10.3 Numerische Berechnung der Fourier–Koeffizienten Numerische Quadratur 170 Kapitel 11: Numerische Quadratur Zu berechnen sei ein bestimmtes Integral I = I[f ] = Zb f (x) dx a Berechnung über Stammfunktion nicht möglich: Numerische Quadratur In[f ] = n X gif (xi) Fehlerfunktion Quadraturformel i=0 1) Knoten xi ∈ [a, b], i = 0, 1, . . . , n 2) Gewichte gi , i = 0, 1, . . . , n 171 11.1 Newton–Cotes Formeln Interpolationspolynom für xi ∈ [a, b], In[f ] = Zb i = 0, 1, . . . , n und integriere pn (x) dx a pn (x) = n X li(x)f (xi ), li(x) = i=0 n Y x − xj x − xj j=0,j6=i i Quadraturformel In[f ] = Zb pn (x) dx = n X gif (xi) i=0 a mit Gewichten gi = Zb li(x) dx a 172 Trapezregel: Wähle n = 1, x0 = a und x1 = b. Damit gilt x−a x−b · f (a) + · f (b) a−b b−a Berechne die beiden Gewichte g0 und g1: p1(x) = g0 = Zb g1 = Zb x−b b−a dx = a−b 2 a x−a b−a dx = b−a 2 a Daraus folgt die Trapezregel: I[f ] ≈ I1[f ] = b−a (f (a) + f (b)) 2 173 Simpsonregel: b+a und x2 = b. Damit berechnet man die 2 Wähle n = 2, x0 = a, x1 = Gewichte g0 = Zb l0(x) dx = b−a 6 Zb l1(x) dx = 2 (b − a) 3 Zb l2(x) dx = b−a 6 a g1 = a g2 = a Daraus folgt die Simpsonregel: b+a b−a f (a) + 4f + f (b) I[f ] ≈ I2[f ] = 6 2 174 3/8–Regel: ! b−a b−a (b − a) I3[f ] = f (a) + 3f a + + 3f a + 2 + f (b) 8 3 3 ! Milne–Regel: b−a b−a b−a I4[f ] = 7f (a) + 32f a + + 12f a + 2 90 4 4 ! (b − a) + 7f (b) + 32f a + 3 4 ! Satz: Die Newton–Cotes–Formel In [f ] integriert Polynome vom Grad ≤ n exakt. 175 Zusammengesetzte Newton–Cotes–Formeln: Höhere Genauigkeit durch Unterteilung des Intervalls [a, b] Gegeben sei die äquidistante Unterteilung mit den Knoten b−a N Verwende auf jedem Teilintervall Quadraturformel der Ordnung n. xi = a + ih, Beispiel: i = 0, 1, . . . , N, h= Zusammengesetzte Trapezregel T (h) = NX −1 h i=0 2 (f (xi) + f (xi+1 ) f (a) f (b) = h + f (a + h) + . . . + f (b − h) + 2 2 ! 176 Beispiel: Zusammengesetzte Simpsonregel S(h) = = NX −1 h i=0 6 (f (xi) + 4f xi + xi+1 2 ! + f (xi+1) h (f (a) + 4f (a + h/2) + 2f (a + h) + . . . 6 +2f (b − h) + 4f (b − h/2) + f (b)) Quadraturfehler der (zunächst einfachen) Newton–Cotes Formeln: Abschätzung für den Interpolationsfehler: n Y 1 max |f (n+1)(ξ)| · (x − xi) |f (x) − pn(x)| ≤ (n + 1)! ξ∈[a,b] i=0 177 Daraus folgt: Zb Zb |f (x) − pn(x)| dx (f (x) − pn(x)) dx ≤ a a Zb Y n (x − xi) dx i=0 1 max |f (n+1)(ξ)| ≤ (n + 1)! ξ∈[a,b] a Beispiel: Trapezregel Zb Y Zb 1 (b − a)3 (x − x ) dx = (x − a)(b − x) dx = i 6 a i=0 a Wir erhalten also: Zb (b − a)3 f (x) dx − I1 [f ] ≤ max |f (2)(ξ)| 12 ξ∈[a,b] a 178 Tabelle der Integrationsfehler: Trapezregel: (b − a)3 · kf (2)k∞ 12 Simpsonregel: (b − a)5 · kf (4)k∞ 2880 3/8–Regel: (b − a)5 · kf (4)k∞ 6480 Milneregel: (b − a)7 · kf (6)k∞ 967680 Bemerkung: Man beachte die vergleichsweise höhere Genauigkeit der Simpson– und Milneregel (n gerade!): n = 1 : (b−a)3 , n = 2 : (b−a)4→5 , n = 3 : (b−a)5, n = 4 : (b−a)6→7 179 Fehlerabschätzungen bei zusammengesetzten Newton–Cotes Formeln Beispiel: Es gilt: Zb h2 (b − a)kf (2) k∞ f (x) dx − T (h) ≤ 12 a Beweis: Zusammengesetzte Trapezregel x j+1 Z n−1 X j f (x) dx − I1 [f ] j xj xj+1 Z n−1 X j f (x) dx − I1[f ] j xj x j+1 Z n−1 X j f (x) dx − I1 [f ] j xj x j+1 Z n−1 X j f (x) dx − I1[f ] j xj f (x) dx − T (h) = a Zb ≤ 180 Beweis: f (x) dx − T (h) = a Zb ≤ ≤ n−1 X (xj+1 − xj j 12 kf (2)k∞ ≤ n 3 (2) h kf k∞ 12 = h2 (b − a) kf (2)k∞ 12 181 Beispiel: Es gilt: Satz: Zusammengesetzte Simpsonregel h4 f (x) dx − S(h) ≤ (b − a)kf (4) k∞ 2880 a Zb (Konvergenz) Die Funktion f : [a, b] → R sei hinreichend oft stetig differenzierbar. Dann konvergieren die zusammengesetzten Newton–Cotes Formeln im Grenzwert h → 0 gegen das Integral I[f ] = Zb f (x) dx a 182 11.2 Gauß–Quadratur Approximiere Integrale der Form I[f ] = Zb w(x)f (x) dx a durch die Quadratur I[f ] ≈ n X wif (xi) i=0 mit einer speziellen Wahl von Stützstellen xi. Gaußsche Quadraturformeln mit (n + 1) Punkten integrieren Polynome vom Grad 2n + 1 exakt 183 11.3 Extrapolation Berechne Quadratur mittels Trapezregel I[f ] ≈ T [hi ] für verschiedene hi, i = 1, . . . , k und interpoliere die Funktion g(y) := T [y] an den Stützstellen yi = hi , i = 1, . . . , k. Extrapolation: Werte das Interpolationspolynom an der Stelle y = 0 aus 184
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