Übungen zu Höhere Analysis und elementare
Differentialgeometrie, WS 2015
Ulisse Stefanelli
27. Januar 2016
1
Wiederholung
1. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale
Z
Z
Z
dx
(arctan x)3
(log x)2 (log x)3
,
dx,
e
dx,
(2 + 5x)4
1 + x2
x
Z
ex
dx
.
+ e−x
2. Berechnen Sie die folgenden Integrale
Z
2
3
+
Z
ee
log x
dx,
x
(1−|x|) dx,
−2
e
Z
π/2
Z
1
sin x cos x dx,
(xex −xe−x )dx.
−1
0
3. Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale
Z +∞
Z +∞
Z +∞
x arctan(x2 )
−x
xn e−x dx (n ∈ N),
xe dx,
dx,
4
1
+
x
0
0
0
Z
+∞
0
| sin(πx)|
dx
bxc!
4. Betrachten Sie das Konvergenzverfahren in R der folgenden Funktionenfolgen
gn (x) = xn ,
fn (x) = arctan(nx),
hn (x) = (x − bxc)n .
5. Mit Hilfe der Potenzreihen, berechnen Sie die Reihen
+∞
X
(−64)n π 2n
n=0
(2n)!
,
+∞
X
cos(nπ)
0
n!
,
+∞
X
(−1)n
2n + 1
0
6. Berechnen Sie die McLaurinpolynome der Ordnung 13 der folgenden Funktionen
3
f (x) = ex ,
g(x) = x cos(x3 ),
h(x) = (g(x)))2 .
7. Sei (X, d) ein metrischer Raum und f : X → X und g : X → R stetig. Stellen Sie Beispiele vor:
1
2
(a) A ⊂ X nicht kompakt mit f (A) und g(A) kompakt.
(b) A ⊂ X kompakt mit f −1 (A) und g(A) kompakt.
(c) A ⊂ X abgeschlossen mit f (A) und g(A) abgeschlossen.
(d) A ⊂ X offen mit f (A) offen und g(A) kompakt.
(e) B ⊂ R kompakt mit g −1 (B) offen.
(f) B ⊂ R offen mit g −1 (B) kompakt.
(g) B ⊂ R kompakt mit g −1 (B) leer.
√
8. Sei f (x, y) = x2 y + sin(3y) und u = (1, 3)/2. Berechnen Sie
∇f (x, y),
∂f
(x, y), Hf (x, y), ∇ · ∇f (x, y), ∇(∇·∇f )(x, y), H∇(∇·∇f ) (x, y).
∂u
9. Berechnen Sie den Differential von f : (x, y) ∈ R2 7→ (xy, y 2 , cos(xy)) ∈ R3 im Punkt (x, y). Sei
LP der Differential von f im Punkt P = (1, π). Welchen Wert hat LP (1, 1)?
10. Sei f (x, y) = x4 − y 2 − 2x2 + 4y für alle (x, y) ∈ R2 und sei (x0 , y0 ) die einzige Maximumstelle
von f . Welchen Wert hat f (x0 , y0 )?
2
Kurven
11. Zeichnen Sie das Bild und berechnen Sie den Tangentialvektor der Wege
γ1 : t ∈ [0, 1] 7→ (t2 , t), γ2 : t ∈ [0, π] 7→ (t cos t, t sin t),
γ3 : t ∈ [0, 4π] 7→ (cos t, sin t, t2 ), γ4 : t ∈ [−π, π] 7→ (cos |t|, sin t).
12. Sei γ : [0, 1] → Rn beliebig. Stellen Sie Beispiele vor:
(a) γ1 : [2, 4] → Rn , sodass γ ∼ γ1 ,
(b) γ2 : [0, 1] → Rn , sodass γ ∼ (t 7→ γ2 (1 − t)),
(c) γ3 : [0, 1] → Rn , sodass γ(t) = γ3 (t) für t ∈ [0, 1/2] und γ(t) = γ3 (1−t) für t ∈ (1/2, 1].
(d) γ4 : [0, 1/2] → R, sodass γ(t) = 2γ4 (2t) + u für u ∈ Rn gegeben.
