Dr. F. Stoll 4. Übungsblatt zur Vorlesung Prof. Dr. R. Dipper Algebra II Wintersemester 2006/07 Aufgabe P 11. Sei G eine Gruppe und g, x ∈ G. Zeigen Sie: CG (gxg −1 ) = gCG (x)g −1 . Aufgabe P 12. Wieviele Elemente besitzt die GL2 (2)? Zeigen Sie, dass GL2 (2) isomorph zu einer Ihnen wohlbekannten Gruppe ist. Aufgabe P 13. Zeigen Sie: Operiert eine Gruppe der Ordnung 55 auf einer Menge X mit 18 Elementen, so gibt es mindestens 2 Fixpunkte. Hinweis: Betrachten Sie die Längen der verschiedenen Bahnen. Aufgabe P 14. Verwenden Sie die Klassengleichung, um alle Gruppen mit genau zwei Konjugationsklassen zu bestimmen. Aufgabe P 15. Zeigen Sie, dass die Sn aus zwei Doppelnebenklassen Sn−1 σSn−1 besteht. Zeigen Sie außerdem, dass der Vertreter σ der Doppelnebenlasse Sn−1 σSn−1 6= Sn−1 so gewählt werden kann, dass Sn−1 ∩ σSn−1 σ −1 = Sn−2 ist. Verifizieren Sie nun Satz 1.3.16. 4. Übungsblatt Algebra II Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 7. Sei X eine Menge mit mehr als zwei Elementen. Zeigen Sie, dass eine Gruppe G genau dann zweifach transitiv auf X operiert, wenn für alle x ∈ X StabG (x) transitiv auf X\{x} operiert. Aufgabe H 8. (a) Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie: Wenn G/Z(G) zyklisch ist, dann ist G abelsch. (b) Folgern Sie, dass jede Gruppe der Ordnung p2 (p prim) abelsch ist. (c) Welche der folgenden Zerlegungen können auf der rechten Seite der Klassengleichung einer Gruppe der Ordnung 10 auftreten? 1 + 1 + 1 + 2 + 5, 1 + 2 + 2 + 5, 1 + 2 + 3 + 4, 1+1+2+2+2+2 Hinweis: Welche Zerlegung bekommt man für die Diedergruppe D2·5 ?