µ... - SUUGAKU.JP

年番号
1
1
，ÎBAC = µ とする．また，辺
µ
AB を (1 ¡ µ) : µ に内分する点を D とする．このとき，以下の問いに答えよ．
0 < µ < 1 とする．三角形 ABC において，AB = AC =
(1) 三角形 BCD の面積を S とする． lim S を求めよ．
µ!+0
4
次の等式が成り立つように，定数 a; b; c; d の値を定めよ．
(1) lim T
x!1
(2) lim
(2) lim BC を求めよ．
x!2
µ!+0
氏名
3x2 ¡ 5x + 4
¡ (ax + b)l = 0
x¡1
x2 + cx + 12
=d
x2 ¡ 5x + 6
(3) lim CD を求めよ．
（日本女子大学 2012 ）
µ!+0
（甲南大学 2015 ）
5
放物線 C : y = ¡x2 + ax（ a は正の定数）と直線 ` : y = mx + n が 2 点 A，B で交わってい
る．A，B の x 座標を ®; ¯ とすると，0 < ® < ¯ < 2a を満たしている．x = 0，C，` で囲ま
2
図のように，点 O を中心とし，線分 AB を直径とする半径 1 の半円において，円周上に点 P を
れた図形の面積を T1 ，C と ` で囲まれた図形の面積を T2 ，x = 2a，C，` で囲まれた図形の面
とり，ÎPOA = µ とし，点 P における接線が線分 OA の延長と交わる点を H とする．ただし，
¼
0<µ<
とする．さらに，線分 OA 上に ÎOPB = ÎOPD となるように点 D をとる．
2
積を T3 とする．このとき，
T2 = T1 + T3
が満たされるとする．以下の各設問に答えよ．
(1) T2 = T1 + T3 から，a; m; n の間に関係式
=0
(1) AP =
(2) lim
µ!+0
ア
AP
=
µ
AH
(3) lim
2 =
µ!+0 µ
(4) lim OD =
µ!+0
sin
ウ
エ
オ
カ
キ
µ
イ
である．
が成り立つ（もっとも簡潔な式で書くこと）．
(2) T2 = T1 + T3 を満たす直線 ` は m; n によらず定点
である．
を通る．この定点を a を用いて
表せ．
である．
(3) T2 の値が最小となるのは直線 ` が y =
のときであり，そのとき T2 の値は
で
ある．
である．
(4) (3) のとき ®; ¯ の値は
（金沢工業大学 2014 ）
®=
3
p
2x + 1 ¡p 3
次の計算をすると，lim p
=
x!4
x¡2¡ 2
20
a;
¯=
a
となる．
である．
（久留米大学 2012 ）
（明治大学 2016 ）
6
1 2
x + 2 x + 1 + 1 に対し，座標平面上の曲線 y = f(x) を C とする．点
2
P(t; f(t)) (t > ¡1) における曲線 C の接線に垂直で，点 P を通る直線を ` とする．このとき，
関数 f(x) = ¡
8
放物線 C : y = ax2 ¡ bx ¡ c は，点 #¡
1
; ¡1; を通り，この点における C の接線の傾きは
2
1
であるという．このとき，
2
¡14 であり，その軸は x =
次の各問に答えよ．
a=
(1) 直線 ` の方程式を，t を用いて表せ．
(2) 直線 ` が点 (¡1; f(¡1)) を通るとき，t の中で最も小さいものを求めよ．
;
ア
b=
;
イ
c=
ウ
エ
オ
である．C と y 軸との交点における C の接線を ` とすると，` の方程式は
(3) (2) で求めた t が定める直線 ` と曲線 C によって囲まれる部分の面積を求めよ．
y=¡
（宮崎大学 2016 ）
カ
x¡
キ
ク
ケ
となり，原点を通り ` に平行な直線と C で囲まれる部分の面積は
コ
サ
ス
7
シ
セ
D
ソ
となる．
k を定数とする．2 つの曲線 C1 ，C2 を，
（東京理科大学 2015 ）
2
C1 : y = 3x ¡ 6x + k;
C2 : y = x
2
と定義する．曲線 C1 ，C2 はただひとつの共有点 A をもつ．
(1) k の値は
チ
である．
ツ
(2) 点 A を通る直線 ` をひき，直線 ` と曲線 C1 との交点を B，直線 ` と曲線 C2 との交点を C と
する．ただし，点 B，C はいずれも点 A とは異なる点である．点 B の x 座標を p とすると，点
C の x 座標は
ナ
テ
ニ
ヌ
p+
ト
であり，直線 ` および曲線 C1 ，C2 で囲まれる部分の面積は
9
3
¡p
関数 f(x) = x4 ¡ 5x3 + kx2 が極大値をもつような定数 k の値の範囲を求めなさい．
（愛知学院大学 2015 ）
となる．
（早稲田大学 2015 ）

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