13. Welche von diesen Kurven Ci mit Parameterdarstellungen γi : [−1, 1] → R2 sind geschlossen,
stückweise regulär, differenzierbar?
γ1 (t) = (t+ , t− ), γ2 (t) = (cos(6πt), t),
γ3 (t) = ((cos(πt)+ , (sin(πt)+ ), γ4 (t) = ||t|−1/2|(cos t, sin t).
14. Sei die Kurve C von γ : t ∈ [0, 2π] 7→ (cos(2π−t), sin t) dargestellt. Welche von den folgenden
Wege γi : [0, 2π] → R2 stellen die Kurve C dar? Welche die Kurve −C?
γ1 (t) = (cos t, sin t), γ2 (t) = (cos(2π−t), − sin t),
γ3 (t) = (cos t, sin(2π−t)), γ4 (t) = −(cos t, − sin t).
3
15. Berechnen Sie die Länge der Kurven mit Paremeterdarstellungen
√
(a) γ1 : t ∈ [0, 2] 7→ (t, t2 / 2, t3 /3),
(b) γ2 : t ∈ [0, 1] 7→ (t, 2t3/2 /3),
(c) γ3 : t ∈ [0, 1] 7→ (t3 , t2 ),
(d) γ4 : t ∈ [0, 1] 7→ (et cos t, et sin t).
16. Berechnen Sie die Parametrizierung nach der Bogenlänge von
(a) γ1 : t ∈ [0, 2] 7→ (t, 2t, 3t),
(b) γ2 : t ∈ [0, 1] 7→ (t, 2t3/2 /3),
(c) γ3 : t ∈ [0, 1] 7→ (t3 /3, t2 /2).
R
17. Berechnen Sie die Integrale Ci fi ds für
(a) γ1 : t ∈ [0, 1] 7→ (t, t2 ), f1 (x, y) = 3x −
√
y,
(b) γ2 : t ∈ [0, 1/2] 7→ (et , t), f2 (x, y) = xey ,
(c) γ3 : t ∈ [0, 2π] 7→ (cos t, sin t), f3 (x, y) = x2 + y + xy,
(d) γ4 : t ∈ [0, 1] 7→ (et cos t, et sin t), f4 (x, y) = x2 + y 2 .
3
Vektorfelder und Formen
18. Berechnen Sie die folgenden Wegintegrale von Vektorfeldern
(a) γ1 : t ∈ [0, π/2] 7→ (cos t, sin t), f (x, y) = (xy 2 , x + y),
(b) γ2 : t ∈ [0, π] 7→ (r cos t, r sin t) (r > 0), f (x, y) = (x, x+y)/(x2 +y 2 ),
(c) γ3 : t ∈ [0, 1] 7→ (t, t2 ), f (x, t) = (xy, ex ),
(d) γ4 : t ∈ [1, 2] 7→ (t, t2 , 1−t), f (x, y, z) = (3y, x, −2xz)/(x3 +y+1).
19. Berechnen Sie die folgenden Wegintegrale von Formen
(a) γ1 : t ∈ [0, 1] 7→ (t+1, 2t), ω(x, y) = y dx + ln x dy,
(b) γ2 : t ∈ [0, 1] 7→ (t, et ), ω(x, y) = xy dx − dy/(1+y),
√
(c) γ3 : t ∈ [3, 5] 7→ (t, t2 −9), ω(x, y) = dy − xy dx,
(d) γ4 : t ∈ [0, 1] 7→ (t, t+2), ω = d(xyex+y ),
20. Finden Sie Potentiale für die folgenden Vektorfelder
2
2
(a) f : R2 → R2 , f (x, y) = (2xyex , ex ),
(b) g : R3 → R3 , g(x, y, z) = (z 2 , z − 1, y + 2xz),
(c) h : R2 → R2 , h(x, y) = (ey cos(xey ), xey cos(xey )),
(d) ` : R2 → R2 , `(x, y) = (y cos(xy) − xy 2 sin(xy), x cos(xy) − x2 y sin(xy)).
4
C1
21. Sei ω : R2 \ {(0, 0)} → (R2 )∗ geschlossen mit
Beweisen sie, dass ω exact ist.
