Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 6

RMG Haßfurt
Grundwissen Mathematik
Jahrgangsstufe 6
Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 6
Wissen und Können
Aufgaben, Beispiele, Erläuterungen
1. Rechnen mit Bruchzahlen
„zählt“, wie viele der gleichen Teile
interessant sind
Zähler
Bruch:
Nenner
Bsp.:
Das Rechteck ist in 15 gleiche Teile
4
geteilt, 4 davon sind grau:
15
gibt an, in wie viele gleiche Teile das
Ganze geteilt wird
Brüche mit einem Wert größer als 1 schreibt man auch
als gemischte Zahl.
Bsp.: 2
Ein Bruch wird erweitert, indem man Zähler und
Nenner mit derselben Zahl multipliziert.
Bsp.:
Ein Bruch wird gekürzt, indem der Zähler und der
Nenner durch dieselbe Zahl dividiert werden.
24 24 : 12 2
=
=
36 36 : 12 3
66
Kürze vollständig:
88
5 1
3
Mache gleichnamig: ;
und
9 3
4
3
Wandle um in einen Bruch: 2
4
Bsp.: Zwei Drittel der 27 Schüler einer Klasse spielen
ein Instrument. Wie viele Schüler sind das?
2
von 27 = (27 : 3) Â 2
3
3
von 120 = (120 : 8) Â 3
8
Addition und Subtraktion
Mache die Brüche gleichnamig,
addiere (subtrahiere) die Zähler und behalte den
Nenner bei.
Multiplikation:
3 3⋅2 6
=
=
5 5 ⋅ 2 10
Bsp.:
Brüche heißen gleichnamig, wenn sie den gleichen
Nenner haben. Brüche mit verschiedenen Nennern
kann man durch Erweitern (oder Kürzen) gleichnamig
machen.
Anteile berechnen
3
4
Zähler ⋅ Zähler
Nenner ⋅ Nenner
2 5 1 16 20 6 16 + 20 − 6 30 5
+ − =
+
−
=
=
=
3 6 4 24 24 24
24
24 4
1 1 1
Berechne: + −
2 3 4
Bsp.:
3 12 3 ⋅ 12 1⋅ 3 1⋅ 1 1
⋅
=
=
=
=
8 9
8 ⋅ 9 2 ⋅ 3 2 ⋅1 2
4 3
Berechne:
⋅
15 16
Bsp.:
Beachte: Erst kürzen, dann multiplizieren!
Division: Bruch Â Kehrbruch
Bsp.:
Grundregeln
Klammern zuerst!
Potenz vor Punkt vor Strich!
Ergebnisse immer vollständig gekürzt angeben!
3 6 3 7
3⋅7
1⋅ 1 1
: =
⋅ =
=
=
14 7 14 6 14 ⋅ 6 2 ⋅ 2 4
1·
§ 5 8 3· §
Berechne: ¨ 5 − ⋅ 4 ¸ : ¨ − 2 ¸
8
3
4
6
©
¹ ©
¹
2
2. Rechnen mit Dezimalbrüchen
Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche und
7
28
Bsp.:
=
= 0,28 = 28% oder
umgekehrt
25 100
1
1
7
- Zehnerpotenz im Nenner:
= 0,1;
= 0,01 usw.
= 7 : 25 = 0,28 = 28%
10
100
25
z
- Division:
=z:n
Wandle jeweils in verschiedene Schreibweisen um:
n
4 57
3
p
;
; 3 ; 0,6; 30%
- p% =
25 40
11
100
besondere Brüche
1
1
= 0,5 = 50%
= 0,25 = 25%
2
4
Finde weitere Brüche, die im Alltag häufig vorkommen,
und gib sie in verschiedenen Schreibweisen an.
3
= 0,75 = 75%
4
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Grundwissen Mathematik
Grundrechenarten
Berechne:
Rechne entweder mit Dezimalzahlen oder mit Brüchen. i) 2,56 : 1 3
5
iii) 0,4 : 0,025 – 21,2
Runden von Dezimalbrüchen
Wie beim Runden ganzer Zahlen auf eine bestimmte
Stelle betrachtet man die rechts von dieser Stelle
stehende Ziffer. Bei 0, 1, 2, 3 und 4 wird abgerundet,
bei 5, 6, 7, 8 und 9 aufgerundet.
Jahrgangsstufe 6
2
– 0,3
3
iv) 2,25 Â 3,2 – 7,2 : 0,04
ii)
Runde:
a) 0,07535 auf 3 Dezimalen
b) 2,5493 auf 2 Dezimalen
c) 0,24038 auf 3 Dezimalen
3. Absolute und relative Häufigkeit
Die absolute Häufigkeit ist die tatsächliche Anzahl
eines Ereignisses.
absolute Häufigkeit
Relative Häufigkeit =
Gesamtzahl
Bsp.: In einer Klasse sind 18 Mädchen und 12 Jungen.
Absolute Häufigkeit der Mädchen in der Klasse: 18
Relative Häufigkeit der Mädchen in der Klasse:
18
6
=
= 60%
30 10
4. Prozentrechnung
45% von 800 € = 360 €
Prozentsatz
Grundwert
Schlussrechnung (Dreisatz)
100%
ԑ800 €
1%
ԑ8 €
45%
ԑ 360 €
: 100
Â 45
Berechne:
336 Schüler kommen mit dem Bus in eine Schule, die
insgesamt 800 Schüler hat. 45% aller Schüler sind
Prozentwert
weiblich.
a) Wie viele Schüler der Schule sind männlich?
