Behauptung: Seien X,Y,Z Banachräume und B : X × Y → Z eine

Behauptung: Seien X, Y, Z Banachräume und B : X × Y → Z eine
bilineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
a) B ist stetig;
b) Für alle x ∈ X und y ∈ Y sind B(x, ·) und B(·, y) stetig;
c) B ist stetig in (0, 0);
d) B ist beschränkt, das heißt es gibt M > 0 mit
kB(x, y)kZ ≤ M kxkX kykY
für alle x ∈ X und y ∈ Y.
Beweis. a) ⇒ b) : klar.
b) ⇒ c) : Seien (xn )n∈N ⊂ X und (yn )n∈N ⊂ Y Folgen mit xn → 0 und
yn → 0 für n → ∞. Wir definieren für n ∈ N den Operator Tn : Y → Z durch
Tn y := B(xn , y) für y ∈ Y. Nach Voraussetzung gilt einerseits Tn ∈ B(Y, Z)
und andererseits
Tn y = B(xn , y) → B(0, y) = 0
für n → ∞ und y ∈ Y. Aus Aufgabe 19 a) folgt
B(xn , yn ) = Tn yn → 0 = B(0, 0)
für n → ∞ und damit die Stetigkeit von B in (0, 0).
c) ⇒ d) : Wir nehmen an, B sei nicht beschränkt. Dann gibt es zu jedem
n ∈ N ein Paar (xn , yn ) ∈ X × Y mit
kB(xn , yn )kZ > nkxn kX kyn kY .
Insbesondere haben wir xn 6= 0 und yn 6= 0 für alle n ∈ N, denn sonst wäre
0 = kB(xn , yn )kZ > nkxn kX kyn kY = 0 erfüllt. Wir setzen
xn
,
x̃n := √
nkxn kX
ỹn := √
yn
nkyn kY
und erhalten kx̃n kX → 0, kỹn kY → 0, aber
kB(x̃n , ỹn )kZ =
1
nkxn kX kyn kY
kB(xn , yn )kZ > 1
für n ∈ N im Widerspruch zur Stetigkeit von B in 0.
d) ⇒ a) : Seien x, xn ∈ X und y, yn ∈ Y für n ∈ N mit xn → x und yn → y
1
für n → ∞. Dann gibt es ein C > 0 mit kyn kY ≤ C für alle n ∈ N und wir
erhalten unter Verwendung der Voraussetzung d)
kB(x, y) − B(xn , yn )kZ ≤ kB(x, y − yn )kZ + kB(x − xn , yn )kZ
≤ M kxkX ky − yn kY + M kx − xn kX kyn kY → 0
für n → ∞.
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