R
γ
ω = 0, wobei γ : t ∈ [0, 2π] 7→ (cos t, sin t).
22. Welche von diesen Formen ωi : R2 \ {(0, 0)} 7→ (R2 )∗ sind gechlossen bzw. exact?
x dx
y dy
+ 2
,
2
+y
x + y2
−y dx
x dy
(b) ω2 (x, y) = 2
+ 2
,
2
x +y
x + y2
x2 dx
y dy
(c) ω3 (x, y) = 2
+
,
x + y 2 x2 + y 2
(x−y) dx (x+y) dy
(d) ω4 (x, y) = 2
+ 2
.
x + y2
x + y2
(a) ω1 (x, y) =
x2
23. Beweisen Sie, dass die folgenden Formen exact sind.
2
2
(a) ω : (x, y) ∈ R2 7→ −e−y dx + 2xye−y dy,
(b) ω : (x, y) ∈ R2 7→ cos(sin(xy)) cos(xy)(y dx + x dy),
(c) ω : (x, y, z) ∈ R3 7→ yz 2 dx + xz 2 dy + 2xyz dz,
P
(d) ω : (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn 7→ ni=1 xi dxi .
24. Beweisen Sie, dass alle stetige Formen ω : R → R∗ exact sind.
4
Untermannigfaltigkeiten
25. Stellen Sie ein Beispiel einer C 1 Funktion ϕ : Rk → Rn mit k ≤ n vor, sodass gilt:
∀j = 0, 1, . . . , k ∃xj ∈ Rk : Rang(Dϕ(xj )) = j.
26. Seien f : Rk → Rn und g : Rh → Rm differenzierbar, i ≤ k ≤ n, j ≤ h ≤ m und Rang(Df ) = i,
Rang(Dg) = j konstant. Sei ϕ : Rk+h → Rn+m so gegeben
ϕ(u1 , . . . , uk , uk+1 , . . . , uk+h ) = (f (u1 , . . . , uk ), g(uk+1 , . . . , uk+h )).
Zeigen Sie, dass Rang(Dϕ) = i + j konstant.
27. Stellen Sie Beispiele vor:
(a) eine Immersion ϕ : R2 → R3 , die nicht injektiv ist,
(b) eine Immersion ϕ : R4 → R6 ,
(c) eine C 1 Abbildung ϕ : R3 → R4 , die keine Immersion ist.
28. Betrachten Sie die foldenden Abbildungen ϕ : U ⊂ R2 → R3 . Welche sind Immersionen? Wie
sieht ϕ(U ) aus?
(a) U = (0, 2π) × (0, π), ϕ(u1 , u2 ) = (sin u2 cos u1 , sin u2 sin u1 , cos u2 ),
5
(b) U = (0, 4π)2 , ϕ(u1 , u2 ) = (cos u1 , sin u1 , 3+ sin u2 ),
p
(c) U = {u ∈ R2 : |u| < 1}, ϕ(u1 , u2 ) = ( 1−u21 −u22 , u1 , u2 ),
(d) U = (0, 4π) × (0, 1), ϕ(u1 , u2 ) = (u2 cos u1 , u2 sin u1 , u2 ),
(e) U = (0, 4π) × (−1, 1), ϕ(u1 , u2 ) = (u2 cos u1 , u2 sin u1 , u2 ).
29. Beweisen Sie, dass ϕ : (x1 , . . . , xk ) ∈ Rk 7→ (x1 , 1, x2 , 2, . . . , xk , k) ∈ R2k eine Immersion ist.
30. Beweisen Sie, dass die Menge {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z 3 = 1} eine parametrisierte 1-Fläche
ist.
31. Sei f : Rk → R eine C 1 Abbildung. Zeigen Sie, dass der Graphen von f eine parametrisierte
k-Fläche (in Rk+1 ) ist.
32. Sie M = B1 ∪ B2 , wobei B1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + (z−1)2 = 1} und B2 = {(x, y, z) ∈ R3 :
x2 + z 2 = 4} sind. Beweisen Sie, dass M eine parametrisierte 2-Fläche ist.
