Übungen zur Biostatistik (WS 2015/2016) - Serie 3 Aufgabe St5: In Aufgabe St3 war die folgende Wertetabelle für den Zusammenhang von Höhe h und Brusthöhendurchmesser d von sechs Kastanienbäumen angegeben: Höhe h (in m) 12,3 10,1 5,4 2,6 14,1 7,3 Stammdurchmesser d (in cm) 31,9 30,2 15,2 10,3 40,8 23,2 Diese Werte ließen auf den ersten Blick einen linearen Zusammenhang zwischen h und d vermuten, deshalb haben wir in Aufgabe St3 (neben der Berechnung des PEARSONschen Maßkorrelationskoeffizienten r) auch eine Ausgleichsgerade grafisch „intuitiv“ geschätzt. a) Berechnen Sie jetzt mit Hilfe der Formeln für die lineare Regression (Kriterium: kleinste quadratische Abweichungen) die genauen Werte für die Parameter a und b der optimalen Ausgleichsgeraden d = b ⋅ h + a ! b) (in der Übung): Lesen Sie an der Ausgabe von SPSS ab, ob der wahre Anstieg β (geschätzt durch unseren Parameter b) „signifikant“ vom Wert Null abweicht, also nicht nur durch Zufälligkeiten der Stichprobe bedingt ist ! Wie groß ist die "Signifikanz" (d.h. der P-Wert) ? (Anmerkung: In der Praxis ist es natürlich sinnvoller, den Durchmesser d zu messen und daraus die Höhe h zu schätzen - in der Aufgabe ist es gerade anders herum.) Aufgabe St6: Bei einer „gut gefütterten“ Mikrobenkultur kann man in der Anfangsphase davon ausgehen, daß die Biomasse nach einem Exponentialgesetz m( t ) = m( 0) ⋅ er ⋅t ↔ ln m( t ) = ln m( 0) + r ⋅ t , d.h. mit konstanten Verdopplungszeiten T = (ln 2)/r, wächst (ln = logarithmus naturalis = Logarithmus zur Basis e). Es seien die Zeit t in Stunden sowie die Biomasse m in Milligramm angegeben. Das Protokoll des Experiments weist folgende zehn Wertepaare aus: Zeit t (in h) Biomasse m (in mg) 0 1 2 3 4 6 8 10 36,1 49,7 60,6 83,2 102,4 185,8 316,7 502,1 a) Tragen Sie die Biomasse m über der Zeit t in einem (t, m)-Koordinatensystem auf! Würden Sie einen linearen Zusammenhang vermuten? b) Falls Sie jetzt den obigen exponentiellen Zusammenhang vermuten, dann berechnen Sie für jede Zeit t auch y = ln m und tragen Sie ln m über t auf ! (Wie ändert sich das Bild, wenn Sie statt dessen den dekadischen Logarithmus lg verwenden?) c) Berechnen Sie jetzt die Regressionsgerade nach den in der Vorlesung angegeben Formeln (für x = t und y = ln m) sowie die Güte der Anpassung! Welche Werte erhalten Sie für die gesuchten Parameter Anfangsbiomasse m(0) und spezifische Wachstumsrate r nach der Rücktransformation? Um welchen Faktor R = er wächst die Population in jeder Stunde? Besprechung: Übungen 23.-27.11. bzw. 30.11.-4.12. Anmerkung: Die Aufgaben St5a und St6 sollen Sie allein mit einem einfachen Taschenrechner ausrechnen oder Excel zu Hilfe nehmen. In der Übung können Sie Ihre Ergebnisse dann alternativ mit SPSS (oder R) berechnen.