が極大値をもつような定数 k の値の範囲を求めなさい. ( 愛知学院大学 2015 ) となる. ( 早稲田大学 2015 )
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