33. Seien die Mengen A, B, C, D, E ⊂ R3 gegeben durch
A := {(x, y, z) ∈ R3 : y 2 + z 2 = 1}, B := {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 9},
C := {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z 2 }, D := {(x, y, z) ∈ R3 : x = y},
E := {(x, y, z) ∈ R3 : (x − 1)2 + y 2 + z 2 = 1}.
Welche unter
A, B, C, D, E, C ∩ B, B ∪ E, C ∩ D, E ∪ D, A ∩ D, A ∩ B
sind Untermannigfaltigkeiten von R3 ?
34. Stellen Sie Beispiele vor:
(a) M ⊂ R3 nicht abgeschlossen,
(b) M ⊂ R3 , M abgeschlossen und nicht kompakt,
(c) M ⊂ R4 , M kompakt, dim(M ) = 3,
(d) M ⊂ R2n , dim(M ) = n.
35. Finden Sie Karten um (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) für S 2 . Beweisen Sie, dass keine Karte
ϕ : U ⊂ R2 → R3 (U offen) existiert, sodass S 2 = ϕ(U ).
36. Sei M eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn . Beweisen Sie, dass es gilt:
(a) {(m, 0) ∈ Rn+1 : m ∈ M } ist eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn+1 ,
(b) M × M ist eine 2k-dimensionale Untermannigfaltigkeit von R2n .
37. Seien M, N ⊂ Rn Untermannigfaltigkeiten gegeben, sodass M ∪ N noch eine Untermannigfaltigkeit ist. Stimmt es, dass dim(M ∪ N ) = dim(M ) = dim(N )? Gilt es unter der Voraussetzung
’M ∩ N Untermannigfaltigkeit’ ?
38. Zeichnen Sie in R3 folgende:
6
(a)
(b)
(c)
(d)
eine Ebene,
den Schnitt
den Schnitt
den Schnitt
eine Kugel, einen Kegel, einen Zylinder,
zwischen: Ebene und Kugel, Ebene und Kegel, Ebene und Zylinder,
zwischen: Kugel und Kegel, Kugel und Zylinder,
zwischen Kegel und Zylinder.
39. Schauen Sie http://imaginary.org/gallery/herwig-hauser-classic an. Zeigen Sie, dass
Zitrus, Daisy, Diabolo und Dullo keine (Hyper)flächen sind.
40. Seien A und B nichtleere Teilmengen von Rn . Beweisen Sie folgendes
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
A ⊂ B ⇒ span(A) ⊂ span(B),
{v1 , . . . , vk } Basis von A ⇒ span(A) = span({v1 , . . . , vk }),
span(span(A)) = span(A),
{0}⊥ = Rn , (Rn )⊥ = {0},
A ⊂ (A⊥ )⊥ . Zeigen Sie auch, dass A 6= (A⊥ )⊥ sein kann,
A Teilraum ⇒ A = (A⊥ )⊥ ,
span(A) ⊂ (A⊥ )⊥ .
Freiwillig: ist span(A) = (A⊥ )⊥ ? Gilts es: A = (A⊥ )⊥ ⇒ A Teilraum?
41. Finden Sie Tp M und Np M der folgenden Hyperflächen:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
M
M
M
M
M
= {(x, ex ) ∈ R2 : x ∈ R},
= {(x, y) ∈ R2 : x2 + 4y 2 = 5},
= {((v22 +1) cos v1 , (v22 +1) sin v1 , v2 ) ∈ R3 : (v1 , v2 ) ∈ R2 },
= {(x, y, log(x2 +y 2 )) ∈ R3 : (x, y) 6= (0, 0)}
= {Ax ∈ Rn : x ∈ Rn }, A ∈ Rn×n beliebige Matrix.
42. Stellen Sie Beispiele vor:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
eine
eine
eine
eine
eine
kompakte Fläche M ⊂ R3 mit K > 0 in allen Punkten,
nicht kompakte Fläche M ⊂ R3 mit K > 0 in allen Punkten,
nicht beschränkte Fläche M ⊂ R3 mit K > 0 in allen Punkten,
nicht kompakte Fläche M ⊂ R3 mit K = 0 in allen Punkten,
nicht kompakte Fläche M ⊂ R3 mit K < 0 in allen Punkten.
