Übungsblatt 2

Brush-up-Kurs Mathematik
Dr. Jürgen Kampf
Oktober 2016
2. Übungsblatt
Besprechung: 6. Oktober
Aufgabe 1: Glücksspiele, die irgendwie gleich sind
a) Gib für folgende Spiele ein geeignetes mathematisches Modell an, d.h. gib einen Wahrscheinlichkeitsraum an
und eine Zufallsvariable, die den Gewinn beschreibt.
Spiel 1 Ein Würfel wird geworfen. Bei 1, 3 oder 5 beträgt der Gewinn 2 Euro; bei 2, 4 oder 6 gewinnt man
nichts.
Spiel 2 Zwei Münzen werden geworfen. Landen Sie mit unterschiedlichen Seiten nach oben, beträgt der Gewinn
2 Euro; zeigen Sie die gleiche Seite, gewinnt man nichts.
b) Welches von beiden Spielen würdest du lieber spielen? Irgendwie lassen sich überhaupt keine Vor- und Nachteile
finden. Der Grund hierfür ist . . .
Aufgabe 2: Verteilungsfunktionen
Gib die Verteilungsfunktionen folgender Zufallsvariablen an und skizziere sie:
a) X, wobei P(X = −1) = 13 , P(X = 21 ) =
1
2
und P(X = 2) =
1
6
b) X 2 + 1
Aufgabe 3: Dichten
Gegeben sei die Dichte
(
cx2
f (x) =
0
falls x ∈ [0, 1]
sonst
a) Bestimme c so, dass f tatsächlich eine Dichte ist.
b) Bestimme für eine Zufallsvariable X mit Dichte f die Wahrscheinlichkeiten
P(X ≤ 21 ),
P(X = 12 ),
P(X ∈ [ 31 , 23 ]),
P(X ∈ ( 31 , 2)).
Aufgabe 4: Erwartungswert und Varianz
Sei X eine Zufallsvariable mit P(X = 2) = P(X = 4) =
1
4
und P(X = 5) = 12 . Berechne E[X], E[2X ] und Var X.
Aufgabe 5: 2-dimensionale stetige Verteilungen
Die gemeinsame Dichte des Zufallsvektors (X, Y ) ist gegeben durch
f (x, y) = 6e−3x−2y 1(0,∞) (x)1(0,∞) (y).
a) Berechne P(X < Y ).
b) Zeige, dass sowohl X als auch Y exponentialverteilt sind.
c) Bestimme Cov(X, Y ) und entscheide, ob X und Y unabhängig sind.
d) Bestimme, soweit existent, E e−X .
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