Übungen

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Übung 13
1. Wandle die Gleichung −12x + 4y = 8 in eine Geradengleichung um.
2. Wo schneiden sich die Geraden ax + b = y, cx + d = y? (Unterscheide drei Fälle!)
3. Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem und wie lauten sie?
!
!
!
2x + y = 5
2x + y = 5
3x + y = 6
(a)
(b)
(c)
3x + 7y = 13
10x + 5y = 11
9x + 3y = 18
4. Beschreibe die Lösungsmenge von
!
!
x+y+z =1
2x + y + z = 1
(a)
(b)
x + 2y + z = 1
−4x − 2y − 2z = 1
(c)
!
2x + y + z = 1
−4x − 2y − 2z = −2
als Teilmenge des dreidimensionalen Raums.
5. Löse
3x + 6y − 2z = 0
4x + 2y + 3z = 5
5x − 3y + 4z = −4
6. Sei ⃗a = (1, 2, 4), ⃗b = (2, 1, −1), c = 3. Berechne (a) ⃗a + ⃗b, (b) ⃗a − ⃗b, (c) ⃗a · ⃗b, (d)
c · ⃗a, (e) |⃗a|, (f) |c · ⃗a| und (g) normiere ⃗a und ⃗b.
7. Zeige, dass
⃗
a
|⃗
a|
tatsächlich Länge 1 hat.
8. Finde einen Vektor, der senkrecht auf (2, −3, 4) steht.
9. Sei ⃗a = (2, 1), ⃗b = (8, 2). Finde ⃗a + ⃗b
(a) graphisch
(b) durch Rechnen.
10. Beschreibe die Ecken eines Würfels der Kantenlänge 1 mit drei Kanten auf den
positiven Koordinatenachsen durch Vektoren.
11. Romeo steht bei (3, 4, 0). Julias Balkon ist bei (2, 1, 5). Welche Entfernung gebietet der Liebe Einhalt?
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Übung 14
1. (a) Bringe y = 2x + 3 in Parameterform.
" #
" #
2
5
(b) Mache aus g :
+t
eine Geradengleichung.
1
8
2. Um wieviel muss man den Richtungsvektor von g strecken um P zu bekommen?
" #
" #
" #
" #
" #
" #
1
9
28
5
7
19
(a) g :
+t
,P =
und (b) g :
+t
,P =
2
5
17
8
2
14
3. Wo schneiden sich die beiden Geraden g und h?
" #
" #
" #
" #
2
6
2
4
g:
+t
,
h:
+s
3
3
−6
5
⎛ ⎞
⎛ ⎞
3
2
4. (a) Bastle eine Gerade durch ⎝1⎠ und ⎝7⎠.
4
8
⎛
⎞
7
(b) Bastle eine zur x-Achse parallele Gerade durch ⎝−2⎠.
3
⎛ ⎞
⎛ ⎞
2
1
5. (a) Wo schneidet g : ⎝ 7 ⎠ + t ⎝2⎠ die y-z-Ebene?
−1
1
⎛ ⎞
⎛ ⎞
2
3
(b) Wo schneidet h : ⎝0⎠ + s ⎝4⎠ die x-y-Ebene?
8
0
6. Was haben g und h für eine Lage zueinander?
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
1
−1
−4
1
(a) g : ⎝4⎠ + t ⎝ 2 ⎠ ,
h : ⎝ 8 ⎠ + s ⎝0⎠
2
1
1
1
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
−1
4
3
−8
(b) g : ⎝ 0 ⎠ + t ⎝−2⎠ ,
h : ⎝−2⎠ + s ⎝ 4 ⎠
−1
3
2
−6
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
0
2
2
1
(c) g : ⎝3⎠ + t ⎝−1⎠ ,
h : ⎝−3⎠ + s ⎝ 3 ⎠
5
6
5
−7
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
5
−4
12
2
(d) g : ⎝−1⎠ + t ⎝−6⎠ ,
h : ⎝−1⎠ + s ⎝ 3 ⎠
3
2
4
−1
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Übung 15
1. Gegeben ist die Ebene
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
x
1
1
−3
E : ⎝y ⎠ = ⎝3⎠ + t ⎝2⎠ + s ⎝ 2 ⎠ .
z
4
1
4
(a) Welchen Punkt der Ebene erhält man für t = 1, s = −2? Welchen für t = 4,
s = 1?
(b) Liegen die Punkte (−2, 13, 10) und (6, 5, 2) in der Ebene?
(c) Ermittle x so, dass (x, −5, −9) in der Ebene liegt.
(d) Ermittle die Koordinatendarstellung von E.
(e) Löse (b) und (c) mittels Koordinatendarstellung.
2. Wie lautet eine Parameterdarstellung der Ebene, die durch die Punkte (0, 7, 8),
(8, 0, 7) und (3, 2, 6) bestimmt ist.
3. Welche Voraussetzung müssen drei Punkte im Raum erfüllen, damit durch sie
eine Ebene bestimmt ist?
4. (1, 2, 3), (1, 4, 5), (−1, 3, 0) und (3, 0, 5) seien die Ecken eines Vierecks. Ist das
Viereck eben?
5. Stelle die Koordinatengleichung der Ebene auf, die durch (1, −2, 2) geht und zur
Ebene E parallel ist.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
x
1
1
2
E : ⎝y ⎠ = ⎝1⎠ + t ⎝ 0 ⎠ + s ⎝1⎠ .
z
2
−1
0
6. In welchen Punkten durchstossen die Koordinatenachsen die Ebene, welche durch
die Gleichung 2x + 3y − z + 12 = 0 gegeben ist?
7. Stelle eine Parametergleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen mit den
Gleichungen x + y − z − 3 = 0 und 2x − y + 3z = 0 auf.
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Übung 16
1. Bestimme
⎛ ⎞die Koordinatengleichung der Ebene, die durch (2, 0, 5) geht und
5
⃗n = ⎝ 3 ⎠ als Normalenvektor hat.
−4
2. Bestimme die Ebene, die parallel zur Ebene 5x − 3y + z = 7 ist und durch
(6, 7, −5) geht.
3. Bestimme die Ebene,
(a) die durch (6, 0, 1) und (−1, −2, 2) geht und parallel zur z-Achse ist.
(b) die durch (1, 2, 3) und (0, 7, 0) geht und senkrecht auf der Ebene y = 7 steht.
(c) die senkrecht zur Ebene 3x − 2y + z = 10 und die Gerade g
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
x
5
3
g : ⎝y ⎠ = ⎝1⎠ + t ⎝−8⎠
z
1
2
enthält.
4. Berechne den Schnittwinkel von
(a) E1 : 2x + 3y + 4z − 6 = 0 und E2 : 3x − 2y − z + 4 = 0.
(b) E1 : 3x + 4y + 5z = 0 und der xy-Ebene.
5. Gib eine möglichst einfache Formel für den Schnittwinkel ϕ einer Geraden (mit
Richtungsvektor ⃗a) und einer Ebene (mit Normalenvektor) ⃗n an.
6. Die Ebene E : 2x − 5y + 14z − 1 = 0 und die Punkte P = (0, −9, 29) und Q =
(xQ , 11, −27) sind gegeben. Bestimme xQ so, dass P und Q auf verschiedenen
Seiten von E liegen, aber gleich weit von der Ebene entfernt sind.
7. Gegeben sind die Punkte A = (5, 0, 10), B = (−4, 21, 4), C = (2, 21, 10), S =
(−13, 12, 22). Von S aus wird das Lot auf die Ebene ABC gefällt. Berechne seinen
Fusspunkt.
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