43. Berechnen Sie die gaußche Krümmung von S 2 ⊂ R3 durch die Parametrisierung
ϕ : (u1 , u2 ) ∈ (0, π) × (0, 2π) 7→ (sin u1 cos u2 , sin u1 sin u2 , cos u1 ).
Ist ϕ eine globale Parametrisierung von S 2 ? (oder: ist S 2 das Bild von ϕ?) Warum?
44. Seien M ⊂ R3 eine Fläche und p ∈ M . Beweisen Sie, dass H(p) = 0 ⇒ K(p) ≤ 0.
45. Auf einen beliebigen Torus in R3 finden Sie Punkte, wo K > 0, K < 0 und K = 0. Gibt es
Punkte, wo H = 0?
46. Seien 0 < r < R und M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 /R2 + y 2 /r2 + z 2 /r2 = 1}. Berechnen Sie die
gaußche und die mittlere Krümmung im Punkt p = (R, 0, 0).
7
5
Lebesgue Integral
47. Sei J ⊂ Rn ein Multiquader. Finden Sie zwei verschiedene Darstellungen von D als Vereinugung
von Quadern.
48. Seien Jn ⊂ Rn und Jm ⊂ Rm Multiquadern. Beweisen Sie, dass Jn ×Jm ⊂ Rn+m ein Multiquader
ist. Sei jetzt J ⊂ Rn+m ein Multiquader. Stimmt es, dass zwei Multiquadern Jn ⊂ Rn und
Jm ⊂ Rm existieren, sodass J = Jn × Jm ?
49. Sei J ⊂ Rn ein Multiquader. Zeigen Sie Folgendes:
∀m ≤ n die Menge {(x1 , . . . , xm ) ∈ Rm : x = (x1 , . . . , xn ) ∈ J} ist ein Multiquader.
50. Seien Ji ⊂ Rn Multiquadern für alle i ∈ N mit J1 ⊂ J2 ⊂ J3 ⊂ . . . . Stimmt es, dass J = ∪i∈N Ji
ein Multiquader ist? Gilt die Behauptung, falls wir zusätzlich annehmen, dass J beschränkt ist?
51. Seien Oi ⊂ Rn offen und Ai ⊂ Rn abgeschlossen mit i ∈ N. Beweisen Sie Folgende oder stellen
Sie Gegenbeispiele vor.
(a) ∪ni=1 Oi offen,
(b) ∩ni=1 Oi offen,
(c) ∪ni=1 Ai abgeschlossen,
(d) ∩ni=1 Ai abgeschlossen,
(e) ∪+∞
i=1 Oi offen,
(f) ∩+∞
i=1 Oi offen,
(g) ∪+∞
i=1 Ai abgeschlossen,
(h) ∩+∞
i=1 Ai abgeschlossen,
(i) O1 ⊂ O2 ⊂ . . . ⇒ ∀i ∈ N : Oi ⊂ ∪+∞
i=1 Oi ,
(j) A1 ⊃ A2 ⊃ . . . ⇒ ∀i ∈ N : ∩+∞
i=1 Ai ⊂ Ai .
52. Finden Sie eine nicht messbare Menge in R2 .
53. Sei C ⊂ R die Cantor Menge. Zeichnen Sie C × C ∈ R2 und beweisen Sie, dass C × C messbar
ist und dass m(C × C) = 0.
54. Berechnen Sie das Maß von Mi ⊂ R2 gegeben durch
(a) M1 = {(x, y) ∈ [0, π] × R : y = sin x},
(b) M2 = {(x, y) ∈ R × R : y = sin x},
(c) M3 = {(x, y) ∈ R × [0, π] : x = sin y},
(d) M4 = {(x, y) ∈ [0, π] × R : 0 ≤ y ≤ sin x}.
