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Erzwungene Schwingungen durch verteilte
Kräfte
Wirken auf ein kontinuierliches System verteilte zeitveränderliche Kräften bzw. Momente,
entstehen erzwungene Schwingungen. In diesem Fall sind die partiellen Differentialgleichungen durch entsprechende Terme auf der rechten Seite zu ergänzen, die aus der Modellbildung folgen. Die Randbedingungen dagegen bleiben unverändert homogen.
Sind die Eigenschwingungsformen W k(x) der homogenen Differentialgleichung mit zugehörigen Randbedingungen bekannt, kann damit auch eine Modaltransformation
w(x, t) + W T(x)y(t) des inhomogenen Problems durchgeführt werden. Als Ergebnis findet
man entkoppelte, inhomogene gewöhnliche Differentialgleichungen für die Zeitfunktionen
y k(t) mit entsprechenden Anfangsbedingungen, die ebenfalls aus der Modaltransformation
folgen. Deren Lösung kann mit den bekannten Methoden für diskrete Systeme als Superposition einer homogenen und einer partikulären Lösung gefunden werden.
Durch Rücktransformation, d.h. Superposition der modalen Lösungen entsprechend der
Eigenschwingungsformen, ergibt sich damit schließlich auch für w(x, t) eine allgemeine Lösung in Form einer Überlagerung der bereits bekannten freien Schwingungen mit einer
speziellen, der Anregung entsprechenden partikulären Lösung. Dieses Vorgehen ist sowohl auf Probleme anwendbar, die durch die eindimensionale Wellengleichung beschrieben werden, als auch auf Biegeschwingungen von schlanken Balken.
Es sei angemerkt, dass das Langzeitverhalten des kontinuierlichen Schwingers im Wesentlichen durch die Partikulärlösung bestimmt wird, da die freien Schwingungen aufgrund der
stets vorhandenen inneren Dämpfung im Laufe der Zeit abklingen. Erregt man das System
mit harmonischen Kräften, entstehen harmonische Schwingungen bestehend aus einer
Überlagerung von Eigenformen, wobei deren Anteil von der Erregerfrequenz abhängt.
Rückt die Erregerfrequenz in die Nähe einer Eigenfrequenz, tritt Resonanz auf, d.h. die zugehörige Eigenschwingungsform dominiert das Schwingungsverhalten, die Amplituden
werden außerordentlich groß.
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9 Erzwungene Schwingungen durch verteilte Kräfte
9.1 Kontinuierliche Systeme mit verteilten Kräften
Inhomogene eindimensionale Wellengleichung
..
w + c 2wȀȀ ) q(x, t)
mit
D Saitenschwingung
S + sA
w(x, t)
x
w(x, t) Durchhang
c + Ǹsńr ,
p(x, t)
q(x, t) +
rA
p(x, t) + dF
dx
z
D Longitudinalschwingung
u(x, t)
^
w+
u(x, t) Längsverschiebung
x
n(x, t) + dF
dx
c + ǸEńr ,
n(x, t)
q(x, t) +
rA
D Torsionsschwingung
ö(x, t)
^
w+
ö(x, t) Verdrehung
x
dM T
m(x, t) +
dx
c + ǸGńr ,
m(x, t)
q(x, t) +
rI p
Biegeschwingungen
..
w ) EI wIV + q(x, t)
rA
w(x, t) Durchbiegung
p(x, t)
q(x, t) +
rA
w(x, t)
mit
x
z
p(x, t) + dF
dx
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9.2 Erzwungene Schwingungen der eindimensionalen
Wellengleichung
Inhomogene eindimensionale Wellengleichung
Randwertproblem:
..
w + c 2wȀȀ) q(x, t)
+ homogene Randbed. für w, wȀ
w(x, 0) + w 0(x)
.
.
w(x, 0) + w 0(x)
Anfangsbedingungen: Lage:
Geschwindigkeit:
Modaltransformation
Randwertproblem:
..
w + c 2wȀȀ ) q(x, t)
+ homogene Randbed. für w, wȀ
modale Entwicklung
ȍ Wk(x)yk(t)+ WT(x)y(t)
n
w(x, t)+
k+1
Orthogonalität der Eigenfunktionen
ŕ
L
W(x)W T(x)dx + E
0
Entkopplung:
..
2
y ) W y + h(t)
mit
h(t) +
ŕ
L
0
W(x)q(x, t)dx
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modale Anfangsbedingungen
Lage:
Geschwindigkeit:
w(x, 0) + w 0(x)
.
.
w(x, 0) + w 0(x)
³ y(0) + y 0 :+
.
.
³ y(0) + y 0 :+
ŕ
L
ŕ
L
0
0
Lösung
..
Anfangswertproblem: y k ) w 2ky k + h k(t) ,
modale Lösung:
y k(0) + y 0k ,
.
y k(t) + y hk(t) ) y pk(t)
Superposition
Schwingung:
w(x, t) + W T(x)y h(t) ) W T(x)y p(t)
+
ȍ Wk(x)yhk(t)) ȍ Wk(x)ypk(t)
n
n
k+1
k+1
.
y k(0) + y 0k
W(x)w 0(x)dx
.
W(x)w 0(x)dx
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9.3 Erzwungene Schwingungen des Balkens
Inhomogene Differentialgleichung der Balkenbiegung
Randwertproblem:
..
w ) EI wIV + q(x, t) + homogene Randbed. für w, wȀ, wȀȀ, wȀȀȀ
rA
w(x, 0) + w 0(x)
.
.
w(x, 0) + w 0(x)
Anfangsbedingungen: Lage:
Geschwindigkeit:
Modaltransformation
Randwertproblem:
..
w ) EI wIV + q(x, t) + homogene Randbed. für w, wȀ, wȀȀ, wȀȀȀ
rA
modale Entwicklung
w(x, t)+ W T(x)y(t)
Orthogonalität der Eigenfunktionen
ŕ
L
W(x)W T(x)dx + E
0
Entkopplung:
..
2
y ) W y + h(t)
mit
h(t) +
ŕ
L
0
W(x)q(x, t)dx
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modale Anfangsbedingungen
Lage:
Geschwindigkeit:
w(x, 0) + w 0(x)
.
.
w(x, 0) + w 0(x)
ŕ
y(0) + y :+ ŕ
³ y(0) + y 0 :+
³
.
.
L
0
L
0
0
Lösung
..
Anfangswertproblem: y k ) w 2ky k + h k(t) ,
modale Lösung:
y k(0) + y 0k ,
.
y k(t) + y hk(t) ) y pk(t)
Superposition
Schwingung:
w(x, t) + W T(x)y h(t) ) W T(x)y p(t)
+
ȍ Wk(x)yhk(t)) ȍ Wk(x)ypk(t)
n
n
k+1
k+1
.
y k(0) + y 0k
W(x)w 0(x)dx
.
W(x)w 0(x)dx

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