Stochastik Klausur

Stochastik
Klausur
K. Panagiotou/J. Kugler
Lösungsskizzen
Aufgabe 1
2
a) Die Momente E[eλX ] existieren, da die tails der Normalverteilung mit Geschwindigkeit ex ,
d.h. für alle λ schneller als eλx , abfallen. Daher folgt mittels quadratischer Ergänzung
Z ∞
(x−µ)2
λ2
1
λX
eλx · √ e− 2 dx = · · · = eµλ+ 2
E[e ] =
2π
−∞
b) Mit der Formel aus der Vorlesung für die Varianz
Var[eX ] = (e − 1)e2µ+1
Aufgabe 2
a) Da f eine Dichte erhält man c = 2.
b) Nach Vorlesung ist
Z ∞
fX (x) =
f (x, y)dy = · · · = fExp(1) (x).
−∞
Analog kann man die Dichte von Y berechnen und erhält X ∼ Exp(1) und Y ∼ Exp(2).
c) Es ist
f(X,Y ) (x, y) = fX (x)fY (y),
d.h. X und Y sind unabhängig.
d) Mit dem Satz von Fubini und c) kann man wie in der letzten Vorlesung an der Tafel vorgerechnet leicht sehen, dass
2
P(X > Y ) = · · · = .
3
Aufgabe 3
a) Der Erwartungswert existiert, da der Wertebereich von X endlich ist. Wegen e
und der Unabhängigkeit der Xi erhält man
P
xi
=
Q
e xi
E[eλX ] = · · · = 2−n (eλ + e−λ )n
b) Nach der Markov-Ungleichung für f (x) = eλx und wegen eλ + e−λ ≤ 2eλ
P(X ≥ t) ≤ · · · ≤ e
nλ2
−λt
2
und für λ = t/n erhält man die gewünschte Ungleichung.
1
.
2 /2
ist für alle λ > 0
Aufgabe 4
Wir lassen den ersten Münzwurf weg und rechnen später +1 zur erwarteten Dauer. Dann kann
man diese Aufgabe völlig analog zur Musterlösung von 11-H1 modellieren. Es ergibt sich eine
irreduzible und endliche Markov-Kette mit den Zuständen “1” (= Sequenz von 1 Kopf/Zahl),
“2” (= Sequenz von 2 Kopf/Zahl), “3” (= Sequenz von 3 Kopf/Zahl) und beispielsweise der
Übergangsmatrix


1/2 1/2 0
1/2 0 1/2
1
0
0
Mittels Lemma 7.2 der Vorlesung erhält man, dass die erwartete Anzahl von Würfen nach dem
ersten Wurf, bis man entweder drei mal Kopf oder Zahl wirft 6 ist. D.h insgesamt ist die erwartete
Anzahl an Würfen 7.
Aufgabe 5
n
a) Das statistische Modell ist (Nn , 2N , {P o(λ)⊗n , λ > 0}).
b) Wir betrachten die logarithmische Likelihoodfunktion
log ρ(x, λ) = −λn +
n
X
xi log(λ) − log
i=1
f hat ein eindeutiges Maximum in λ =
1
n
n
Y
!
xi !
=: f (λ)
i=1
Pn
i=1 xi ,
d.h. der ML-Schätzer ist gegeben durch
n
T (X) =
1X
Xi .
n
i=1
c) Folgt aus einem Satz aus der Vorlesung.
Freiwillige Zusatzaufgabe
a) Seien Ri unabhängige Zufallsvariablen mit
1
1
und P(Ri = 1/2) = .
2
2
Qn
für alle i ∈ {1, 2, . . . , n}. Dann gilt Kn = i=1 Ri .
b) Es ist E[Ri ] = 1, daher folgt mit der Unabhängigkeit E[Kn ] = 1.
c) Nach dem starken GdgZ gilt
P(Ri = 3/2) =
n
√
1X
f.s.
log(Ri ) −−→ log( 3/2) < 0,
n
i=1
und durch Verwendung des Hinweises folgt mit T02 von Blatt 9 (alternativ wie im Beweis von
der ersten Aufgabe auf dem Weihnachtsblatt), dass
f.s
Kn −−→ 0.
2

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