8
55. Seien D ∈ Rn×n eine positiv definite diagonale Matrix, M ⊂ Rn ein Multiquader und DM =
{Dm : m ∈ M }. Zeigen Sie, dass m(DM ) = (detD) m(M ). Sei jetzt E ⊂ Rn . Zeigen Sie
Folgendes:
E ist messbar ⇔ DE = {De : e ∈ E} ist messbar
und, in diesem Fall,
m(DE) = (detD)m(E).
56. Seien R ∈ Rn×n eine orthogonale Matrix, M ⊂ Rn ein Multiquader und RM = {Rm : m ∈ M }.
Zeigen Sie, dass m(RM ) = m(M ). Sei jetzt E ⊂ Rn . Zeigen Sie Folgendes:
E ist messbar ⇔ RE = {Re : e ∈ E} ist messbar
und, in diesem Fall,
m(RE) = m(E).
57. Seien A ∈ Rn×n eine positiv definite Matrix und E ⊂ Rn . Zeigen Sie Folgendes:
E ist messbar ⇔ AE = {Ae : e ∈ E} ist messbar
und, in diesem Fall,
m(AE) = (detA)m(E).
58. Zeigen Sie, dass die Abbildungen x 7→ ex , x 7→ bxc, x 7→ sign(x), wobei sign(x) = x/|x| für
x 6= 0 und sign(0) = 0, und x 7→ sin(x) messbar sind.
59. Seien f, g : Rn → R messbar. Zeigen Sie, dass x 7→ max{f (x), g(x)} messbar ist.
60. Sei f : R → [0, +∞) und E = {x ∈ R : f (x) > 0}. Zeigen Sie Folgende:
(a) f messbar ⇒ E messbar.
(b) E messbar 6⇒ f messbar.
(c) E abzählbar ⇒ f integrierbar.
(d) E Nullmenge ⇒ f integrierbar.
61. Sei f : x ∈ (0, 1) 7→ 1/x. Beweisen Sie, dass f 6∈ L(0, 1).
62. Sei f : [0, +∞) → [0, +∞) Riemann uneigentlich integrierbar in [0, +∞). Zeigen Sie, dass ihre
triviale Erweiterung f˜ : R → R (f˜(x) = f (x) für x ≥ 0 and f˜(x) = 0 für x < 0) Lebesgue
integrierbar in R ist und dass es gilt:
Z +∞
Z
f (x) dx =
f˜(x) dx.
0
63. Stellen Sie Beispiele vor
(a) f ∈ L([0, 1]), f 2 6∈ R[0, 1],
(b) g ∈ L([0, +∞)) \ R[0, +∞),
R
p
(c) hk ∈ L([0, 1]), hk → 0, [0,1] hk (x) dx 6→ 0,
[0,+∞)
9
p
(d) `k ∈ L([0, 1]), `k → `, ` 6∈ L([0, 1]),
R
R
p
(e) qk ∈ L([0, 1]), qk → q, [0,1] qk2 (x) dx 6→ [0,1] q 2 (x) dx
64. Benutzen Sie den Cavalierisatz, um das dreidimensionale Inhalt der Kugel mit Radius r > 0,
des Zylinders mit Radius r > 0 und Höhe h > 0 und des Kegels mit Basisradius r > 0 und Höhe
h > 0 zu berechnen.
65. Berechnen Sie folgende Integrale:
Z
y
dx dy, D = [0, 1]2 ,
(a)
1+x
ZD
(b)
y 2 x dx dy, D = [0, π] × [0, 1],
D
Z
xy 2
(c)
dx dy dz, D = [1, 2] × [0, 1] × [0, 1].
2
D 1+z
66. Berechnen Sie folgende Integrale:
Z
(sin x cos y + sin y cos x) dx dy, D = [0, π] × [−π/2, π/2],
(a)
D
Z
(b)
x sin(xy) dx dy, D = [π, 3π] × [0, 1],
D
Z
x2 cos(xy) dx dy, D = [0, π] × [0, 1].
(c)
D
67. Berechnen Sie folgende Integrale:
Z
(a)
x2 (y+1) dx dy, D = {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| ≤ 1},
ZD
(x2 y−yx) dx dy, D = {(x, y) ∈ R : |x| ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − |x|},
(b)
ZD
(c)
x2 y dx dy, D = {(x, y) ∈ R : x2 + y 2 ≤ 4, y ≥ 0}.