Anteil berechnen b) Wie viel Prozent der Schüler fahren mit dem Bus?
45% von 800 € = c) 20% aller Karten für das Schultheater wurden schon
verkauft. Das waren 12 Stück. Wie viele Karten gibt
45
von 800 € =
es insgesamt?
100
(800 € : 100) Â 45 =
8€
Â 45 =
360 €
5. Flächeninhalt von Dreiecken und Vierecken
1: Berechne jeweils den Flächeninhalt der Figur.
1
ADreieck = ⋅ a ⋅ ha
2
ha
1 cm
a
a)
ha
AParallelogramm = a ⋅ ha
2
2: Zeichne ein 4 cm hohes und 12 cm großes Dreieck.
a
c
ATrapez =
c)
b)
a+c
⋅h
2
h
a
6. Rauminhalte
Volumen eines Quaders (Länge l, Breite b, Höhe h):
VQuader = l Â b Â h
Umrechnung der Volumeneinheiten:
1000 mm
1000 cm
3
= 1 cm
3
= 1 ml
3
=1l
3
= 1 dm
3
3
1000 dm
=1m
Berechne:
Das unten abgebildete Blech wird entlang der
gepunkteten Linien zu einer oben offenen Schachtel
gebogen. Welches Volumen hat diese Schachtel?
(nach BMT 2002)
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Grundwissen Mathematik - Lösungen
Jahrgangsstufe 6
Lösungen:
1. Rechnen mit Bruchzahlen
Allgemein
Mache gleichnamig:
Multiplikation
5 1
3
kleinster gemeinsamer Nenner von
,
und
ist 36
9 3
4
20 12
27
,
und
Erweitern der Brüche ergibt:
36 36
36
Wandle um in einen Bruch:
3 2 3 8 3 11
2 = + = + =
4 1 4 4 4 4
4 3
4⋅3
1⋅ 1
1
⋅
=
=
=
15 16 15 ⋅ 16 5 ⋅ 4 20
Grundregeln
1·
§ 5 8 3· §
¨5 − ⋅ 4 ¸ : ¨ − 2 ¸
8
3
4
6
©
¹ ©
¹
2
§ 45 8 19 · § 13 ·
=¨
− ⋅ ¸ : ¨−
¸
© 8 3 4 ¹ © 6 ¹
§ 45 38 · 169
=¨
−
¸:
3 ¹ 36
© 8
Kürze vollständig:
66 66 : 11 6 6 : 2 3
=
= =
=
z.B.
88 88 : 11 8 8 : 2 4
§ 135 304 · 169
=¨
−
¸:
24 ¹ 36
© 24
§ 169 · 36
= ¨−
¸⋅
© 24 ¹ 169
Addition und Subtraktion
1 1 1
6
4
3
6+4−3
7
+ − =
+
−
=
=
2 3 4 12 12 12
12
12
=−
3
2
2. Rechnen mit Dezimalbrüchen
Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche und umgekehrt
4
16
=
= 0,16 = 16%
25 100
57
= 57 : 40 = 1,425 = 142,5%
40
3 36
3
=
= 36 : 11 = 3,2727... ≈ 327%
11 11
Grundrechenarten
6
3
0,6 =
= = 60%
10 5
3
30% =
= 0,3
10
iv) 2,25 Â 3,2 – 7,2 : 0,04 = 7,2 – 180 = -172,8
Besondere Brüche
1 125
z.B. =
= 0,125 = 12,5%
8 1000
3
i) 2,56 : 1 = 2,56 : 1,6 = 25,6 : 16 = 1,6
5
2
2 3
20 9
11
− 0,3 = −
=
−
=
ii)
3
3 10
30 30
30
iii) 0,4 : 0,025 – 21,2 = 16 – 21,2 = - 5,2
Umgang mit gerundeten Dezimalbrüchen
a) 0,07535 auf 3 Dezimalen gerundet: 0,075
b) 2,5493 auf 2 Dezimalen gerundet: 2,55
c) 0,24038 auf 3 Dezimalen gerundet: 0,240
1
= 0,333... ≈ 33%
3
4. Prozentrechnung
a) 55% Â 800 = 0,55 Â 800 = 440
440 Schüler sind männlich.
c)
336
42
b)
=
= 42%
800 100
20%
ԑ 12 Karten
1%
ԑ 0,6 Karten
100% ԑ 60 Karten
Insgesamt gibt es 60 Karten.
42 % der Schüler fahren mit dem Bus.
5. Flächeninhalt von Dreiecken und Vierecken
1.
1cm
1cm
a)
1cm
A Trapez =
1 cm
3cm
c)
b)
2cm
1cm
2cm
a+c
2cm + 4cm
⋅h =
⋅ 1cm = 3cm2
2
2
A Paralle log ramm = a ⋅ ha = 2cm ⋅ 1cm = 2cm 2
A Dreieck =
1
1
⋅ a ⋅ ha = ⋅ 2cm ⋅ 1cm = 1cm 2
2
2
2. Das Dreieck hat eine Höhe von 4 cm und einen Flächeninhalt von 12 cm².
Die Grundlinie muss damit 6 cm lang sein (siehe Zeichnung rechts).
6. Rauminhalte
4 cm
Höhe der Schachtel: h = (10cm – 6cm) : 2 = 2cm
V = l Â b Â h = 25cm Â 6cm Â 2cm = 300 cm
AD = 12 cm²
3
6 cm
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2

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