PD Dr. S. Franz Institut für Numerische Mathematik WS 2015/2016 Übungen zur Vorlesung Numerische Mathematik Blatt 6, 16.11.–20.11.2015 Aufgabe 1 Gegeben seien x0 ∈ R, h > 0 und eine viermal stetig differenzierbare Funktion f : R → R. Des Weiteren sei δ(h) definiert durch δ(h) := af (x0 − h) + bf (x0 ) + cf (x0 + h) + df (x0 + 2h) mit reellen Parametern a, b, c, d. Ermitteln Sie Werte für a, b, c, d derart, dass δ(h) eine Näherung für f ′ (x0 ) der Ordnung h3 ist, das heißt, dass |f ′ (x0 ) − δ(h)| ≤ Ch3 gilt, mit einer von h unabhängigen Konstanten C > 0. Hinweis: Schreiben Sie f (x0 − h), f (x0 + h) und f (x0 + 2h) mit Hilfe des Taylor-Polynoms dritten Grades zur Entwicklungsstelle x0 und unter Verwendung des Lagrange-Restgliedes geeignet um. Aufgabe 2 Bestimmen Sie mit Hilfe (a) der Trapezregel, (b) der Simpson-Regel jeweils einen Näherungswert für das Integral I := 1 2 ˆ sin(x2 ) dx. 0 Schätzen Sie jeweils den Fehler ab. Aufgabe 3 Zeigen Sie, dass mittels der Simpson-Regel Polynome bis zum Grad 3 exakt integriert werden. Aufgabe 4 Gegeben seien a ∈ R, h > 0 und eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f : R → R. Leiten Sie eine Näherungsformel für das Integral I := ˆ a+h f (x) dx a−h her, indem Sie f durch das Taylor-Polynom erster Ordnung zur Entwicklungsstelle a ersetzen. Man erhält dadurch die sogenannte Tangententrapezregel. Ermitteln Sie außerdem eine Abschätzung des Fehlers, indem Sie das Restglied aus der TaylorFormel integrieren. 1 Aufgabe 5 Gegeben sei das Integral I(h) := ˆ h √ f (x) x dx 0 mit h > 0 und einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion f : [0, h] → R. (a) Leiten Sie zur näherungsweisen Berechnung von I(h) eine Quadraturformel der Gestalt Q(h) = A(h)f (0) + B(h)f (h) her, indem Sie f durch das Polynom erster Ordnung ersetzen, welches f in den Stützstellen x = 0 und x = h interpoliert. Ermitteln Sie außerdem eine Abschätzung des Fehlers |I(h) − Q(h)|. (b) Berechnen Sie nach der in (a) aufgestellten Quadraturformel einen Näherungswert für das Integral ˆ π 4 √ x sin(x) dx 0 und schätzen Sie den auftretenden Fehler ab. Vergleichen Sie mit der Trapezregel und diskutieren Sie die unterschiedliche Größe des Fehlers. 2