D
68. Sei α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Rn mit αi 6= −1 für alle i. Berechnen Sie
Z
xα1 1 . . . xαnn dx1 . . . dxn .
[0,1]n
69. Berechnen Sie den Inhalt des Symplexus in R3
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x, y, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1}.
Zeichnen Sie diesen Bereich.
70. Sei E ⊂ R3 das kleinste konvexe Polyeder, das die Punkte
(−1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, −2, 0), (2, 0, 0), (0, 0, 3)
R
enthält. Zeichnen Sie E und berechnen Sie E (y−3) dx dy dz.
10
71. Durch die Transformationsformel berechnen Sie den Inhalt der folgenden Mengen
• A = {(x, y) ∈ R2 : 4x2 + y 2 ≤ 9},
• B = {(x, y) ∈ R2 : (x/a)2 + (y/b)2 ≤ 1} mit a, b, r > 0,
• C = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 y ≤ 8, x ≤ y ≤ 27x}.
Zeichnen Sie diese Mengen.
72. RZeichnen Sie die Menge E = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4, y ≥ max{0, −x}} und berechnen Sie
xy dx dy.
E
73. Durch die Transformationsformel berechnen Sie den Inhalt von A = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤
1 − x2 − y 2 }. Zeichnen Sie diese Menge.
74. Berechnen Sie den Inhalt des Bereichs in R2 , der von der archimedischen Spirale
t ∈ [0, 2π] 7→ (t cos t, t sin t)
und dem Intervall [0, 2π] umschlossen wird. Zeichnen Sie diesen Bereich.
75. Berechnen Sie den Inhalt des Bereichs in R2 , der von der Kardioide
t ∈ [0, 2π] 7→ ((1+ cos t) cos t, (1+ cos t) sin t)
umschlossen wird. Zeichnen Sie diesen Bereich.
6
Flächenintegrale und Differentialsätze
3
2
2
76. Berechnen Sie
R den2 Flächeninhalt der Fläche M = {(x, y, z) ∈ R : x + y ≤ 1, z = 2y} sowie
das Integral M (x −y) dS.
√
√
R
[Antworte: Fl(M ) = 5π, M (x2 −y) dS = 5π/4]
p
2
77. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 +y 2 ≤ 1, z = 4−x2 −y
√ }.
[Antwort: Fl(M ) = 4π(2 − 3)]
78. Berechnen Sie den RFlächeninhalt der Fläche M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 1, z = 1 + x2 + y 2 }
sowie das Integral M x2 y dS.
R
[Antworte: Fl(M ) = (π/6)(53/2 − 1), M x2 y dS = 0]
79. Benutzen Sie den Gauß-Green-Satz in zwei Dimensionen, um folgende Integrale zu berechnen:
R
(a) C (x2 , yx) · N dγ,
R
(b) C (x − y, x + y) · N dγ,
R
(c) C (sin y + x3 , x + πy) · N dγ,
wobei γ : t ∈ [0, 2π] 7→ (cos t, sin t), C = γ([0, 2π]) und N der externe Normalvektor zu C sind.
11
80. Sei V das kleinste konvexe Polyeder, das dei Punkte (0, −1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0) und (0, 1, 0)
enthält und sei N der externe Normalvektor zu ∂V . Berechnen Sie
Z
(xy + ez sin y, 3y − arctan(z), z − xy 2 ) · N dS.
∂V
81. Berechnen Sie
Z
(x3 + y, y 3 − z, z) · N dS,
S2
wobei N der externe Normalvektor zu S 2 ∈ R3 ist.
82. Sei D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0} und C die Randkurve von D (einmal, im
Gegenuhrzeigersinn). Berechnen Sie
Z
(−2xy, x4 y) · d~γ .
C
83. Sei D ∈ R2 das Dreieck mit Ecken (0, 0), (−1, 1) und (−1, −1) und C die Randkurve von D
(einmal, im Gegenuhrzeigersinn). Berechnen Sie
Z
(5xy, xy 3 + 5y 2 ) · d~γ .
C
© Copyright 2024 ExpyDoc
