Blatt 5 - Goethe

Goethe Universität Frankfurt am Main
Bereich Stochastik und Finanzmathematik
Dr. Klebert Kentia
Prof. Dr. Christoph Kühn
Blatt 5
Sommersemester 2016
Version vom 12. Juni 2016
Übungen zur Einführung in die Stochastische Finanzmathematik
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Betrachte eine zweidimensionale
Verallgemeinerung
des Cox-Ross-Rubinstein Modells. Sei dazu St0 =
Q
Q
t
t
ei , wobei A1 , . . . , AT , A
e1 , . . . , A
eT unabhängig und identisch
(1+r)t , r > −1, St1 = i=1 Ai , St2 = i=1 A
ei = d] = 1 − p und
ei = u] = p ∈ (0, 1), P [Ai = d] = P [A
verteilt sind mit P [Ai = u] = P [A
e1 , . . . , At , A
et ) für
0 < d < 1 + r < u. Die Filtration ist gegeben durch F0 = {∅, Ω} und Ft = σ(A1 , A
t > 0.
Ist das Marktmodell vollständig? Beweisen oder widerlegen Sie dazu sowohl die Replizierbarkeit aller
Claims als auch die Eindeutigkeit des äquivalenten Martingalmaßes (natürlich ohne die Äquivalenz
der beiden Aussagen zu benutzen).
Aufgabe 2 (4 Punkte) [Modell mit Transaktionskosten]
Betrachten Sie einen Finanzmarkt bestehend aus einem risikolosen Bond mit Preisprozess B = 1 und
einer risikobehafteten Aktie, die einen Kaufpreisprozess S und einen Verkaufspreisprozess S besitzt mit
S ≤ S. Für den Kauf einer Aktie zum Zeitpunkt t ∈ {0, . . . , T } werden also S t e fällig, während der
Verkauf nur S t e einbringt. Mit dem Modell kann z.B. eine Finanztransaktionssteuer abgebildet werden. Ein vorhersehbarer Prozess (ϕ0t , ϕ1t )t=0,1,...,T +1 heißt selbstfinanzierende Handelsstrategie,
wenn
ϕ0t − ϕ0t−1 + max{ϕ1t − ϕ1t−1 , 0}S t−1 − max{−(ϕ1t − ϕ1t−1 ), 0}S t−1 = 0,
∀t = 1, . . . , T + 1.
(Das Portfolio kann also letztmalig zu den Preisen zum Zeitpunkt T umgeschichtet werden, was bei
der Modellierung ohne Transaktionskosten nicht berücksichtigt werden muss)
Eine Arbitrage in diesem Modell ist eine selbstfinanzierende Handelsstrategie (ϕ0t , ϕ1t )t=0,1,...,T +1
mit ϕ00 = ϕ10 = ϕ1T +1 = 0, P (ϕ0T +1 ≥ 0) = 1 und P (ϕ0T +1 > 0) > 0.
a) Zeigen oder widerlegen Sie die folgende Aussage:
Wenn es einen Prozess S mit S ≤ S ≤ S und ein Maß Q ∼ P gibt, so dass S ein Q-Martingal
ist, dann ist der Markt arbitragefrei.
b) Analog zu oben ist eine Einperiodenarbitrage in der Periode t0 ∈ {1, . . . , T } definiert als eine
selbstfinanzierende Handelsstrategie (ϕ0 , ϕ1 ) mit ϕ0t0 −1 = ϕ1t0 −1 = ϕ1t0 +1 = 0, P (ϕ0t0 +1 ≥ 0) = 1
und P (ϕ0t0 +1 > 0) > 0.
Zeigen oder widerlegen Sie die folgende Aussage:
Wenn es in dem Markt in keiner Periode eine Einperiodenarbitrage gibt, dann ist der Markt
arbitragefrei.
Bitte wenden!
Aufgabe 3 (4 Punkte)
a) Benutzen Sie die Resultate von Aufgabe 3, Blatt 4 und zeigen Sie1 , dass das CRR Modell arbitragefrei ist genau dann, wenn d < 1 + r < u. In diesem Fall ist das CRR Modell vollständig und
es existiert eine eindeutiges Martingalmaß P ∗ . Das Martingalmaß ist dadurch charakterisiert,
dass A1 , . . . , AT unabhängig unter P ∗ sind und die gleiche Verteilung
P ∗ [At = u] = p∗ :=
1+r−d
,
u−d
t = 1, . . . , T
aufweisen.
b) Eine Weihnachtsbaum-Option“ in einem CRR Modell mit Zeithorizont T = 28 ist wie folgt
”
definiert: In den Zeitpunkten 2, 7, 12, 16, 21 und 26 erhält man je eine Million Euro, sofern der
Kurs bis zur Zeit 14 außer im 5. und im 10. Schritt immer steigt um 1 und anschließend außer
im 19. und im 24. Schritt immer fällt. Dabei sei die Auszahlung genauer so geregelt, daß man
alle Beträge erst am Schluß erhält, dafür aber jeweils verzinst mit dem risikolosen Zinssatz.
(i) Erkläre den Namen der Option mit einer geeigneten Graphik.
(ii) Bestimme den Wert dieser Option für d = 0,9; u = 1,1; r = 0,05.
Abgabe: Dienstag, 28.06.2016 vor der Vorlesung.
1
Integrieren Sie das CRR Model im Setting von Blatt 4 - A.3, und folgern Sie entsprechend.

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